理论力学哈密顿理论在物理学中的应用.ppt

第八章哈密顿理论在物理学中的应用,8.1连续体系的拉格朗日方程,8.2电磁场的拉格朗日方程,8.3薛定谔波动力学方程的建立,采用经典力学的哈密顿理论，加上电子具有波粒二象性的假设，以氢原子为例，建立定态波动力学方程。氢原子哈密顿函数为,8.4刘维尔定理,相空间中统计系综的分布密度在运动过程中不变。证明：统计系综的一个“样本”：力学体系有N个相同的粒子，每个粒子的坐标和动量为q、p。统计系综是由与这个力学体系的组成完全相同，但初始条件不同的许多个“样本”组成。单个粒子相空间(6维空间)：3个坐标分量q，3个动量分量p。N个粒子构成空间(6维空间).t时刻，每个“样本”的q、p确定，因此空间中的每一个点表示一个“样本”在某一时刻的状态，这样的点称为“代表点”。因此统计系综就是空间中的一群代表点。,这群代表点在空间中的分布一般是不均匀的，因此可引入代表点密度的概念。,这是因为代表点的相轨迹是不会相交的。若相交，则表明相同力学体系在相同初始条件下有不同的运动规律，这和经典力学的基本假设相矛盾。,设在d1内，代表点的数目为dN1，则=dN1/d1就代表点在d1区域中的密度。经过时间t后，原来在d1中的代表点运动到空间的d2的位置，如图所示，这两个体积元代表点的数目是相同的，即dN1=dN2。,刘维尔定理：相空间中统计系综的分布密度在运动过程中不变，即=dN1/d1=dN2/d2=常数。,因为dN1=dN2，所以要证明上式，只要证明d1=d2。分两步证明：1、证明一个粒子的一对正则变量q、p从t到t+dt的变化可看成是一种正则变换。证：只要找到一个适当的母函数，使变换后的新正则变量Q、P为Q=q+dq，P=p+dp，=1,2,N(1)若取第二类正则变换母函数F2(q,P)=qP(2)则:,这是全同正则变换。,Q=q+dq，P=p+dp，=1,2,N(1)F2(q,P)=qP(2),比较(1)和(2)式,两者只相差无穷小量dq和dp,因此认为要得(1)式，可在(2)式的母函数中再加上一个无穷小量，即可取F2(q,P)=qP+G(q,P,t)(4)为无穷小量，G为任意函数。忽略二阶小量，(4)式近似为：F2(q,P)qP+G(q,p,t)(5)(5)式正则变换称为无穷小正则变换。,F2(q,P)qP+G(q,p,t)(5),令=dt，G(q,p,t)=H(q,p,t)，代入(5)式，得F2(q,P)qP+H(q,p,t)dt(6)利用此母函数即得：,上式即为(1)式，即证明了相空间体积从d1变换为d2是一种正则变换.,2、证明相空间体积在正则变换下保持不变，即P=dq1dq3Ndp1dp3N=dQ1dQ3NdP1dP3N,当积分自变量从q、p变到Q、P时，体积元的变换为：dQ1dQsdP1dPs=Ddq1dqsdp1dps(7)式中D为雅可比行列式：,只要证明:D=1,在证得了s=1时，D=1，再利用雅可比行列式的一些性质，就可证明当s=3N时也成立。由于运算比较繁琐，这里从略。综合以上所得，刘维定理成立。,代表点密度为=(q、p、t)，其运