高数上册第一章第二节数列的极限.ppt

1,第二节数列的极限,一、概念的引入,二、数列的定义,三、数列的极限,四、数列极限的性质,五、小结思考题,1,2,1.【割圆术】,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,刘徽,【引例】,一、概念的引入,3,正六边形的面积,正十二边形的面积,正形的面积,4,2.【截丈问题】,“一尺之棰，日取其半，万世不竭”,公元前300年左右，中国古代思想家墨子语：,5,二、数列的定义,【例如】,6,【注意】,1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取,2.数列是整标函数,7,三、数列的极限,8,【问题1】,当无限增大时,是否无限接近于某一确定的数值?如果是,如何确定?,【问题2】,“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它，描述它。,通过上面演示实验的观察:,【直观定义】当n无限增大时，xn无限接近于一个确定的常数a，称a是数列xn的极限.,“距离任意小”,9,10,【发散】如果数列没有极限,就说数列是发散的.,【说明】发散有不存在；-；+；。,1.【精确定义】,设xn为一数列,若存在常数a,对任给定的正数(不论它多么小),总存在正数N,使得当nN时，不等式|xn-a|N时，有无穷多个点落在(a-,a+)内”是等价解释，正确吗？,13,数列极限的定义未给出求极限的方法.,【例1】,【证】,所以,【注意】,14,【例2】,【证】,【练习】证明常数列的极限等于它本身.（公式）,所以,15,【例3】,【证】,【小结】,用定义证数列极限存在时,关键是任意给定寻找N,但不必要求最小的N.,公式,16,【补例4】,【证】,放大不等式,17,【注意】(1),即，通过,不等式的放大等措施求出正整数N，再定出n的范围，从而保证成立.,(2)N与是相对应的，但N不是唯一的;N有无穷多个，则“nN”允许为“nN”.,(3)同理，因任意，则2，等也任意，则,允许为,18,四、数列极限的性质,1.唯一性,【定理1】每个收敛的数列只有一个极限.,【证】,注意以下证明都是已知极限存在时，利用的给定性来论证的,用反证法,19,【例5】,【证】,由定义,区间长度为1.,矛盾【证完】,20,2.有界性,【例如】,有界,无界,不可能同时位于长度为1的区间内.,21,(2)【定理2】收敛的数列必定有界.,【证】,由定义,【注意】,逆否命题必成立：无界数列必定发散.,逆命题不成立；有界列不一定收敛.,数列有界是收敛的必要条件.,22,3.保号性,【定理3】,【证明】,由数列极限定义，,有,从而,【证完】,23,【推论】,【证明】,以下用反证法,由定理3知,【证完】,24,4.【子数列的收敛性】（收敛列与其子列的关系）,【注意】,例如,（1）【定义】,25,（2）【定理4】收敛数列的任一子数列也收敛且极限相同,【证】,【分析】欲证,26,【证毕】,（寻找到K）,27,【注意】a.常用此关系判断一个数列极限不存在,方法：若数列有两个子列收敛于不同的极限，则原数列发散.如数列,方法：若数列有一个子列发散,则原数列发散.如,b.上例说明了发散数列也可能有收敛的子列.,28,五、小结,数列:研究其变化规律;,数列极限:极限思想、精确定义、几何意义;,收敛数列的性质:唯一性、有界性、保号性、子数列的收敛性.,29,【思考题】,【错证】,可以证明,因为,解新的不等式,故,当,时必有,证完,30,【思考题解答】,【分析】,错误：极限是1明显是不对的，应为0.,错误：推导过程中又将,不适当的放大，致使不等式：,不能对任何0成立.,例如取=1/2时，找不到n满足该不等式.,【结论】,极限的分析定义严格描述了极限过程，如果随心所欲地放大不等式，就会导致荒谬