量子力学复习资料华科期中考.docx

目录基本假说2基本假设2基本定义3对易关系4厄米算符5一维谐振子6共同本征函数7守恒量8中心立场的径向方程9表象变换10自旋11微扰理论12光13定理-特征值与特征函数13基本假说经典物理学（其中两个结论）：1. 能量永远是连续的。2. 电磁波（包括光）是这样产生的：带电体做加速运动时，会向外射电磁波。如：回旋加速器中的轫致辐射。普朗克量子假说：辐射黑体中分子和原子的振动可视为线性谐振子，这些线性谐振子可以发射和吸收辐射能。这些谐振子只能处于某些分立的状态，在这些状态下，谐振子的能量不能取任意值，只能是某一最小能量e 的整数倍。对频率为n 的谐振子, 最小能量e 为: （e 称为能量子普朗克常数：h = 6.626075510-34 Js）玻尔的假设：(1913 “论原子分子结构” )1. 定态假设：原子系统只能处在一系列具有不连续能量的状态，在这些状态上电子虽然绕核做园周运动但并不向外辐射电磁波。这些状态称为原子系统的稳定状态（简称定态）。这些定态的能量：2. 跃迁假设：电子从一个能量为 的稳定态跃迁到另一能量为 的稳定态时，要吸收或发射一个频率为 的光子，有： 辐射频率公式德布罗意假设： 不仅光具有波粒二象性，一切实物粒子(如电子、原子、分子等)也都具有波粒二象性; 具有确定动量和确定能量的实物粒子相当于频率为和波长为的波, 二者之间的关系如同光子和光波的关系一样, 满足de Broglie公式：基本假设量子力学基本假设之一：波函数表征了粒子所具有的波粒二象性，完全描述了微观体系的状态。量子力学基本假设之二：量子力学中，力学量用算符表示，若在经典力学中有力学量，则在量子力学中相应的力学量算符为。力学量用厄米算符表示，表示力学量的算符有组成完全系的本征函数。量子力学基本假设之三：描述体系状态的波函数其时空演化行为满足薛定谔方程。量子力学基本假设之四：将体系的状态波函数用算符的本征函数展开，其中： 则在体系态中测量力学量得到结果为的概率为，得到结果范围内的概率是。量子力学基本假设之五：在全同粒子所组成的体系中，两全同粒子相互调换不改变体系的状态。(全同性原理)基本定义绝对黑体：能完全吸收各种波长电磁波而无反射和透射的物体。热辐射：任何物体在任何温度下都在不断地向外发射各种波长（频率）的电磁波。不确定度关系是微观粒子波粒二象性所带来的必然结果。这是因为，对波动而言，不能提“空间某一点x的波长”。从而，对微观粒子，只要承认其具有波粒二象性，“微观粒子在空间某一点x的动量”，这样的提法也没有意义。所以，对一个给定点x，动量只能是不确定的，这就是不确定度关系。不确定度（测不准）关系的严格证明：对于和，有，和为厄米算符， 结论为：。算 符：作用在一个函数上得出另一个函数的运算符号，设某种运算把函数变为，表示为：。利用能量算符，可以给出量子力学中的基本方程-薛定谔方程：束缚态：通常把在无限远处为零的波函数所描写的状态称为束缚态。一般来说，束缚态所属的能级是分立的。态叠加原理： 一般情况下，粒子并不只是完全确定的处于其中的某一状态，而是以某种概率处于其中的某一状态。换句话说，粒子的状态是所有这些分立状态的叠加，即。定态：由定态描述的粒子状态，测量其能量时，得到确定值。简并：如果系统的能级是分立的，即，若对同一个能级，有两个及其以上的本征函数与其对应，则称这个能级是简并的。力学量完全集： 设有一组彼此对易的厄米算符，它们拥有共同本征函数，若构成正交归一完备集，使得任给体系的一个量子态，总有，则称构成体系的一组力学量完全集。Zeeman效应 (1896) ：加入磁场后，体系的能级结构发生了变化，导致能级分裂。原来 的一条谱线，分裂成三条、五条、七条等。对易关系对易式：和，。坐标动量对易关系：角动量的对易式：对易恒等式：厄米算符定 理：体系的任何状态下，厄米算符的平均值为实数。逆定理：在任何状态下平均值均为实的算符必为厄米算符。推论：厄米算符平方的平均值大于等于零。定理1：厄米算符的本征值必为实数。定理2：厄米算符的属于不同本征值的本征函数，彼此正交。角动量分量的本征值与本征函数：是量子化的；相应的本征函数：；连续谱本征函数：设本征值与本征函数为和，本征方程为：若，则，为连续变化：所以称 为连续谱本征函数-不能用一般的方式进行归一化；一维自由粒子的哈密顿量算符为：，能量本征方程为：，解为：。也是连续谱本征函数，不能用一般的方式进行归一化。一维谐振子简谐运动： 体系在平衡位置附近的微小振动；一维谐振子：粒子一维情况下的简谐运动，同时粒子的势能可以表示为；一维谐振子的能量本征方程：能量本征值:本征函数:厄密多项式满足如下性质 注：虽然这两个公式平时也没怎么用到，但是在2012年春季光信量子力学期中考试的最后一题就用到了：共同本征函数共同本征函数：设，若，则不能是的本征函数不能是的本征函数；若，则可能存在，使得：称 为算符和的共同本征函数；动量的共同本征函数：拥有共同本征态，即平面波：；坐标的共同本征函数：拥有共同本征态：和的共同本征函数：球坐标下：共同本征函数为，称为球谐函数，满足关系：轨道角动量量子数磁量子数在表象中，和的表示 以下的四个表示式和后面泡利算符的表达式最好都记住，考试的时候有些计算会用到，尤其是泡利算符的表示式和相互关系；： 守恒量力学量平均值的时间依赖特性：；若不显含，即，有。若，称此时对应的力学量为体系的一个守恒量。中心立场的径向方程定 理：设体系有两个彼此不对易的守恒量和即，但则体系能级是简并的。氢原子中，电子的势能函数：；碱金属原子中，电子的势能函数：为Bohr半径。它们都是球对称的，称之为中心力场。能量本征方程写为：是的共同本征函数；关于的径向方程：令 ，有： 称为径向波函数，取决于的形式。无限深球方势阱： 态情况，得到：能量本征值径向波函数：其中：能量是量子数的显函数。非态情况（的情况） 能级（）度简并氢原子其中为电子的约化质量，令得能量本征值：Bohr半径主量子数：，角量子数：波函数：磁量子数：能级不简并氢原子能级是度简并表象变换在自己的表象中，算符的矩阵式对角化的，对角线上的矩阵元与本征值相对应。狄拉克符号的定义与内积：右矢，代表量子态；：左矢，代表量子态的共轭态； 是内积；大于等于0，成为模方；是外积；内积：；是归一化态矢和是正交的本征态的正交归一：称为投影算符， 的作用是将在方向上的分量挑选出来。态矢在表象中用表示态矢在表象中用表示。算符向左作用 两个结论的推导应当要比较熟练，证明题有时候就是跟证明差不多的题目；：1. 角动量算符，证明：在的任何一个本征态下，和的本征值为零；2. 为 的共同本征态，证明和的平均值都为； 附 该公式证明的时候可能会用到；：自旋电子自旋假设：（荷兰物理系学生Uhlenbeck和Goldsmith与1925年提出）：1. 电子具有自旋，形成自旋角动量，在任何方向上的投影只有两个数值：；2. 自旋形成自旋磁矩与的关系是；基于假设1，在空间任何方向上的投影只能取两个值，如方向，其中为Bohr磁子。在电子自旋假设的基础上发展起来的量子理论，不仅可以解释史特恩盖拉赫实验，而且可以解释碱金属原子光谱的双线结构和反常塞曼效应等，终为人们所接受。它揭示出电子具有自旋这种内禀属性，是一种量子效应，没有经典对应。就是说，电子的自旋是量子概念，不能同宏观粒子的自旋机械运动简单对应。又常用公式：微扰理论绝热微扰：当外界的围绕十分缓慢地作用到系统上时，不会改变系统的状态，这样的微扰叫做绝热微扰；突发微扰：当外界的微扰十分突然地作用到系统上时，也不会改变系统的状态，这样的微扰叫突发微扰；二级近似下：；一级近似下，；电偶极矩：；电极化率：；跃迁选择定则：在外电场的作用下，只允许的跃迁发生，这成为跃迁的选择定则；禁戒跃迁：在外电场的作用下，谐振子从基态不能跃迁到激发态，其中，称这样的跃迁为禁戒跃迁；能量和时间不确定度：；能级宽度，谱线宽度；光半经典理论：如果对光的吸收、受激辐射和自发辐射的理论处理采用这样的办法：将光波看做电磁波（而不是看做光子群），用电动力学（而不是量子力学）来描述，对原子系统采用量子力学来描述，这样的理论习惯上被称为半经典理论。光的吸收：实验表明，在光的照射下，原子中的电子能吸收光子，从低能级跃迁到高能级，这叫光的吸收。光的受激辐射：在光的激发下，原子中的电子能从高能级跃迁到低能级，并释放一个光子，这叫光的受激辐射。光的自发辐射：在没有外界因素的作用下，原子钟的电子能自动地从高能级跃迁到低能级，并释放一个光子，这叫光的自发辐射。定理-特征值与特征函数 定理1：设是能量本征方程的一个解，其对应的能量本征值为 ，则也是能量本征方程的一个解，其对应的能量本征值为 ； 推论： 对应于能量的某个本征值，若对应的能量本征方程的解不简并，则这个解可取为实函数。定理2：设是能量本征方程的一个解，对应于能量的某个本征值，总可以找到能量本征方程的一组实解，凡是属于的任何解，均可表示为这一组实解的线性叠加。定理3：设具有确定的偶宇称，即如果是能量本征方程对应于能量本征值的解，则也是方程对应于的解。 推论 :设是能量本征方程对应于能量本征值的解，如果，若无简并，则有确定的宇称。定理4：设，则对应于任何一个能量本征值，总可以找到能量本征方程的一组解，其中的每个解都有确定的宇称，而属于 的任何解，都可用它们来展开。定理5：设 若有限，则能量本征函数及其导数在点必定是连续的。 推论：设若有限，能量本征函数为，则当时，在处是连续的。定理6：设和均为能量本征方程属于同一能量的解，则=常数。定理7：设粒子在无奇点势场中运动，若存在束缚态，则必定不简并。扯淡的话：记得刚开始上量子力学的时候，老师说量子力学是一门天书级的课程，不仅是对于没学过这门课程的人而言是天书，对