全国各地高考模拟函数综合性大题2.doc

函数综合性大题21. 已知函数（1）求在区间上的最大值（2）是否存在实数使得的图象与的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由。解：（1）当即时，在上单调递增，当即时，当时，在上单调递减，综上，（2）函数的图象与的图象有且只有三个不同的交点，即函数的图象与轴的正半轴有且只有三个不同的交点。当时，是增函数；当时，是减函数；当时，是增函数；当或时，当充分接近0时，当充分大时，要使的图象与轴正半轴有三个不同的交点，必须且只须即所以存在实数，使得函数与的图象有且只有三个不同的交点，的取值范围为1. 设函数，其图象在点处的切线的斜率分别为（1）求证：；（2）若函数的递增区间为，求的取值范围；（3）若当时（k是与无关的常数），恒有，试求k的最小值解：（1），由题意及导数的几何意义得， （1）， （2） 又，可得，即，故 由（1）得，代入，再由，得， （3） 将代入（2）得，即方程有实根故其判别式得，或， （4） 由（3），（4）得； （2）由的判别式，知方程有两个不等实根，设为，又由知，为方程（）的一个实根，则有根与系数的关系得， 当或时，当时，故函数的递增区间为，由题设知，因此，由（）知得的取值范围为； （3）由，即，即，因为，则，整理得，设，可以看作是关于的一次函数，由题意对于恒成立， 故 即得或，由题意，故，因此的最小值为2. 已知函数和点，过点作曲线的两条切线、，切点分别为、 （）设，试求函数的表达式； （）是否存在，使得、与三点共线若存在，求出的值；若不存在，请说明理由（）在（）的条件下，若对任意的正整数，在区间内总存在个实数，使得不等式成立，求的最大值 .解：（）设、两点的横坐标分别为、， ， 切线的方程为：，又切线过点， 有，即， （1） 同理，由切线也过点，得（2）由（1）、（2），可得是方程的两根， （ * ） ，把（ * ）式代入,得,因此，函数的表达式为 （）当点、与共线时，即，化简，得， （3） 把（*）式代入（3），解得存在，使得点、与三点共线，且 （）易知在区间上为增函数，则依题意，不等式对一切的正整数恒成立， ，即对一切的正整数恒成立， ，由于为正整数， 又当时，存在，对所有的满足条件因此，的最大值为 3. 已知二次函数f(x)=ax2+bx(a,b为常数，且a0)满足条件:f(x1)=f(3x)且方程f(x)=2x有等根 （1）求f(x)的解析式；（2）是否存在实数m，n(mn，使f(x)定义域和值域分别为m,n和4m,4n，如果存在，求出m、n的值；如果不存在，说明理由、解 （1）方程ax2+bx=2x有等根，=(b2)2=0,得b=2 由f(x1)=f(3x)知此函数图象的对称轴方程为x=1得a=1，故f(x)=x2+2x 6分（2）f(x)=(x1)2+11，4n1，即n而抛物线y=x2+2x的对称轴为x=1n时，f(x)在m,n上为增函数 若满足题设条件的m,n存在，则12分又mn,m=2,n=0，这时定义域为2,0，值域为8,0 由以上知满足条件的m、n存在，m=2,n=0 16分4. 已知函数，的最小值恰好是方程的三个根，其中（1）求证：；（2）设，是函数的两个极值点若，求函数的解析式.解：（1）三个函数的最小值依次为，2分由，得 ，故方程的两根是，故，5分，即 7分（2）依题意是方程的根，故有，且，得由10分 ；得，由（1）知，故， ， 14分5. 已知函数(1)若在上单调递增，求的取值范围； (2)若定义在区间D上的函数对于区间D上的任意两个值总有以下不等式成立，则称函数为区间D上的“凹函数”.试证当时，为“凹函数”解： (1)由，得 若函数为上单调增函数，则在上恒成立 即不等式在上恒成立. 也即在上恒成立令，上述问题等价于，而为在上的减函数，则，于是为所求 (2)证明：由 得 而 又， ， 由、得即，从而由凹函数的定义可知函数为凹函数6. 已知函数满足对任意，且，都有 （1）求实数的取值范围；（2）试讨论函数在区间 上的零点的个数；（3）对于给定的实数，有一个最小的负数，使得时，都成立，则当为何值时，最小，并求出的最小值解：（1）， 4分 又，必有，实数的取值范围是 2分（2），由（1）知： ，所以。 由 ， 当时，总有，0 ， 故时，在上有一个零点； 2分当时， ，即时，在上有两个零点；2分当时，有，0)（I）当0a1；（II）是否存在实数a，b（ab），使得函数y=f(x)的定义域、值域都是a，b，若存在，则求出a，b的值，若不存在，请说明理由（III）若存在实数a，b（a0，f(x)在（0，1）上为减函数，在上是增函数由0ab，且f(a)=f(b)，可得 0a13分故，即ab14分 （II）不存在满足条件的实数a，b若存在满足条件的实数a，b，使得函数y=的定义域、值域都是a，b，则a0 而当时，在（0，1）上为减函数故 即 解得 a=b故此时不存在适合条件的实数a，b6分当时，在上是增函数故 即 此时a，b是方程的根，此方程无实根故此时不存在适合条件的实数a，b8分当，时，由于，而，故此时不存在适合条件的实数a，b 综上可知，不存在适合条件的实数a，b10分（III）若存在实数a，b（a0，m0 当时，由于f(x)在（0，1）上是减函数，故此时刻得a,b异号，不符合题意，所以a，b不存在 12分 当，时，由（II）知0在值域内，值域不可能是ma，mb，所以a，b不存在 故只有14分在上是增函数， 即 所以b是方程的两个根即关于x的方程有两个大于1的实根16分设这两个根为，则+=，= 即 解得 故m的取值范围是18分11已知函数（I） 求的值域； （II）设函数，若对于任意总存在，使得成立，求实数的取值范围.解：（I）当时， 在上是增函数，此时 当时， 当时， 在上是增函数，此时 的值域为6 分 （II）（1）若，对于任意，不存在 使得 成立9分（2）若当 时， 在-2，2是增函数， 任给， 若存在，使得成立， 则12分 14分 （3）若，在-2，2是减函数， 16分 综上，实数的取值范围是18分12设函数时，取得极值. （1）求的值，并判断是函数的极大值还是极小值； （2）当时，函数与的图象有两个公共点，求的取值范围.解：（1）由题意 2分当时，取得极值，所以 即 5分此时当时，当时，是函数的最小值.8分 （2）设，则 ，10分设，令解得或列表如下： _0+函数在和上是增函数，在上是减函数.当时，有极大值；当时，有极小值函数与的图象有两个公共点，函数与的图象有两个公共点 或 13在实数集R上定义运算：xy=x(ay)(aR，a为常数)。若f(x)=ex，g(x)=e-x+2x2，F(x)=f(x)g(x)。 （）求F(x)的解析式； （）若F(x)在R上是减函数，求实数a的取值范围； （）若a=3，在F(x)的曲线上是否存在两点，使得过这两点的切线互相垂直？若存在，求出切线方程；若不存在，说明理由.解：（I）由题意，F(x)=f(x) (ag(x)2分=ex(aex2x2)=aex12x2ex.4分 （II）F(x)=aex2x2ex4xex=ex(2x2+4xa)，6分 当xR时，F(x)在减函数， F(x)0对于xR恒成立，即 ex(2x2+4xa)0恒成立，8分 ex0，2x2+4xa0恒成立，=168(a) 0，a2.10分 （III）当a=3时，F(x)= 3ex12x2ex， 设P(x1，y1)，Q（x2，y2）是F(x)曲线上的任意两点，F(x)= ex(2x2+4x+3) =ex2(x+1)2+10，F(x1)F(x2)= 1 不成立.13分F(x)的曲线上不存的两点，使得过这两点的切线点互相垂直.14分1,3,514已知函数 （）当时有最大值1，若时,函数的值域为证明：； （）若时，对于给定正实数，有一个最小负数，使得时，恒成立，问为何值时，最小，并求出这个最小值(1)证明:由条件得,即 2分. 5分. 6分(2)解: ,显然,对称轴.8分当即时,且.令,解得.取., 12分当,即时,.且.令,解得,取.,.当且仅当时,取等号.综上:当时,取最小值.16分15设，为常数）当时，且为上的奇函数（）若，且的最小值为，求的表达式；（）在（）的条件下，在上是单调函数，求的取值范围解:由得, 1分若则无最小值. 2分欲使取最小值为0,只能使,昨,. 4分得则,又, 7分又 8分9分(2).得.则,.12分当,或或时,为单调函数.综上,或. 16分15. 已知函数在区间，内各有一个极值点（I）求的最大值；（II）当时，设函数在点处的切线为，若在点处穿过函数的图象（即动点在点附近沿曲线运动，经过点时，从的一侧进入另一侧），求函数的表达式解：（I），因为，成等比数列，所以，解得或当时，不符合题意舍去，故（II）当时，由于，所以又，故当时，上式也成立，所以22解：（I）因为函数在区间，内分别有一个极值点，所以在，内分别有一个实根，设两实根为（），则，且于是，且当，即，时等号成立故的最大值是16（II）解法一：由知在点处的切线的方程是，即，因为切线在点处空过的图象，所以在两边附近的函数值异号，则不是的极值点而，且若，则和都是的极值点17设函数是定义在R上的奇函数，且函数的图象在处的切线方程为（）求的值；（）若对任意都有成立，求实数的取值范围；（）若对任意都有成立，求实数的取值范围解：（） 函数是定义在R上的奇函数， 又在处的切线方程为，由 ，且， 得 （）依题意对任意恒成立， 对任意恒成立， 即 对任意恒成立， （）解一：，即 即对任意恒成立，记，其中则 当时，在上单调递增，当时，在上单调递减， 在上的最大值是，则； 记，其中则 所以 在上单调递减， 即在上的最小值是，则；综合上可得所求实数的取值范围是 解二：设，则，当时，当时，在上，在单调递减，故，即，没有适合条件的；当时，在上，在单调递增，故，即，没有适合条件的；当时，（舍去）则在上单调递增，在上单调递减，故，即，所以；综合上可得所求实数的取值范围是 1 是定义在R上的奇函数，当时，。（1）求时，的解析式；（2）问是否存在这样的正数，当时，且的值域为若存在，求出所有的值，若不存在，请说明理由.解：（1）设，则于是，又为奇函数，所以，即，（2）分下述三种情况：那么，而当的最大值为1，故此时不可能使， 若，此时若，则的最大值为，得，这与矛盾； 若，因为时，是减函数，则于是有考虑到解得综上所述2 已知集合是满足下列性质的函数的全体：在定义域内存在，使得成立（1）函数是否属于集合？说明理由；（2）设函数，求的取值范围；（3）证明：函数解：（1）若，则在定义域内存在，使得， 方程无解，（4分） ， 当时，；当时，由，得。 ，记， ， 函数在上有零点，即存在实数，使，令，则， ，即 20已知函数，其中（I）若，求的单调区间；（II）在（I）的条件下，当时，函数的图象上任意一点的切线斜率恒大于3，求的取值范围；（）设, 问是否存在实数，使得的图象与的图象有且只有两个不同的交点？若存在，求出的值；若不存在，说明理由。解：(I)= 2分当时，有，当变化时，与的变化如下表：100单调递减极小值单调递增极大值单调递减 4分故有上表知，当时，在单调递减，在单调递增，在上单调递减. 5分（）由已知得，即又，所以（） 6分设，其函数开口向上，由题意知式恒成立， 8分解之得 （注：函数开口向上，最大值在端点处取得！）又 所以的取值范围为 10分（）令，则因为，要使函数与函数有且仅有2个不同的交点，则函数的图象与x轴的正半轴有且只有两个不同的交点当时，是增函数；当时，是减函数当时，是增函数有极大值有极小值12分又因为当充分接近0时，；当充分大时，所以要使有且仅有两个不同的正根，必须且只须即，或当或时，函数f（x）与g（x）的图象有且只有两个不同交点。15分设函数求证： （1）； （2）函数在区间（0，2）内至少有一个零点； （3）设是函数的两个零点，则证明：（1） 又 又2c=3a2b 由3a2c2b 3a3a2b2ba0 （2）f（0）=c，f（2）=4a+2b+c=ac 当c0时，a0，f（0）=c0且函数f（x）在区间（0，1）内至少有一个零点 当c0时，a0 函数f（x）在区间（1，2）内至少有一个零点.综合得f（x）在（0，2）内至少有一个零点 （3）x1，x2是函数f（x）的两个零点则的两根 22.已知是定义在上的单调递增函数，对于任意的、（、 满足，且、满足。（1）求；（2）若=1，解不等式2；（3）求证：。解：（1）令m=n=1，由，得-（2）， -又在上单调递增0x4 2的解集为（0，4）-（3），在上单调递增时，时， 又 -0abab=10a11， = -，考虑到0a1-13.设，对任意实数，记（I）求函数的单调区间；（II）求证：（）当时，对任意正实数成立；（）有且仅有一个正实数，使得对任意正实数成立解：（I）由