毕业论文-_二次曲面直纹性的深入探究.doc

济南大学毕业论文毕业论文题 目 二次曲面直纹性的深入探究 学 院 数学科学学院 专 业 信息与计算科学 班 级 计算0802 学 生 学 号 20080901075 指导教师 二一二 年 五 月二十五日- 24 -摘 要 几何学是一门具有悠久历史的学科，这门学科的生命力一直都很旺盛，近年来它对其他数学分支产生越来越深刻的影响.曲线论与曲面论是几何中两大重要内容，在许多几何书上都蕴含了曲线和曲面的性质等相关内容，其中直纹面由于具有很好的性质在曲面论中占据十分重要的地位.受直纹面占有重要地位的启发，联想到对直纹面的相关问题进行深入探究. 三维欧氏空间中的直纹面可以是单叶双曲面，双曲抛物面，也可以是可展曲面本文将从三维欧氏空间中的直纹面出发，对二次曲面的直纹性进行深入探究.第一章介绍本文的研究背景及相关的基础知识，如二次直纹面、直母线、高斯曲率、平均曲率、腰线等的定义.第二章给出二次直纹面的证明、性质及相关的判定方法.第三章对三维欧氏空间中直纹面的特殊性质给出总结并证明，及给出直纹面是可展曲面的充分条件.最后一章对本文的工作进行总结与展望.关键词：欧氏空间；二次直纹面；腰曲线；直母线ABSTRACTGeometry is a door with a long history of discipline, the discipline vitality has been very strong, in recent years it to other branches of mathematics produce more and more profound influence. Curve theory and surface theory is an important content in the geometry two, in many geometry books contain the curve and surface properties and other related content, including straight grain surface has the good properties in surface theory occupies very important position. Be straight grain occupies an important position in the face of inspiration, leno vo to straight lines to the problems related to the probe. In 3-dimensional Euclidean space ruled surface can be a hyperboloid, paraboloid, can also be a developable surface. This article from the three-dimensional Euclidean space ruled surface based on surface, two straight lines of in-depth exploration. The first chapter introduces the research background and the related basic knowledge, such as the two a ruled surface, straight generatrix, Gauss curvature, mean curvature, such as waistline definition. The second chapter gives two ruled surface, that nature and judging method. The third chapter of the three-dimensional Euclidean space ruled surface special properties are summarized and demonstrated, and gives the ruled surface is the sufficient condition of developable surface. The last chapter of this paper makes a summary and a prospect.Key words： Euclidean space；The second ruled surface；Generalized ruled surface；Rectilinear generator目 录摘 要IABSTRACTII1前言III1.1引言11.2 预备知识11.2.1 二次直纹面及直母线的定义11.2.2 直纹面的导线21.2.3 平均曲率和高斯曲率21.2.4 腰点及腰曲线22 二次曲面的直纹性42.1 二次曲面42.2 二次直纹面52.2.1 常见二次直纹面的证明及性质52.2.2 两类特殊二次直纹面的新定义92.2.3 二次曲面是直纹面的判定方法133 三维欧氏空间中的直纹面163.1直纹面的特殊性质163.1.1 直纹面腰曲线的性质163.1.2 直纹面的其他特殊性质193.2 可展直纹面20结 论22参 考 文 献23致 谢24济南大学毕业论文1 前言该本分将首先介绍该课题的研究背景，然后，在此基础上给出该课题所涉及到的直纹面的相关定义和性质.1.1引言 解析几何已经具有非常悠久的发展历史.到目前为止，解析几何在内容和方法上都已发生了非常大的变化，内容更加广泛和丰富，方法更加多样.特别地，随着最具有重要意义的变换、变化群以及不变量的理论的引入，射影几何、仿射几何也成为解析几何的一部分.它们在研究二次曲线和二次曲面的分类推理方面具有广泛的应用. 解析几何分为平面解析几何和空间解析几何,空间解析几何是在平面解析几何的基础上发展起来的，主要研究柱面、锥面、旋转曲面.直纹面由于具有很好的性质在空间解析几何中占据十分重要的地位，因此，在欧氏空间中直纹面是人们研究的焦点到目前为止，对直纹面性质的研究已经取得了很多理想且有价值的成果.本文从三维欧氏空间的直纹面出发，在介绍了一般二次直纹面相关内容的基础上，对二次曲面的直纹性进行更加深入的探究.1.2 预备知识1.2.1 二次直纹面及直母线的定义 定义1.1 如果存在这样一簇直线使得这一簇直线中的每一条全在曲面上并且曲面上的每一个点都在这一簇直线的某条上，那么我们称曲面为直纹面.这样的一簇直线称为S的一簇直母线.简单地说，由直线的运动轨迹所生成的曲面就被称为直纹面，这些直线称为直纹面的直母线.用表示，其中为直纹面的导线，为导线上过上点的直母线的方向向量. 特别地，当为常向量时，该直纹面为柱面；当为常向量时，该直纹面为锥面.定义1.1表明要证明一张曲面是直纹面，就要证明该曲面同时满足下面两个条件 (1) 曲面上存在一簇直线; (2) 对曲面上每一点，必有簇中的一条直线通过它.求这种曲面的方程有一个确定的解题步骤：首先，写出含有参数的母线族的方程 . 然后，根据曲线运动的规律，写出参数111就得上述曲线方程.1.2.2 直纹面的导线 定义1.2 若直纹面上一曲线与每一条直母线都相交于一点,则该曲线为直纹面的导线.取直纹面上一导线,它的参数用表示.在该导线上任取一点，设过该点的直母线上的单位向量为,则直纹面的参数方程可表示为.分别对求偏导，可得 ,.由此可得，直纹面的第一基本量为 ,. 单叶双曲面的导线就是其腰椭圆；双曲抛物面的导线是其开口方向分别向上和向下的两条异面的抛物线.1.2.3 腰点及腰曲线 定义1.3 设是过导线上点的直母线，是的临近点，是过导线上的点的直母线，做直母线和的公垂线，垂足分别为和，当时，公垂线的垂足趋近于直母线的极限位置，称为直母线的腰点位于直纹面上的任一条直母线上(假设)都有一个腰点，称这些腰点的轨迹为腰曲线.因为任一直母线上关于腰点对称的两点处高斯曲率相等，因此也称腰点为对称点. 定理 设直纹面为，该直纹面的导线为腰曲线的充要条件是 .因为柱面的母线方向是固定不变的，所以恒为零，故腰曲线是任意的，换言之，柱面上任一曲线都是它的腰曲线.1.2.4 平均曲率和高斯曲率 定义 设曲面的方程为对该方程两边求导可得, 上式为曲面的第一基本形式，用表示，其中,称为曲面的第一基本量.定义1.5 设曲面的方程为,单位向量为，则有, 称上式为曲面的第二基本形式,用表示,其中,称为曲面的第二基本量.定义1.6 设曲面的第一基本量和第二基本量分别用，和，表示，则曲面的平均曲率可表示为,高斯曲率表示为.2 二次曲面的直纹性 二次曲面的直纹性是二次曲面教学中的重点和难点，本章主要对常见直纹二次曲面的性质及证明加以总结及给出具体实例并对二次曲面是直纹面的几种常用判定方法加以总结和推广.2.1 二次曲面二次曲面的所有可能情况共可以写成十七个标准形式.(1) 椭球面 (2) 单叶双曲面 (3) 双叶双曲面 (4) 二次锥面 (5) 椭球抛物面 (6) 双曲抛物面 (7) 椭球柱面 (8) 双曲柱面 (9) 抛物柱面 (10) 一对相交平面 (11) 一对重合平面 (12) 一对平行平面 (13) 一对平行共轭虚平面 (14) 虚椭球面 (15) 虚二次锥面 (16) 虚椭球柱面 (17) 一对共轭虚平面 2.2 二次直纹面2.2.1 常见二次直纹面的证明及性质 在我们学习解析几何的过程中，我们已经知道二次曲面的所有类型共有十七种，在二次曲面的所有种类中，其中有一部分具有一个共同特征，即他们都是由直线组成的，我们把这样的曲面称为直纹面.下面介绍一下二次曲面中的直纹面及其证明和性质.通过学习我们知道二次柱面、二次锥面、单叶双曲面和双曲抛物面是直纹面，而椭球面和双叶双曲面不是直纹面. 我们知道椭球面是有界曲面，因此椭球面上不可能存在直线（直线可无限延伸），所以椭球面不是直纹面.双叶双曲面位于面的上方，假设双叶双曲面上存在直线，那么该直线必平行于平面，但平行于面的平面与双叶双曲面的交线是椭圆，从而这种直线不存在，所以双叶双曲面不可能是直纹面,同理可知椭圆抛物面也不是直纹面. 在二次曲面的学习中,很显然二次柱面和二次锥面是直纹面，但大家对单叶双曲面与双曲抛物面是直纹面则难以理解，下面给出单叶双曲面和双曲抛物面是直纹面的具体证明. 要证明一曲面是直纹面只需证明该曲面满足以下两点: (1)曲面上存在一簇直线； (2)对曲面上每一点，必有簇中的一条直线通过它.单叶双曲面是直纹面证 单叶双曲面的方程为 (1) 由(1)式变形得 等式两边分解因式得 推得 (2)其中不同时为零. 由方程 可得行列式由此可得,以为未知量的方程组有非零解. 因此，存在不全为零的12使得成立.设是单叶双曲面上的点，则点满足方程(1)点满足方程(2)，即点在直线族(2)的某条直线上，所以单叶双曲面(1)有直线族(2)构成. 同上，可推出单叶双曲面的另一直线族为 (3)其中不同时为零.设为单叶双曲面(1)上的任一点点满足方程(3)，即点在直线族(3)上，因此，单叶双曲面(1)由直线族(3)构成.综上可知，单叶双曲面为直纹面.推论 对于单叶双曲面上的点，两族直母线中各有一条直母线通过这点.双曲抛物面是直纹面证 双曲抛物面的方程为 (4)其中为任意的正常数. 由方程分解因式可得 由此可得出行列式方程为因此，方程组 有非零解，即存在不全为零的使得 (5)成立. 因为不全为零，所以，可设不为零，则(4)式可变为 (6) 设，则由(5)可得 . (7) 设是双曲抛物面上的一点,则满足方程(4)，等价于满足方程(7)，即点是直线族(7)上的一点,所以双曲抛物面(4)是有直线族(7)构成的.同理,可得双曲抛物面的另一直线族为 (8) 设是双曲抛物面(4)上的一点，可推之在直线族(8)上,即点是直线族(8)上的一点,所以双曲抛物面由直线族(8)构成. 综上所述,双曲抛物面是直纹面.推论 对于双曲抛物面上的任意点，两族直母线中各有一条直母线通过这点.为了是大家对单叶双曲面与双曲抛物面的直母线有更深入的了解,下面给出单叶双曲面和双曲抛物面的直母线的有关性质.(1)单叶双曲面或双曲抛物面上同族直母线中的任意两条不共面.(2)单叶双曲面上位于不同族中的任意两条直母线必共面,双曲抛面上位于不同族中的任意两条直母线必相交.(3)经过单叶双曲面上一条直母线的每一个平面,必经过另一族直母线中的一条直母线.(4)位于双曲抛物面同族中的所有直母线均平行于同一个平面.2.2.2 两类特殊二次直纹面的新定义 学习了一般二次直纹面的定义和性质后，本部分我们将给出两类特殊二次直纹面单叶双曲面和双曲抛物面的新定义，在解析几何教科书中只对柱面、锥面用动母线的形式给出其参数方程，却没有用动母线的形式研究单叶双曲面和双曲抛物面的参数方程.因此，在该部分我们将单叶双曲面与双曲抛物面的参数方程. 我们已经知道，以为准线，母线平行于 的柱面的参数方程为 （为参数). 另外，以 为准线，以 为顶点的锥面参数方程为 （为参数）. 给出两类特殊直纹面的新定义之前，先给出以下两定理.定理 在空间有平行矢量,于一定曲面相交的一族直线所生成的曲面是单叶双曲面.其中，是任意实数，是任意的正常数.这一族直线中任意两条是异面直线. 证 在定曲线 上任取一点，过点与矢量平行的动直线方程为 (1) 其中，为任意的实参数. 由方程(1)变形得 (2)对(2)式中三个方程两两做线性运算得,.由以上方程式得出 , .所以 即 因此，由此一族直线生成的曲面是单叶双曲面.由此定理可得单叶双曲面的参数方程为 从而单叶双曲面的方程可写为 .定理 在空间由平行矢量与一定曲线 相交的一族直线所生成的曲面是双曲抛物面.证 在定曲线上任取一点，过点与矢量平行的动直线方程为 (3)其中，是任意的实参数. 由(3)变形得 (4) 由(4)式各方程做线性运算得 ,因此，由此一族直线所生成的曲面是双曲抛物面.由此可得，双曲抛物面的参数方程可表示为其中，为任意的实参数.从而，双曲抛物面的方程方程可写为.2.2.3 二次曲面是直纹面的判定方法本部分将对有关二次曲面是直纹面的判定方法加以总结和推广.对有关直纹面的判定有以下几种方法: 一、根据方程的特点直接判定； 二、利用二次曲面的化简来判定； 三、利用因式分解来判定.下面对每种方法分别展开加以具体讨论并给出具体实例.根据方程的特点直接判定 若方程中缺少一个变量,则它表示母线平行于与所缺变量同名的坐标轴的柱面，因而所表示的曲面是直纹面. 若方程是关于的齐次方程.则此方程所表示的曲面是以 (）为顶点的锥面,因而是直纹面.例如 判定下列方程是否是直纹面.(1), (2) 证 因为方程(1)中缺少变量，因此可知，该方程表示一个母线平行于轴的柱面，所以该方程所表示的曲面是直纹面. 方程(2)可写为，该方程是关于的齐二次方程，所以它表示的曲面是以为顶点的锥面，所以是直纹面.利用二次曲面的化简来判定在非退化的二次曲面中，只有柱面、锥面、单叶双曲面、双曲抛物面是直纹面.因此，对于一个方程，我们可以对其先化简，使其变为标准型，看是否是上述直纹面中的一种来判断该曲面是不是直纹面.利用因式分解来判定 定理2.3 如果二次曲面方程 (1)经过适当变形变为 (2)的形式（的次数均小于等于1），则该方程所表示的二次曲面是直纹面，其直母线可表示为 或 .其中是参数. 证 假设(2)式左端的两个因式次数都是1，由(2)式得出方程组 (3)为参数（不全为零）.因为的次数都小于等于1，并且(2)式左边两因式的次数都为1，因此无论取何值，方程(3)都表示直线，我们把(3)组成的一族直线叫做族直母线.现在来证明由该族直线可以生成曲面(2)，从而它是曲面(2)的一族直母线.容易知道，族直线(3)中任何一条直线上的点都在曲面(2)上，反过来, 设点 是曲面(2)上的点, 则有 . (4)选取适当的值，使得 . (5)所以 . (6)从而可知，点在族直线上.同理可得，另一族直母线为 . (7) 推论1从直线族方程(3)或(7)中消去参数,即得由这族直母线所生成的直纹面方程. 推论2如果直母线族方程(3)和(7)中的参数之间存在一个变换 ,那么直母线族方程(3)和(7)便可通过这种关系进行相互转换,即直纹面(2)只有一族直母线；反之,直纹曲面则(2)有两族直母线. 只有一族直母线的直纹面称为单参数直纹面,也称为可展曲面,常见的单数直纹面有柱面、锥面, 以及切线曲面.有两族直母线的直纹曲面称为双参数直纹曲面, 其中包括单叶双曲面、双曲抛物面等. 推论3 若直线族方程(3)和(7)相同，那么(2)式代表的曲面是柱面或锥面；若直母线族的方向矢量与参数无关，那么此时的曲面一定是柱面；当直母线族通过某定点时,则该曲面一定是锥面. 例如. 上述方程可写为.其各因式的次数都小于等于1，所该方程所表示的曲面是直纹面，又因为等式右边两因式相等，所以该直纹面是柱面或锥面.因为该曲面的直线族为所以方向矢量为，所以该直纹面是锥面. 3 三维欧氏空间中的直纹面3.1直纹面的特殊性质3.1.1 直纹面腰曲线的性质直纹面的腰曲线 单叶双曲面 命题3.1 单叶双曲面的腰椭圆就是腰曲线.证 单叶双曲面的参数方程为.向量表示为导线为母线方程为 因为 ,所以从而可得. 因为,所以的长度是固定的.因此.从而得出 即.由此可得，单叶双曲面的腰椭圆就是腰曲线. 另外，根据平行截线可以看出，腰椭圆就是长短半轴最小者.当腰椭圆为半径无限小的圆时，腰椭圆缩为一点，该情形即为锥面.双曲抛物面 .命题3.2 单叶双曲面是其腰椭圆从切面族的包络.命题3.3 双曲抛物面的腰曲线是两条直线 或 .证 双曲抛物面的参数方程为 (1)由(1)得，双曲抛物面的向量表示为 导线 母线方向 显然因此可得，双曲抛物面的腰曲线为直线 即，导线即为腰曲线.通过前面的证明，我们知道，双曲抛物面的两族直母线分别为 或 .显然，腰曲线是的那一条. 平行于平面的那族直母线 沿此腰曲线移动便可得到此曲面.同理，平行于的那族直母线 沿腰曲线 移动，也得得到此曲面.3.1.2 直纹面的其他特殊性质 除了前面提到的二次直纹面的基本性质外，直纹面还有以下几种特殊性质. 定理3.1 若直纹面的导线是球面曲线且该导线上一点的切向量与对应直母线上向量垂直，那么直母线上单位向量的终点的向径在该点切向量上的投影是常量. 定理3.2 如果在定理3.1中选取直纹面的导线为腰曲线，那么腰曲线上对应点的主法向量与直母线上的单位向量正交. 定理3.3 在定理3.1的假设下，若选取导线为腰曲线，那么位于腰曲线上某点的切向量与过该点的直母线的切向量的终点的向径在此切向量上的投影是常量. 下面分别对以上三个定理加以证明. 证 设直纹面的导线曲线为（为参数）,直母线上的单位向量为（为参数） 因为该导线上一点的切向量与直母线上向量垂直，所以 , (1)对(1)式求导得 , 即 . (2) 又因为, (3)对(3)求导得 ,即 . (4) 由(4)式减(2)式得 移项得 积分得 常数.即 由此证明了定理3.1的结论. 若在该直纹面上选取的导线为腰曲线，则 (5)由(2)式可得于是得出定理3.2的结论. 对(5)式求导得,即 . (6)由(4)式加(6)式可得,移项得积分得.于是，定理3.3得证.3.2 可展直纹面直纹面分为可展曲面和不可展曲面，下面主要给出判断直纹面是可展曲面的充要条件. 定义3.1 由一条曲线的切线所生成的直纹面称为切线曲面，表示为特别地，当为弧长参数时,即. 定义3.2 设直纹面为，当该直纹面的导线和直母线上的方向向量满足关系式时，称该直纹面为可展曲面 判断直纹面是可展曲面的充要条件有以下几种. (1)直纹面是可展曲面. (2)直纹面是可展曲面曲面上任一点的高斯曲率都为零. (3)直纹面是可展曲面它上面的直母线( 线) 是曲率线.(4)直纹面是可展曲面或者曲面是柱面, 或者是锥面,或者是某一条曲线的切线曲面.可展曲面只有一组直母线，而只有一族直母线的直纹面不一定是可展曲面. 定理3.4 一个可展曲面或是柱面，或是锥面，或是一条曲线的切线曲面 证 设直纹面为，取为直母线的单位向量，为直纹面的导线，在此选择腰曲线为导线.则由可展曲面的充要条件，可分下列三种情况对上述定理展开证明. (1)当时，可得=常向量，这表示腰曲线退化为一点，换言之，各条直母线上的腰点都重合为一点我们得到的曲面是以该腰点为顶点的锥面 (2)当时，由，得,又,垂直，所以，因此可得，该可展曲面为切于腰曲线的切线曲面. (3)当时，可得=常向量，既得此时的可展曲面为柱面.综上可得以上定理. 结 论 从本文介绍的曲面中可以看到，一些曲面可以按照某种规律运动所生成，即直纹面.在导出这种由曲线运动所产生的曲面方程时，它们的方法是统一的.即先写出含有参数的母线组的方程 然后消去三个参数，就得所要求的方程. 对于如何判定一个二次曲面是否是直纹面，在本文中，我们介绍了三种方法： 一、根据方程的特点直接判定； 二、利用二次曲面的化简来判定； 三、利用因式分解来判定. 同时，为了帮助大家更好的理解二次直纹曲面，本文还介绍了直纹面的相关性质.定理1 设直纹面为该直纹面的导线为腰曲线的充要条件是.定理2 设直纹面为 则直纹面是可展曲面的充要条件为 一个可展曲面或是柱面，或是锥面，或是一条曲线的切线曲面 参 考 文 献1吕林根,许子道.解析几何M.北京:高等教育出版社,1988:175-1822孟道骥.高等代数与解析几何:上下册M.北京:科学出版社,20073郗一民.直纹面直母线的几何意义J.数学教学研究,1984,第3期4姚红.二次直纹面J.商丘职业技术学院学报,2002,1(3):23-255姜国英,黄宣国.微分几何一百例M.北京:高等教育出版