对数函数总结

1 / 64 对数函数总结 对数函数 对数 1对数的概念：一般地，如果 a?N(a?0,a?1)，那么数 x 叫做以 a为底 N 的对数，记作： x?logaN 说明： 1 注意底数的限制 a?0，且 a?1； 2 a?N?logaN?x； 3 注意对数的书写格式 两个重要对数： 1 常用对数：以 10为底的对数 lgN； 2 自然对数：以无理数 e?为底的对数的对数 lnN 对数的运算性质 如果 a?0，且 a?1， M?0， N?0，那么： 2 / 64 1 loga(MN)?logaM logaN； x x M ?logaM logaN； Nn 3 logaM?nlogaM (n?R) 2 loga 注意：换底公式 logab? logcb 3 / 64 logca 1n logab? logab； logbam 利用换底公式推导下面的结论 logambn? 对数函数 1、对数函数的概念：函数 y?logax(a?0，且 a?1)叫做对数函 数，其中 x是自变量，函数的定义域是 注意： 1 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。如： y?2log2x， y?log5x 都不是对数函数，而只能称 4 / 64 5 其为对数型函数 2 对数函数对底数的限制： (a?0，且 a?1) 对数函数 例题解析 例 1求下列函数的定义域： y?logax； y?loga(4?x)； y?loga(9?x) 22 解：由 x0得 x?0， 函数 y?logax 的定义域是 xx?0； 2 2 5 / 64 ? 由 4?x?0 得 x?4， 函数 y?loga(4?x)的定义域是 xx?4； 2 g(9?x)的定义域是由 9-?x?0 得 -3?x?3， 函数 y?loa x ? 2 ?1?1? y?x?3?x?3y?2例 2求函数和函数 ? ?2?5? x2?1 6 / 64 ?2(x?0)的反函数。 ?1? 解： ?y?2 f?1(x)?log1(x?2) (x? -2)； ?5?5 ? x ?1? ?2? x2?1 5 ?y-2 7 / 64 f -1(x)? (2?x?) 2 例 4比较下列各组数中两个值的大小： ，； ，； ， 解：对数函数 y?log2x在 (0,?)上是增函数，于是 ?； 对数函数 y?在 (0,?)上是减函数，于是 ?； 当 a?1 时，对数函数 y?logax在 (0,?)上是增函数，于是 ?， 当 o?a?1时，对数函数 y?logax 在 (0,?)上是减函数，于是 ? 例 5比较下列比较下列各组数中两个值的大小： log67， log76； log3?，； ，； log53， log63， log73 解： log67?log66?1 ， log76?log77?1， log67?log76 ； log3?log31?0 ， ?log21?0， log3? (3 ） 8 / 64 1 ?. . 1?9 ， 1 . ?0 ， 0?1， 9 / 64 ? 0?log35?log36?log37 ， log53?log63?log73 例 7求下列函数的值域： y?log2(x?3)； y?log2(3?x)； y?loga(x?4x?7) 解：令 t?x?3，则 y?log2t， t?0 ， y?R ，即函数值域为 R 令 t?3?x，则 0?t?3， y?log23 ， 即函数值域为 (?,log23 令 t?x?4x?7?(x?2)?3?3， 当 a?1时，y?loga3， 即值域为 2 2 2 2 2 10 / 64 loga3,?)， 当 0?a?1 时， y?loga3， 即值域为 (?,loga3 例 8 判 断函数 f(x)?log2x)的奇偶性。 ?x恒成立，故 f(x)的定义域为 (?,?)， f(?x)?log2x) ?log2 ?log2 11 / 64 ?log2x?f(x)，所以， f(x) 为奇函数。 例 9求函数 y?2log1(x2?3x?2)的单调区间。 3 解：令 u?x?3x?2?(x?)? 2 2 32 2 133 12 / 64 在 ,?)上递增，在 (?,上递减， 224 又 x?3x?2?0 ， x?2 或 x?1， 故 u?x?3x?2 在 (2,?)上递增，在 (?,1)上递减， 又y?2log1u 为减函数， 3 2 所以，函数 y?2log1(x2?3x?2)在 (2,?)上递增，在 (?,1)上递减。 3 例 10若函数 y?log2(x?ax? a)在区间 (?,1?上是增函数， a的取值范围。 13 / 64 解：令 u?g(x)?x?ax?a， 函数 y?log2u 为减函数， u?g(x)?x? ax?a 在区 间 (?,22 2 3 上 )递减，且满足 u?0， ?a ?1?，解得 2?a?2， ?2 ?g(1?0? 所以， a 的取值范围为 2?2 14 / 64 【例 1】 (1)求函数 y=log1 2 3x?2 的定义域 2x?1 (a 0，且 a1) 的定义域 (2)求函数 y= 1?loga(x?a) (3)已知函数 f(x)的定义域是 0， 1，求函数 y=flog1(3x)的定义 3 3x?2?x?1log?12x?10?3x?2?2x?1012?2x?1? ?3x?212? 15 / 64 解 (1)由 ? 0?(3x?2)(2x?1) 0?x或 x ? 23?2x?1?11?2x?10?x?x2?2? ?1 ?2 x1? 122? ?x或 x ? x1 233? 1?x?2? 2 所求定义域为 x| x1 3 16 / 64 解 (2)1 loga(x a) 0， loga(x a) 1 当 a 1时， 0 x a a， 函数的定义域为 ( a， 0) 当 0 a 1时， x a a， 函数的定义域为 (0， ) 解 (3)f(x)的定义域为 0， 1， 函数 y=flog1(3 x)有意义， 3 必须满足 0log1(3 x)1 ，即 log11log1(3 x)log1 3 3 3 3 11 ， 3 33 17 / 64 88 x1 ， 2x 故函数 y=flog1(3 x)的定义域为 2， 333 10x 【例 2】 已知函数 y=，试求它的反函数，以及反函数的定义域和值域 1?10x 专题：对数函数知识点总结 1.对数函数的定义： 一般地，函数 y?logax叫做对数函数 .定义域是 2. 对数函数的性质为 思考：函数 y?logax 与函数 y?a的定义域、值域之间有什么关系？ 18 / 64 _ 对数函数的图象与指数函数的图象关于 _对 称。 一般的 ,函数 y=ax与 y=logax (a0且 a1) 互称相对应的反函数 ,它们的图象关于直线 y=x 对称 y=f(x)存在反函数 ,一般将反函数记作 y=f-1(x)y=x对称 函数与其反函数的定义域与值域对调 ,且它们的图象关于直线 y=x对称 如 :f(x)=2x,则 f-1(x)=log2x,二者的定义域与值域对调 ,且图象关于直线 专题应用练习 一、求下列函数的定义域 y?(4?x);； y?loga (a?0,a?1).； 19 / 64 y?log(2x?1)(?x2?2x?3) y? (5) y=lg 1 (6) y=log3x x?1 =log(5x-1)(7x-2)的定义域是 _ = lg(8?x2) 的定义域是 _ 3.求函数 y?log2(2x?1)的定义域 _ 4.函数 5.函数 y log 2(32 4x)的定义域是 6.函数 y?log5?x(2x?3)的定义域 _ 7.求函数y?loga(x?x2)(a?0,a?1)的定义域和值域。 8.求下列函数的定义域、值域： 2 20 / 64 y?log2(x?3)； y?log2(3?x)； y?loga(x2?4x?7) 9.函数 f=10.设 f(x)=lg 1 ln定义域 2?xx2 ,则 f()?f()的定义域为 2?x2x x?2|?1 的定义域为 log2(x?1) 11.函数 f(x)=12.函数 f(x)= 13.函数 f= 1g(x2?2x)?x2 21 / 64 的定义域为 ； 1 ln的定义域为 x 2 2 14 y?log 2 loglogx的定义域是 1. 设 f (x) lg(ax2 2x a), (1) 如果 f (x)的定义域是 ( , )，求 a的取值范围； 22 / 64 (2) 如果 f (x)的值域是 ( , )，求 a的取值范围 15.已知函数 f(x)?log1(x2?2ax?3) 2 若函数的定义域为 R，求实数 a的取值范围 若函数的值域为R，求实数 a 的取值范围 若函数的定义域为 (?,1)?(3,?)，求实数 a的值； 若函数的值域为 (?,?1，求实数 a的值 . x 16.若函数 y?f2的定义域为 ?1,0?，则函数 y?f?log2x?的定义域为 ? x 17.已知函数 f(2）的定义域是 -1， 1，求 f(log2x)的定义域 . x 23 / 64 18若函数 y=lg(4-a 2)的定义域为 R，则实数 a 的取值范围为 19 已知 x 满 足 不 等 式 (log2x)2?7log2x?6?0 ，函数f(x)?(log24x)?(log42x)的值域是 20 求函数y?(log1x)?log1x?1(1?x?4)的值域。 2 2 2 21已知函数 f(x)=log2x?1+log2(x-1)+log2(p-x). f(x)f(x)的值域 . x?1 ?x?1?x?1?0? 解： f(x)有意义时，有 ?x?1?0 24 / 64 ?p?x?0? , , , 由、得 x 1,由得 x p,因为函数的定义域为非空数集，故 p 1,f(x)的定义域是 (1,p). 2 p?12(p?1) f(x)=log2 (x+1)(p-x) =log2 -+ (1 x p), 24 当 1 p?1p?12(p?1)2(p?1)2)? p，即 p 3 0 -(x-, 2442 p?12(p?1)2? )? log2?(x? 2log2(p+1)-2. 24? 25 / 64 2 p?12(p?1)?p?1p?12(p?1)2 )?)?2(p?1), log2?(x?当 1，即 1 p 3时，0 -(x-? 1+log2(p-1). 24242? p 3时， f(x)的值域是，； ，； log75，log67； log23， log45， 3 2 ，的大小关系是 _ 2.已知 aba1，则m=logab， n=logba， p= logb3.已知 logm5logn5,试确定 m和 n 的大小关系 4.已知 0 a 1,b 1,ab 1，则 loga1,logb,log1 的大小关系是 b 26 / 64 a b 2 b 的大小关系是 _ a b 5.已知 logb loga logc,比较 2,2,2的大小关系 . 12 12 12 bac 27 / 64 6. 设 a?log3?,b?log2c?log 已知 x?1,d?,试比较 a?logdx?， b?logdx2c?logd?logdx?的大小。已知 x?1,d?1试比较 a?logdx?， b?logdx2 的大小。 2 2 9.设 0 0，且 a 1，试比较 | loga |与 | loga |的大小。 10.已知函数 f(x)?lgx，则 f? ?1?， ?4?1? f?， f(2)的大小关系是 _ ?3? 三、解指、对数方程： 28 / 64 3 3x?5 ?27 22x?12log5(3x)?log5(2x?1)?lg(x?1) a b 1.已知 3a=5b=A,且 1?1=2，则 A 的值是 2.已知 log7 log3(log2x) =0，那么 x等于 3.已知 log7 log3(log2x) =0，那么 x等于 4.若 x (e,1),a=lnx,b=2lnx,c=lnx,则 5.若f10x?x，那么 f?3?等于 6. 已知 f(x5)?lgx，则 f(2)? 7. 已知 loga(x2?4)?loga(y2?1)?loga5?loga(2xy?1)(a?0，且 a?1)，求 log8 29 / 64 -1 3 ?12 ? 12 ? y 的值 x 四、解不等式： (3x)?log5(2x?1) (x?1)?1 3.设 a,b 满足 0?a?b?1，给出下列四个不等式： 30 / 64 a?a， b?b， a?b， b?a，其中正确的不等式有 4.已知： (1)f(x)?logax 在 3,?)上恒有 |f(x)|?1，求实数 a 的取值范围。 2 5.已知函数 f(x)?x?3,g(x)?a(1?x)，当 ?2?x?2时， f(x)?g(x)恒成立，求实数 a 的取值范围。 a b a b a a b 31 / 64 b 6.求 m的取值范围，使关于 x的方程 (lgx)?2mlgx?(m?)?0 有两个大于 1的根 若 x (e,1),a=lnx,b=2lnx,c=lnx,则 11 7.已知 0 a 1,b 1,ab 1，则 loga,logab,logb 的大小关系是 bb 8.已知函数 f(x)=logax(a 0,a 1)，如果对于任意 x 3，+）都有 |f(x)| 1 成立，试求 a 的取值范围 -1 3 2 32 / 64 14 9.已知函数 f=log2(x-ax-a)在区间 14.设 a0且 a 1，若函数 f (x) alg(x2?2x?3) 有最大值，试解不等式 log2a(x?5x?7)0 五、定点问题 1.若函数 y=loga(x+b) (a 0,且 a 1)的图象过两点和，则2.若函数 y=loga(x+b) (a 0,且 a 1)的图象过两点和，则 3. 函数 f(x)?loga(x?1)?1(a?0 且 a?1) 恒 过 定点 . 六、求对数的底数范围问题 1.若 log4 a 5 33 / 64 ?1(a?0且 a?1)，求 a的取值范围 2. 若 log(2a?3)(1?4a)?2，求 a 的取值范围 3.若 log2 a 3 ?1(a?0 且 a?1)，则 a 的取值范围 _ 4.函数f(x)?loga(x?1)的定义域和值域都是 0,1，则 a的值为 . 5.若函数 f(x)?loga(a?x)在 2,3上单调递减，则 a 的取值范围是 6.函数 y=(ax+a-1)在 x 2上单调减，求实数 a 的范围 7.已知 y=logx a(2-a)在 0， 1上是 x 的减函数 ，求 a 的取值范围 8.已知函数 y=loga2 (x2-2ax-3)在 (- ,-2)上是增函数，求 a 的取值范围 . 9.已知函数 f(x)=logax(a 0,a 1)，如果对 于任意 x 3，+）都有 |f(x)| 1 成立， 试求 a 的取值范围 . 34 / 64 10.若函数 y?loga(1?x)在 0,1)上是增函数， a 的取值范围是 对数极对数函数题型总结 例题讲解 一、利用对数恒等式化简求值 1求值： 2求的值 (a， b， c R+，且不等于 1， N0) 二、积、商、幂的对数 3求值 (1) (2)lg2 lg50+(lg5)2 (3)lg25+lg2 lg50+(lg2)2 4已知 3a=5b=c，求 c的值 . 35 / 64 5设 a、 b、 c为正数，且满足 a2+b2=c2.求证： . 6已知： a2+b2=7ab， a0， b0. 求证： . 三、换底公式的运用 7 (1)已知 logxy=a， 用 a表示； (2)已知 logax=m， logbx=n， logcx=p， 求 logabcx. 8求值： (1)； (2)； (3). 四、对数运算法则的应用 9求值 (1) log89 log2732 (2) 1 36 / 64 (3) (4)(log2125+log425+log85)(log1258+log254+log52) 10求值： 11已知： log23=a， log37=b，求： log4256=? 五、函数的定义域、值域 求含有对数函数的复合函数的定义域、值域，其方法与一般函数的定义域 、值域的求法类似，但要注意对数函数本身的性质在解题中的重要作用 . 12. 求下列函数的定义域 . (1) y= (2) y=ln(ax-k 2x)(a0且 a11， k?R). 13函数 y=f(2x)的定义域为 -1， 1，求 y=f(log2x)的定义域 . 六、函数图象问题 37 / 64 14作出下列函数的图象： (1) y=lgx， y=lg(-x)， y=-lgx； (2) y=lg|x|； (3) y=-1+lgx. 七、对数函数的单调性及其应用 利用函数的单调性可以：比较大小；解不等式；判断单调性；求单调区间；求值 域和最值 . 15已知 A B则 C D 2 16. 已知 f(logax)=(a0 且 a 1)，试判断函数 f(x)的单调性 . 38 / 64 17求函数 y=(-x2+2x+3)的值域和单调区间 . 八、函数的奇偶性 18. 判断下列函数的奇偶性 . (1) (2). 九、对数函数性质的 综合应用 19已知函数 f(x)=lg(ax2+2x+1). (1)若函数 f(x)的定义域为 R，求实数 a 的取值范围； (2)若函数 f(x)的值域为 R，求实数 a的取值范围 . 课堂练习 1 若 f(x)=1+logx3,g(x)=2logx2，试比较 f(x)与 g(x)的大小。 已知函数 f(x)=10x?10?x 39 / 64 2 10x?10?x。 判断 f(x)的单调性； 求 f-1(x)。 3 已知 x 满足不等式 2(log2x） 2-7log2x+3?0,求函数f(x)=log2x2?logx 24的最 大值和最小值。 f(x2-3)=lgx2 4 已知函数 x2?6, (1)f(x)的定义域； (2)判断 f(x)的奇偶性； (3)求 f(x)的反函数 ; (4)若 f?(x)=lgx,求 ?(3)的值。 3 40 / 64 5 设 00且 a?1，比较 loga(1?x)与 loga(1?x)的大小。 6 已知函数 f(x)=log3mx2?8x?n 的定义域为 R，值域为 0，2，求 m,n的值。 x2?1 7 已知 x0,y?0,且 x+2y=1 2,求 g=log 1(8xy+4y2+1)的最小值。 2 ?4?x2 y 8求函数 lg(|x|?x)的定义域 9已知函数 y?loga(2?ax)在 0， 1上是减函数，求实数 a的取值范围 10已知 f(x)?loga(x?1?a)，求使 f(x)1 的 x的值的集合 41 / 64 4 指数函数与对数函数知识点总结 指数与指数幂的运算 1根式的概念：一般地，如果 xn?a，那么 x叫做 a 的 n 次 * 方根，其中 n1，且 n N 当 n 是奇数时， 二、对数函数 对数 1对数的概念：一般地，如果 ax?N(a?0,a?1)，那么数 x叫做以记作： x?logaN 两个重要对数： 1 常用对数：以 10为底的对数 lgN； 42 / 64 2 自然对数：以无理数 e?为底的对数的对数 2分数指数幂 正数的分数指数幂的意义，规定： lnN 指数式与对数式的互化 幂值 真数 a?am(a?0,m,n?N*,n?1) a ? mn ? 43 / 64 1a mn ? 1 am (a?0,m,n?N*,n?1) 3实数指数幂的运算性质 rrr?s a a?a (a?0,r,s?R)； 对数的运算性质 如果 a?0，且 a?1， M?0， N?0，那么： 1 loga(M N)?logaM logaN； 44 / 64 rsrs (a)?a (a?0,r,s?R)； (ab)?aa 指数函数及其性质 rrs (a?0,r,s?R) x 1、指数函数的概念：一般地，函数 y?a(a?0,且 a?1)叫做指数函数，其中 x是自变量，函数的定义域为 R M ?logaM logaN； N 45 / 64 3 logaMn?nlogaM (n?R) 2 loga 注意：换底公式 logab? logcb logab? logab； mlogba b?0） 利用换底公式推导下面的结论 logambn?对数函数 1、对数函数的概念：函数 y?logax(a?0， 且 a?1)叫做对数函数，其中 x 是自变量，函数的定义域是 注意： 1 对数46 / 64 函数的定义与指数函数类似，都是形式定义， 注意辨别。如： y?2log2x， y?log5x 都不是对数函 5 x ? 13 1 ? 2x4?1?15 8 3 数，而只能称其为对数型函数 2 对数函数对底数的限制： (a?0，且 a?1) 47 / 64 指数函数 1、函数 y?a 2x?1 (a?0,a?1)的图象必过定点 。 x 2、如果指数函数 f(x)?(a?1)是 R 上的单调减函数，那么 a取值范围是 A、 a?2 B、 a?2 C、 1?a?2 D、0?a?1 3、下列关系中，正确的是 1?13151? ?2 D、 ()5?()3 A、 ()?() B、 2?2 C、 2 48 / 64 2222 11 1、用根式的形式表示下列各式 (a?0) a a 15 ?32 4、比较下列各组数大小： ?2? ? ?3? ? 49 / 64 ?2? ? ?3? ? ? ? 5、函数 f(x)?10 在区间 ?1， 2上的最大值为最小值为。 函数 f(x)?在区间 ?1， 2上的最大值为最小值为 x x 2、用分数指数幂的形式表示下列各式： xy 3、求下列各50 / 64 式的值 4 3 m2m ?(m?0) ?1?1? 6、函数 y?的图象与 y?的图象关于 对称。 ?3?3? 7、已知函数 y?a(a?0,a?1)在 ?1,2?上的最大值比最小值多 2，求 a 的 x x?x 51 / 64 值 。 3 ?2 ?25? 25? ?4? 4、解下列方程 32 2x?a 8、已知函数 f(x)=x 是奇函数 ，求 a 的值 。 2?1 52 / 64 对数 1、将 下列指数式改写成对数式 24?16 5a?20 答案为： 2、将下列对数式改写成指数式 log5125?3 log10a?2 答案为： 2、已知 lg2?a,lg3?b，试用 a,b 表示下列各对数。 lg108 =_ lg 18 =_ 25 3、求 log89?log332 的值 _； 3、求下列各式的值 53 / 64 log264= log927 = = lg1= log39= log19= log328= 3 4、已知 a?0，且 a?1， loga2?m， log?na3?n，求 a2m 的值。 5、若 log3(1?a)有意义，则 a的范围是 6、已知 2logx8?4，求 x 的值 对数 1、求下列各式的值 log3 5 2(2?4)=_log5125=_ 1 54 / 64 2 lg25?lg2?lg?lg()?1=_ 2log32 32?log39 ?log38?3log55 =_ lg5?lg20?lg2?lg50?lg25=_ lg14?2lg 76?1 2 lg49?lg72?8lg1=_ (lg5)2 ?lg2?lg50=_ (lg2)3 ?(lg5)3 ?3lg2?lg5=_ 55 / 64 log23?log34?log45?log56?log67?log78=_ 4、设 3x?4y ?36，求 2x?1 y 的值 _。 5、若 lg2?m,log1 310?n ，则 log56 等于 。 6、已知函数 y?lo(ga?1)x 在 (0,?)上为增函数，则 a 的取值范围是 。 7、设函数 y?log2(x?1)，若 y?1,2?，则 x?8、函数y?loga(x?3)?3(a?0 且 a?1)恒过定点 。 56 / 64 9、已知函数 y?logax(a?0,a?1)在 x?2,4上的最大值比最小值多 1，求实数 a 的值 。 幂函数 1、下列函数中，是幂函数的是 1A、 y?2x B、 y?x2 C、 y?log?2x D、 y?x 2 2、若一个幂函数 f(x)的图象过点 (2,14 )，则 f(x)的解析式为 3、已知函数 y?x 57 / 64 2m?1 在区间 ?0,?上是增函数，求实数 m 的取值范围 据此数据，可得方程 3x?x?4?0的一个近似解为 为 。 函数与零点 1、证明：函数 y?x?6x?4有两个不同的零点；函数 f(x)?x?3x?1在区间上有零点 2 2、若方程方程 5x?7x?a?0 的一个根在区间内，另一个在区间内，求实数 a的取值范围 二分法 1、设 x0是方程 lnx?2x?6?0 的近似解，且 x0?(a,b)， b?a?1，58 / 64 a,b?z，则 a,b的值分别为 、 2、函数 y?lnx?6?2x 的零点一定位于如下哪个区间 A、 ?1,2? B、 ?2,3? C、 ?3,4? D、 ?5,6? 3、已知函数 f(x)?3?x?5 的零点 x0?a,b?，且 b?a?1， a，b?N，则 x ? a?b? 4、函数 f(x)? lgx?x?的 3零点在区间 (m,m?1()m?Z)内，则 m? 5、用二分法求函数 f(x)?3x?x?4 的一个零点，其参考数据如下： 59 / 64 对数函数 知识点一：对数函数的概念 1定义：函数 y?logax