2014世纪金榜第三章第一节.ppt

第三章三角函数与解三角形第一节三角函数的概念,1.角的有关概念,射线,旋,转,象限角,正角,负角,零角,k360+，kZ,2.弧度的定义和公式(1)定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做_的角.记作_.,1弧度,1rad,(2)公式：,2,|r,3.任意角的三角函数(1)定义：在平面直角坐标系中，设的终边上任意一点P的坐标是(x,y)，它与原点的距离是r(r=0)，规定：比值_叫做的正弦，记作sin，即sin=_；比值_叫做的余弦，记作cos,即cos=_；比值_(x0)叫做的正切，记作tan,即tan=_.,(2)有向线段：规定了方向(即规定了起点和终点)的_.(3)有向线段的数量：若有向线段AB在有向直线l上或与有向直线l平行，根据有向线段AB与有向直线l的方向相同或相反，分别把它的长度添上正号或负号，这样所得的_，叫做有向线段的数量，记为_.,线段,数,AB,(4)三角函数线：,如图所示，则正弦线为_(用字母表示)余弦线为_，正切线为_.有向线段MP，OM，AT都称为_.,MP,OM,AT,三角函数线,判断下面结论是否正确(请在括号内打“”或“”).(1)小于90的角是锐角.()(2)锐角是第一象限角，反之亦然.()(3)与45角终边相同的角可表示为k360+45，kZ或2k+45，kZ.()(4)将分针拨快10分钟，则分针转过的角度是60.()(5)点P(tan，cos)在第三象限，则终边在第二象限.(),【解析】(1)错误.负角小于90，但它不是锐角.(2)错误，第一象限角不一定是锐角，如-350是第一象限角，但它不是锐角.(3)错误，不能表示成2k+45，即角度和弧度不能混用.(4)错误,拨快时分针顺时针旋转，应为-60.(5)正确，由已知得tan0，cos0，所以为第二象限角.答案：(1)(2)(3)(4)(5),1.终边与坐标轴重合的角的集合为_.【解析】由题意可知，角的终边分4种情况，分别是在x轴的正、负半轴和y轴的正、负半轴.故角的集合是以上4种情况的并集，即|=k90，kZ.答案：|=k90,kZ,2.终边落在第二象限的角可表示为_.【解析】由题意可知角的终边与钝角的终边相同，故可表示为|+2k+2k，kZ.答案：|+2k+2k，kZ,3.已知sin0，tan0，那么是第_象限角.【解析】由sin0，则的终边在第三、四象限，或y轴负半轴.由tan0，则的终边在第一、三象限，故是第三象限角.答案：三,4.已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所对的弧长是_.【解析】由，l=|r=2r，可得答案：5.已知角终边上一点A(2,2)，则tan=_.【解析】答案：1,6.扇形的半径为2，圆心角为120，扇形面积为_.【解析】120=120(rad)，答案：,考向1终边相同的角与象限角【典例1】(1)若角与的终边落在过原点的同一条直线上，则与的关系是_.(2)若sincos0，则为第_象限角.(3)已知角是第一象限角，确定2，的终边所在的象限.,【思路点拨】(1)分，终边重合与互为反向延长线两种情况求解.(2)分同为正和同为负两种情况分析.(3)写出的范围，再求2，的范围.利用k的取值判断.,【规范解答】(1)当，的终边重合时，=+k2,kZ.当，的终边互为反向延长线时，=+k2=+(2k+1),kZ.综上可得=+k,kZ.答案：=+k,kZ,(2)由sincos0，可知sin0，cos0或sin0，cos0，当sin0,cos0时为第一象限角，当sin0，cos0时为第三象限角.答案：一或三(3)是第一象限角，k2k2+(kZ).k42k4+(kZ),即2k222k2+(kZ),2的终边在第一象限或第二象限或y轴的非负半轴上.,kk+(kZ),当k=2n(nZ)时,2n2n+(nZ),的终边在第一象限.当k=2n+1(nZ)时,(2n+1)(2n+1)+(nZ),即2n+2n+(nZ),的终边在第三象限.综上，的终边在第一象限或第三象限.,【拓展提升】与所在象限的关系,【提醒】在确定象限角时，若出现180k(kZ)，则需首先对k的值进行讨论，然后确定象限.,【变式训练】(1)若是第三象限的角，则-是第_象限角.【思路点拨】由为第三象限角可得-的范围，对k取不同的值可解.,【解析】由+2k+2k，kZ,得故当k为偶数时在第一象限，当k取奇数时在第三象限.故是第一或第三象限角.答案：一或三,(2)已知角是第二象限角，试确定所在的象限.【解析】角为第二象限角，当k=3n(nZ)时，的终边在第一象限.当k=3n+1(nZ)时，的终边在第二象限.,当k=3n+2(nZ)时，的终边在第四象限.综上，的终边在第一象限、第二象限或第四象限.,考向2弧度制的应用【典例2】(1)已知扇形OAB的圆心角为120，半径r=6，求弧的长及扇形的面积.(2)已知扇形周长为20，当扇形的圆心角为多大时，它有最大面积，最大面积是多少？【思路点拨】(1)将圆心角化为弧度，再利用弧长、面积公式求解.(2)利用扇形周长得半径与弧长的关系，再利用面积公式化为关于半径r的二次函数求最值.,【规范解答】(1)故弧的长为4，扇形的面积为12.(2)由已知得l+2r=20，S=lr=(20-2r)r=10r-r2=-(r-5)2+25，所以r=5时，Smax=25,此时，l=10，=2(rad).故当扇形的圆心角为2时，它有最大面积25.,【互动探究】本例(1)中若求扇形的弧所在的弓形面积，又将如何求解？【解析】由S弓=S扇形-S=12-62sin=12-9,故弓形的面积为,【拓展提升】弧度制与角度制下弧长与扇形面积公式弧度制下l=r，S=lr，此时为弧度.在角度制下，弧长扇形面积此时n为角度，它们之间有着必然的联系.,【提醒】在解决弧长、扇形面积及弓形面积时要注意合理应用圆心角所在的三角形.,【变式备选】已知半径为10的圆O中，弦AB的长为10.(1)求弦AB所对的圆心角的大小.(2)求所在的扇形的弧长l及弧所在的弓形的面积S.,【解析】(1)由O的半径r=10=AB，知AOB是等边三角形，=AOB=60=.(2)由(1)可知=，r=10，弧长l=r=而S=S扇形-SAOB=,考向3三角函数的定义【典例3】(1)若点P(m，n)是1110角的终边上任意一点，则的值等于_.(2)已知角的终边上一点m0,且sin=求cos,tan的值.【思路点拨】(1)由P点在1110角的终边上可得m，n的关系式，代入所求式子可解.(2)先由sin=结合三角函数的定义建立关于参数m的方程，求出m的值，再根据定义求cos，tan的值.,【规范解答】(1)由1110=3360+30,tan1110=tan30=答案：,(2)由题设知r2=|OP|2=(-)2+m2,O为原点，得从而于是3+m2=8，解得m=当m=时，当m=-时，,【互动探究】将本例(2)中“sin=”改为“tan=”，如何求sin，cos？【解析】由已知得，又得m=-1，P(-，-1)，r=2，,【拓展提升】用定义法求三角函数值的两种情况(1)已知角终边上一点P的坐标，则可先求出点P到原点的距离r，然后用三角函数的定义求解.(2)已知角的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求相关问题，若直线的倾斜角为特殊角，也可直接写出角的三角函数值.,【变式备选】已知角的终边在直线3x+4y=0上，求sin,cos,tan的值.【解析】角的终边在直线3x+4y=0上，在角的终边上任取一点P(4t,-3t)(t0),则x=4t,y=-3t,当t0时，r=5t,当t0时，r=-综上可知，或,【易错误区】三角函数定义中忽略分类讨论而致误【典例】(2013天津模拟)已知角的终边上一点P(3a，4a)(a0),则sin=_.【误区警示】本题易出现的错误是：由终边上一点求三角函数时，由于没有考虑参数的取值情况，没有分类讨论，从而求出r=5a，导致结果错误.,【规范解答】x=3a,y=4a,(1)当a0时，r=5a，(2)当a0时，r=-5a，答案：,【思考点评】1.任意角三角函数的定义对于三角函数的定义，若设角的终边经过点P(x，y)，|OP|=则2.分类讨论思想的应用对于三角函数定义，如果含有参数，一定要考虑运用分类讨论.在分类讨论时要注意统一分类标准，明确分类的对象，逐类讨论，最后归纳总结.,1.(2013连云港模拟)若角与角终边相同，则在0，2内终边与角终边相同的角是_.【解析】由角与角终边相同，得=2k+，kZ，故又0，2，故k=0时，k=1时，k=2时，k=3时，答案：,2.(2013徐州模拟)已知点P(sin，cos)在第四象限，则角的终边在第_象限.【解析】P(sin，cos)在第四象限，的终边在第二象限.答案：二,3.(2013盐城模拟)若cos=-，且角的终边经过点P(x，2)，则P点的横坐标x是_.【解析】由cos=-0，又点(x，2)在的终边上，故为第二象限角，故x0.4x2=3x2+12,x2=12,x=-或x=(舍).答案：-,4.(2013宿迁模拟)设扇形的周长为8cm，面积为4cm2，则扇形的圆心角的弧度数是_.【解析】设扇形半径为rcm，弧长为lcm，则，解得圆心角