江苏专版2019届高三数学备考冲刺140分问题12利用基本不等式处理最值证明不等式和实际问题含解析.doc

问题12利用基本不等式处理最值、证明不等式和实际问题一、考情分析不等式问题始终是高考数学的热点题型之一,而基本不等式法是最为常见、应用十分广泛的方法之一下面笔者以近几年高考试题及模拟题为例,对高考中考查利用基本不等式解题的基本特征和基本类型作一些分类解析,供参考二、经验分享(1)应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”所谓“一正”是指正数,“二定”是指应用基本不等式求最值时,和或积为定值,“三相等”是指满足等号成立的条件(2)在利用基本不等式求最值时,要根据式子的特征灵活变形,配凑出积、和为常数的形式,然后再利用基本不等式(3)条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法,即根据条件建立两个量之间的函数关系,然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形,利用常数“1”代换的方法构造和或积为常数的式子,然后利用基本不等式求解最值(4)应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式(或式子)变形,然后利用基本不等式求解(5)条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解(6)求参数的值或范围：观察题目特点,利用基本不等式确定相关成立条件,从而得参数的值或范围三、知识拓展1(1)若,则；(2)若,则（当且仅当时取“=”）2(1)若,则；(2)若,则（当且仅当时取“=”）；(3)若,则（当且仅当时取“=”）3若,则（当且仅当时取“=”）；若,则（当且仅当时取“=”）；若,则,即或（当且仅当时取“=”）4若,则（当且仅当时取“=”）；若,则,即或（当且仅当时取“=”）6若,则（当且仅当时取“=”）7一个重要的不等式链：8. 9函数图象及性质(1)函数图象如右图所示：(2)函数性质：值域：；单调递增区间：；单调递减区间：10.(1)当两个正数的积为定植时,可以求它们的和的最小值,当两个正数的和为定植时,可以求它们的积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大”；(2)求最值的条件“一正,二定,三相等”；(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用四、题型分析(一) 利用基本不等式求最值利用基本不等式求函数最值时,应注意三个条件：“一正,二定,三相等”,这三个条件中,以定值为本因为在一定限制条件下,某些代数式需经过一定的变式处理,才可利用基本不等式求得最值,而怎样变式,完全取决于定值的作用主要有两种类型：一类是中条件给出定值式,一类是条件中无定值式类型一 给出定值【例1】【江苏省南通市三县（通州区、海门市、启东市)2019届高三第一学期期末】已知实数，且，则的最小值为_【答案】【解析】由于a+b2，且ab0，则0b1a2，所以，令t2a1（1，3），则2at+1，所以，当且仅当，即当时，等号成立因此，的最小值为故答案为：【小试牛刀】设是正实数,且,则的最小值是_【答案】【分析一】考虑通法,消元化为单元函数,而后可用导数法和判别式法求解函数的最小值；【解析一】【分析二】考虑整体替换的方法,分母的和为常数【解析二】设,则, 类型二 未知定值【例2】已知为正实数,则的最小值为 A B C D3【答案】3【解析】,当且仅当时取等号.【点评】配凑法是解决这类问题的常用方法,其目的是将代数式或函数式变形为基本不等式适用的条件,对于这种没有明确定值式的求最大值（最小值）问题,要灵活依据条件或待求式合理构造定值式【小试牛刀】已知函数在R上是单调递增函数,则的最小值是 【答案】1【解析】 由题意的, 因为函数在上单调递增,所以满足,可得,且 所以,当且仅当时等号成立,所以.技巧一：凑项【例3】设,则的最小值是 【分析】拼凑成和为定值的形式【解析】(当且仅当和,即时取等号).【点评】使用该公式时一定要牢牢抓住一正、二定、三相等这三个条件,如果不符合条件则：非正化正、非定构定、不等作图（单调性）.平时应熟练掌握双钩函数的图象,还应加强非定构定、不等作图这方面的训练,并注重表达的规范性,才能灵活应对这类题型.【小试牛刀】【江苏省无锡市2019届高三上学期期中】设为正实数，且，则的最小值为_.【答案】27【解析】因为，所以因此当且仅当时取等号，即的最小值为27.技巧二：凑系数【例4】 当时,求的最大值【分析】由知,利用基本不等式求最值,必须和为定值或积为定值,此题为两个式子积的形式,但其和不是定值注意到为定值,故只需将凑上一个系数即可【解析】,当,即时取等号,当时,的最大值为8【评注】本题无法直接运用基本不等式求解,但凑系数后可得到和为定值,从而可利用基本不等式求最大值【小试牛刀】设,求函数的最大值【解析】,当且仅当,即时等号成立【点评】总的来说,要提高拼凑的技巧,设法拼凑出乘积或和为定值的形式技巧三： 分离【例5】 求的值域【分析一】本题看似无法运用基本不等式,不妨将分子配方凑出含有的项,再将其分离【解析一】,当,即时,（当且仅当时取“”号）【小试牛刀】已知a,b都是负实数,则的最小值是 【答案】2（1）【解析】技巧四：换元【例6】已知a,b为正实数,2baba30,求y的最小值【分析】这是一个二元函数的最值问题,通常有两个途径,一是通过消元,转化为一元函数问题,再用单调性或基本不等式求解,对本题来说,这种途径是可行的；二是直接用基本不等式,对本题来说,因已知条件中既有和的形式,又有积的形式,不能一步到位求出最值,考虑用基本不等式放缩后,再通过解不等式的途径进行【解法一】由已知得a,abba0,0b15令tb+1,则1t16,ab2（t）34t28,ab18,y,当且仅当t4,即a6,b3时,等号成立【解法二】由已知得：30aba2ba2b2,30ab2令u,则u22u300,5u3,3,ab18,y【点评】本题考查不等式的应用、不等式的解法及运算能力；如何由已知不等式出发求得的范围,关键是寻找到之间的关系,由此想到不等式,这样将已知条件转换为含的不等式,进而解得的范围【小试牛刀】设正实数满足,则的取值范围为 【答案】【解析】因为,所以设,所以当时,上式取得最大值当时,上式取得最小值所以的取值范围为【点评】基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能,因此可以用在一些不等式的证明中,还可以用于求代数式的最值或取值范围如果条件等式中,同时含有两个变量的和与积的形式,就可以直接利用基本不等式对两个正数的和与积进行转化,然后通过解不等式进行求解技巧五：整体代换多次连用最值定理求最值时,要注意取等号的条件的一致性,否则就会出错【例7】已知,且,求的最小值【错解】,且,故【错因】解法中两次连用基本不等式,在等号成立条件是,在等号成立条件是,即,取等号的条件的不一致,产生错误因此,在利用基本不等式处理问题时,列出等号成立条件是解题的必要步骤,而且是检验转换是否有误的一种方法【正解】, ,当且仅当时,上式等号成立,又,可得时,【小试牛刀】【江苏省苏北四市2019届高三第一学期期末】已知正实数满足，则的最小值为_【答案】【解析】正实数x，y满足1，则：x+yxy，则： 4x+3y，则： 437+4，故的最小值为故答案为：.技巧六：取平方【例8】已知x,y为正实数,3x2y10,求函数W的最值【解析】W0,W23x2y210210()2()2 10(3x2y)20,W2 【小试牛刀】求函数的最大值【解析】注意到与的和为定值,又, ,当且仅当=,即时取等号,故【点评】本题将解析式两边平方构造出“和为定值”,为利用基本不等式创造了条件技巧七：构造要求一个目标函数的最值,我们利用基本不等式构造一个以为主元的不等式（一般为二次不等式）,解之即可得的最值【例9】设为实数,若,则的最大值是 【分析】利用基本不等式将已知定值式中的均转化成含的不等式,再求的最大值【答案】【解析】,可解得的最大值为【点评】本题的解法过程体现了“消元”的思想,所求目标函数是和的形式,那我们就设法消去条件等式中的乘积,方法就是利用基本不等式,这里它的作用,一个是消元,还有就是把条件的等式变为了不等式【小试牛刀】若正实数,满足,则的最大值为 【分析】构成关于的不等式,通过解不等式求最值【解析】由,得.即,.计算得出:.的最大值是.技巧八：添加参数【例10】若已知,则的最小值为 【解析】时可取得函数的最小值,此时,此时,最小值为【小试牛刀】设是不全为零的实数,求的最大值【解析】显然我们只需考虑的情形,但直接使用基本不等式是不行的,我们假设可以找到相应的正参数满足：故依据取等号的条件得, ,参数就是我们要求的最大值消去我们得到一个方程,此方程的最大根为我们所求的最大值,得到【点评】从这个例子我们可以看出,这种配凑是有规律的,关键是我们建立了一个等式,这个等式建立的依据是等号成立的条件,目的就是为了取得最值【小试牛刀】设是正实数,求的最小值【解析】引进参数,使之满足,依据取等号的条件,有：,故的最小值4综上所述,应用均值不等式求最值要注意：一要“正”：各项或各因式必须为正数；二可“定”：必须满足“和为定值”或“积为定值”,要凑出“和为定值”或“积为定值”的式子结构,如果找不出“定值”的条件用这个定理,求最值就会出错；三能“等”：要保证等号确能成立,如果等号不能成立,那么求出的仍不是最值(二) 基本不等式与恒成立问题【例11】已知0,0,且,若恒成立,则实数的取值范围是 【分析】先求左边式子的最小值【解析】,且,当且仅当,即时取等号,又,要使恒成立,只需,即,解得,故答案为.【点评】恒成立指函数在其定义域内满足某一条件（如恒大于等）,此时,函数中的参数成为限制了这一可能性（就是说某个参数的存在使得在有些情况下无法满足要求的条件）,因此,适当的分离参数能简化解题过程例：要使函数恒大于,就必须对进行限制-令,这是比较简单的情况,而对于比较复杂的情况时,先分离参数的话做题较简单.【小试牛刀】若对任意的正实数恒成立,求的最小值【解析】对任意的正实数恒成立,对任意的正实数恒成立设,由取等号条件：,消去,可以得到：,解得：,因此的最小值为题型二基本不等式的实际应用【例12】某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本为C(x)，当年产量不足80千件时，C(x)x210x(万元)当年产量不小于80千件时，C(x)51x1 450(万元)每件商品售价为0.05万元通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；(2)当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？【解析】(1)因为每件商品售价为0.05万元，则x千件商品销售额为0.051 000x万元，依题意得：当0x80时，L(x)1 000x0.05(x210x)250x240x250；当x80时，L(x)1 000x0.05(51x1 450)2501 200(x)L(x)(2)当0x0)，即x80时“”成立(2)年平均利润为x18(x)18，x210，18(x)18108，当且仅当x，即x5时，取等号五、迁移运用1.【江苏省南通市通州区2018-2019学年第一学期高三年级期末】对于直角三角形的研究，中国早在商朝时期商高就提出了“勾三股四玄五”勾股定理的特例，而西方直到公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯才提出并证明了勾股定理如果一个直角三角形的斜边长等于5，那么这个直角三角形面积的最大值等于_【答案】【解析】设直角三角形的斜边为c，直角边分别为a，b，由题意知，则，则三角形的面积，则三角形的面积，当且仅当a=b=取等即这个直角三角形面积的最大值等于，故答案为：2【江苏省南通、扬州、泰州、苏北四市七市2019届高三第一次（2月)模拟】在平面四边形中，则的最小值为_【答案】【解析】如图，以A为原点，建立平面直角坐标系，则A（0,0），B（1,0），因为DADB，可设D（，m），因为，AB1，由数量积的几何意义知在方向的投影为3，可设C（3，n），又所以，即，当且仅当，即n1，m时，取等号，故答案为.3【江苏省常州市2019届高三上学期期末】已知正数满足，则的最小值为_.【答案】4【解析】由基本不等式可得，所以，当且仅当，即当yx2时，等号成立，因此，的最小值为4，故答案为：44【江苏省扬州市2018-2019学年度第一学期期末】已知正实数x，y满足，若恒成立，则实数m的取值范围为_【答案】【解析】由于x+4yxy0，即x+4yxy，等式两边同时除以xy得，由基本不等式可得，当且仅当，即当x2y=6时，等号成立，所以，x+y的最小值为9因此，m9故答案为：m95【江苏省徐州市（苏北三市（徐州、淮安、连云港)2019届高三年级第一次质量检测】已知，且，则的最大值为_【答案】【解析】化为，即，解得：，所以，的最大值为。故答案为：6【江苏省无锡市2019届高三上学期期末】在锐角三角形 ABC 中，已知 2sin2 A+ sin2B = 2sin2C，则的最小值为_【答案】【解析】由正弦定理，得：，如图，作BDAC于D，设ADx，CDy，BDh，因为，所以，化简，得：，解得：x3y，当且仅当时取得最小值.故答案为：.7【江苏省镇江市2019届高三上学期期末】设函数 (，)若不等式对一切恒成立，则的取值范围为_【答案】【解析】由题可得：，不等式对一切恒成立，可化为：对一切恒成立， 所以，又，解得：，不等式对一切恒成立化为：对一切恒成立，所以：恒成立。所以=，当且仅当，时等号成立。8【江苏省镇江市2019届高三上学期期末】已知，则的最小值为_【答案】3【解析】因为，所以=9【江苏省盐城市、南京市2019届高三年级第一次模拟】若正实数、满足，则的最大值为_【答案】【解析】由，解得，10【江苏省如皋市2019届高三教学质量调研（三)】已知，若，满足，且，则的最小值为_【答案】【解析】由，且，所以，即，所以，得，所以，当且仅当，即时，等号成立，综上，的最小值为11【2018年江苏高考试卷】在中，角所对的边分别为，的平分线交于点D，且，则的最小值为_【答案】9【解析】由题意可知，,由角平分线性质和三角形面积公式得，化简得，因此当且仅当时取等号，则的最小值为.12【江苏省南京市2018届高三第三次模拟】若正数成等差数列，则的最小值为_【答案】【解析】因为正数a,b,c成等差数列，所以2b=a+c.所以令5a+c=x,2a+c=y，则所以当且仅当时取等号.故答案为：13【江苏省苏锡常镇四市2017-2018学年度高三教学情况调研】已知为正实数，且，则的最小值为_【答案】.【解析】由题得，代入已知得，两边除以得当且仅当ab=1时取等.所以即的最小值为.故答案为：14【江苏省无锡市2018届高三第一学期期末检测】已知双曲线与椭圆的焦点重合，离心率互为倒数，设分别为双曲线的左，右焦点，为右支上任意一点，则的最小值为_【答案】8【解析】由已知， ； 又双曲线与椭圆焦点重合，离心率互为倒数， ，则双曲线 ； 在右支上 ，根据双曲线的定义有 ， ，故的最小值为 .15【江苏省苏北六市2018届高三第二次调研】已知a，b，c均为正数，且abc4(ab)，则abc的最小值为_【答案】8【解析】16【江苏省南通、徐州、扬州等六市2018届二模】已知均为正数，且，则的最小值为_【答案】8【解析】均为正数，且，当且仅当， 时取等号的最小值为故答案为.17【江苏省扬州市2017-2018学年度第一学期期末】已知正实数，满足，则的最小值为_【答案】【解析】令，则：，即，则：，据此有：，综上可得：当且仅当时等号成立.综上可得：的最小值为.17【江苏省南京师大附中2018届高三高考考前模拟】已知，求证【解析】证明：证法一 因为a0，b0，ab1， 所以()(2a1)(2b1)14529 而 (2a1)(2b1)4，所以 证法二 因为a0，b0，由柯西不等式得()(2a1)(2b1)()2(12)29 由ab1，得 (2a1)(2b1)4，所以18【江苏省南通市2018届高三上学期第一次调研】已知， ，求的最小值.【答案】8【解析】试题解析：因为， ，所以，.两式相加： ，所以. 当且仅当且时“”成立.即时， 取得最小值.19【山东省德州市2018届高三上学期期中】水培植物需要一种植物专用营养液，已知每投放（且）个单位的营养液，它在水中释放的浓度 (克/升）随着时间 (天)变化的函数关系式近似为，其中，若多次投放，则某一时刻水中的营养液浓度为每次投放的营养液在相应时刻所释放的浓度之和，根据经验，当水中营养液的浓度不低于4(克/升)时，它才能有效.（1）若只投放一次2个单位的营养液，则有效时间最多可能达到几天？（2）若先投放2个单位的营养液，3天后再投放个单位的营养