2010届高三数学理第二轮复习学案学案11三角变换与解三角形.ppt

1.同角三角函数的基本关系式,正弦、余弦、正切、余切的诱导公式.2.两角和与差的三角函数、二倍角的三角函数、半角的三角函数公式.3.通过简单的三角恒等变换解决三角函数问题的化简、求值与证明.4.掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题.5.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.,学案11三角变换与解三角形,1.(2009江西)若函数则f(x)的最大值为()A.1B.2C.D.解析当x=时,函数取得最大值为2.,B,2.(2009广东)已知ABC中,A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=c=且A=75,则b等于()A.2B.C.D.解析因sinA=sin75=sin(30+45)=sin30cos45+sin45cos30=由a=c=可知,C=75,所以B=30,sinB=.由正弦定理得,A,3.(2009全国)已知ABC中,tanA=,则cosA等于()A.B.C.D.解析,D,4.(2009全国)若则函数y=tan2xtan3x的最大值为_.解析,-8,题型一已知三角函数求值【例1】(2009广东)已知向量a=(,-2)与b=(1,)互相垂直,其中(1)求的值；解(1)a与b互相垂直,则ab=,【探究拓展】在解有关根据条件求三角函数值问题时，首先根据条件限定某些角的取值范围,由范围进而确定出三角函数值的符号,还应注意公式的正用与逆用及变形应用,根据条件还要注意适当拆分角、拼角等技巧的应用.,变式训练1已知(1)求sinx的值；解,题型二三角函数与解三角形【例2】(2009四川)在ABC中,A,B为锐角,角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,且cos2A=sinB=(1)求A+B的值；(2)若a-b=求a,b,c的值.解(1)A、B为锐角,sinB=cosB=又cos2A=1-2sin2A=,cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB,【探究拓展】本小题主要考查同角三角函数间的关系,两角和差的三角函数、二倍角公式、正弦定理等基础知识及基本运算能力.在求解三角形的面积时，应注意面积的表达式有几种不同表达方式，应灵活选择.,变式训练2在ABC中,sin(C-A)=1,sinB=(1)求sinA的值；(2)设AC=,求ABC的面积.解,(2)如图所示,由正弦定理得又sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,题型三向量与解三角形【例3】(2009湖南)在ABC,已知求角A,B,C的大小.解设BC=a,AC=b,AB=c，,【探究拓展】解答这一类问题,首先要保证向量运算必须正确,否则,反被其累,要很好的掌握正、余弦定理的应用的条件及灵活变形,方能使问题简捷解答.,变式训练3(2009江西)在ABC中,A、B、C所对的边分别为a、b、c，(1)求C；(2)若求a,b,c.解,题型四解三角形与实际问题【例4】(2009海南)如图,为了解某海域海底构造，对海平面内一条直线上的A、B、C三点进行测量.已知AB=50m,BC=120m,于A处测得水深AD=80m,于B处测得水深BE=200m,于C处测得水深CF=110m,求DEF的余弦值.,解作DMAC交BE于N,交CF于M.在DEF中,由余弦定理得【探究拓展】对几何中的计算问题,往往通过正、余弦定理把几何问题转化成三角函数问题,再通过解三角函数达到求解三角形问题的目的.,变式训练4如图所示,扇形AOB,圆心角AOB=60,半径OA=2,在弧AB上有一点P,过点P做平行于OB的直线交OA于点C,设AOP=求COP面积的最大值及此时的值.解因为AOB=60且CPOB,所以OCP=120,则在OCP中，OP2=OC2+CP2-2OCCPcos120=OC2+CP2+OCCP，又因OC2+CP22OCCP,所以OP23OCCP,又OP=OA=2,即OCCP所以SCOP=OCCPsin120=OCCP即(SCOP)max=此时OC=CP，又OCP=120,所以=AOP=30.,【考题再现】(2009山东)设函数f(x)=cos(2x+)+sin2x.(1)求函数f(x)的最大值和最小正周期；(2)设A,B,C为ABC的三个内角,若且C为锐角,求sinA.,【解题示范】f(x)取得最大值,f(x)最大值=f(x)的最小正周期故函数f(x)的最大值为最小正周期为6分,因此sinA=sin-(B+C)=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC,1.解三角形常见类型及解法:(1)已知一边和两角，用正弦定理求解,在有解时只有一解;(2)已知两边和夹角,用余弦定理或正弦定理求解,在有解时只有一解;(3)已知三边,用余弦定理求解，在有解时只有一解;(4)已知两边和其中一边的对角，用余弦定理或正弦定理求解,可有两解、一解或无解.2.应用正、余弦定理解斜三角形应用问题的方法步骤:(1)分析:理解题意,分清已知与待求,并画出示意简图;(2)建模：根据条件与所求的目标,把已知量与待求量尽量集中在有关三角形中,建立解斜三角形的,数学模型;(3)求解:利用余弦定理或正弦定理有序的解三角形,求得数学模型的解；(4)检验:检验上述所求解是否有实际意义，进而得出实际问题的解.3.在ABC中常用关系：(1)abcABCsinAsinBsinC;(2)A、B、C成等差数列B=60;(3)2b=a+c或b2=ac0B60.,一、选择题1.函数f(x)=sin2x+sinxcosx在区间上的最大值是()A.1B.C.D.解析,C,2.(2009辽宁)已知等于()A.B.C.D.解析,D,3.已知锐角三角形的边长分别是2,3,x,则x的取值范围是()A.1x5B.C.D.解析若3是最大边,则32x2+22,即x3,若x是最大边,则x232+22,即3x.由上可知,B,4.已知a、b、c是ABC的三条对应边,若满足(a+b+c)(a+b-c)=3ab,且sinA=2sinBcosC,那么ABC是()A.直角三角形B.等腰直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形解析因为(a+b+c)(a+b-c)=a2+b2-c2+2ab=3ab,则所以C=60,又sinA=2sinBcosC,则sinA=sinB,即A=B.ABC为等边三角形.,D,5.在ABC中,若(sinA+sinB):(sinB+sinC):(sinC+sinA)=4:5:6,则C的值为()A.B.C.D.解析由题意可知:(a+b):(b+c):(c+a)=4:5:6,则a:b:c=5:3:7,令a=5k,b=3k,c=7k(k0),C,6.在ABC中,若有一个内角不小于120,则最长边与最短边之比的最小值是()A.B.C.2D.解析设C120,则c为最大边,设a为最小边，则AB,所以A+B=180-C,A(0,B,二、填空题7.(2009湖南)在锐角ABC中,BC=1,B=2A,则的值等于_,AC的取值范围为_.解析由正弦定理:,答案28.在ABC中,C=60,a、b、c分别为A、B、C的对边，则=_.解析由余弦定理可知:a2+b2=c2+ab,1,9.如果函数f(x)在区间D上是凸函数,则对于区间D上任意的x1,x2,xn,都有:现已知y=sinx在0,上是凸函数,则在ABC中,sinA+sinB+sinC的最大值是_.解析由题意可知：所以sinA+sinB+sinC的最大值是,10.在ABC中，AC=2BC,若AB=3,则ABC的最大面积为_.解析如图,作CDAB或其延长线于D，设BC=m,CD=h,BD=t,则4m2-(3+t)2=m2-t2=h2,m2=2t+3,当且仅当t=1时,(SABC)max=3.,3,三、解答题11.(2009全国)设ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c,cos(A-C)+cosB=b2=ac,求B.解由cos(A-C)+cosB=得cos(A-C)-cos(A+C)=cosAcosC+sinAsinC-(cosAcosC-sinAsinC)=sinAsinC=又由b2=ac及正弦定理得sin2B=sinAsinC,故sin2B=sinB=或sinB=(舍去),于是B=或B=又由b2=ac知ba或bc,所以B=,12.(2009江西)在ABC中,角A、B、C