【100所名校】2019届河北省衡水中学高三第一次摸底考试数学(理)试题(解析版).docx

2019届河北省衡水中学高三第一次摸底考试数学（理）试题数学注意事项：1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。一、单选题1复数z=-3-4ii在复平面内对应的点位于A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限2已知全集U=R，M=x|-x22x则CUM= A x-2x0 B x-2x0C xx0 D xx-2或x03某地某所高中2018年的高考考生人数是2015年高考考生人数的1.5倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2015年和2018年的高考情况，得到如下柱状图： 2015年高考数据统计 2018年高考数据统计则下列结论正确的是A 与2015年相比，2018年一本达线人数减少B 与2015年相比，2018年二本达线人数增加了0.5倍C 与2015年相比，2018年艺体达线人数相同D 与2015年相比，2018年不上线的人数有所增加4已知等差数列an的公差为2，前n项和为Sn，且S10=100，则a7的值为A 11 B 12 C 13 D 145已知fx是定义在R上的奇函数，若x0时，fx=xlnx，则xb0和直线l:x4+y3=1，若过C的左焦点和下顶点的直线与l平行，则椭圆C的离心率为A 45 B 35 C 34 D 157如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且AE=2EO，则ED=A 13AD-23AB B 23AD+13AB C 23AD-13AB D 13AD+23AB8某几何体的三视图如图所示，则此几何体A 有四个两两全等的面B 有两对相互全等的面C 只有一对相互全等的面D 所有面均不全等9赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为周碑算经一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的）.类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设DF=2AF=2，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边亚角形的概率是A 413 B 21313 C 926 D 3132610已知函数fx=-ex,x0,lnx,x0（e为自然对数的底数），若关于x的方程fx+a=0有两个不相等的实根，则a的取值范围是A a-1 B -1a1 C 0a1 D a0,b0的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作圆x2+y2=a2的切线，交双曲线右支于点M，若F1MF2=45，则双曲线的渐近线方程为A y=2x B y=3x C y=x D y=2x12如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别为棱BB1，CC1的中点，点O为上底面的中心，过E，F，O三点的平面把正方体分为两部分，其中含A1的部分为V1，不含A1的部分为V2，连结A1和V2的任一点M，设A1M与平面A1B1C1D1所成角为，则sin的最大值为A 22 B 255 C 265 D 266二、填空题13已知实数x，y满足约束条件x-y+10,2x+y-40,y0,，则z=x-2y的最小值为_.14已知数列an，若数列3n-1an的前n项和Tn=156n-15，则a5的值为_.15由数字0，1组成的一串数字代码，其中恰好有7个1，3个0，则这样的不同数字代码共有_个.16已知函数fx=-sin3x+x-22的图像关于直线x=2对称，当x-1,2时，fx的最大值为_.三、解答题17如图，在ABC中，P是BC边上的一点，APC=60，AB=23，AP+PB=4.（1）求BP的长；（2）若AC=534，求cosACP的值.18在ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，AB=2BC=2CD，如图1.以DE为折痕将ADE折起，使点A到达点P的位置，如图2. 如图1 如图2（1）证明：平面BCP平面CEP；（2）若平面DEP平面BCED，求直线DP与平面BCP所成角的正弦值。19某高校为了对2018年录取的大一理工科新生有针对性地进行教学，从大一理工科新生中随机抽取40名，对他们2018年高考的数学分数进行分析，研究发现这40名新生的数学分数x在100,150内，且其频率y满足y=10a-n20（其中10nx0的焦点为F，A2,y0是E上一点，且AF=2.（1）求E的方程；（2）设点B是上异于点A的一点，直线AB与直线y=x-3交于点P，过点P作x轴的垂线交E于点M，证明：直线BM过定点.21已知函数fx=eax-x-1aR.（1）当a=1时，求证：fx0；（2）讨论函数fx的零点的个数。22在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为=2sin+2acosa0；直线l的参数方程为x=-2+22t,y=22t（t为参数），直线l与曲线C分别交于M，N两点.（1）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（2）若点P的极坐标为2,，PM+PN=52，求a的值.23已知函数fx=x-2.（1）求不等式fx+1xfx+3的解集；（2）若函数gx=log2fx+3+fx-2a的值域为R，求实数a的取值范围.2019届河北省衡水中学高三第一次摸底考试数学（理）试题数学 答 案参考答案1D【解析】【分析】直接由复数的乘法运算化简，求出z对应点的坐标，则答案可求【详解】复数z=-3-4ii=4-3i.对应的点为4,-3，位于第四象限.故选D.【点睛】本题考查复数代数形式的乘法运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题2C【解析】【分析】解二次不等式求出集合M，进而根据集合补集运算的定义，可得答案【详解】全集U=R，M=x|x22x=x|0x2，UM=x|x0或x2，故选：C【点睛】本题考查的知识点是集合的交集，并集，补集运算，熟练掌握并正确理解集合运算的定义是解答的关键3D【解析】【分析】设2015年该校参加高考的人数为S，则2018年该校参加高考的人数为1.5S.观察柱状统计图，找出各数据，再利用各数量间的关系列式计算得到答案.【详解】设2015年该校参加高考的人数为S，则2018年该校参加高考的人数为1.5S.对于选项A.2015年一本达线人数为0.28S.2018年一本达线人数为0.241.5S=0.36S，可见一本达线人数增加了，故选项A错误；对于选项B，2015年二本达线人数为0.32S，2018年二本达线人数为0.41.5S=0.6S，显然2018年二本达线人数不是增加了0.5倍，故选项B错误；对于选项C，2015年和2018年.艺体达线率没变，但是人数是不相同的，故选项C错误；对于选项D，2015年不上线人数为0.32S.2018年不上线人数为0.281.5S=0.42S.不达线人数有所增加.故选D.【点睛】本题考查了柱状统计图以及用样本估计总体，观察柱状统计图，找出各数据，再利用各数量间的关系列式计算是解题的关键4C【解析】【分析】由S10=100及公差为2.代入前n项和公示，求出a1=1，得到挺喜欢上，即可求出a7的值.【详解】由S10=100及公差为2.得10a1+1010-122=100,a1=1.所以an=2n-1，故a7=13.故选C.【点睛】本题考查等差数列的基本量计算，属基础题.5B【解析】【分析】设x0由奇函数的性质f（-x）=-f（x），求出x0函数f（x）的解析式，【详解】设x0，所以f-x=-xln-x.又因为fx是定义在R上的奇函数，所以f-x=-fx，所以fx=xln-x.故选B.【点睛】本题考查函数的奇偶性的综合运用，属基础题.6A【解析】【分析】直线l的斜率为-34，因为过C的左焦点和下顶点的直线与l平行，bc=34，由此可求椭圆C的离心率.【详解】直线l的斜率为-34，过C的左焦点和下顶点的直线与l平行，所以bc=34，又b2+c2=a234c2+c2=a22516c2=a2,，所以e=ca=45，故选A.【点睛】本题考查椭圆的离心率求法，属基础题.7C【解析】【分析】利用向量加法法则结合图像特点运算即可.【详解】ED=EA+AD=-13AC+AD=-13AD+AB+AD=23AD-13AB.故选C.【点睛】本题考查向量的线性运算，属基础题.8B【解析】【分析】由三视图得到几何体的直观图，由三视图给出的几何量证明即可.【详解】几何体的直观图为四棱锥P-ABCD.如图.因为AD=AB，PA=PA，BAP=DAP=90.所以ABPADP.因为BC平面ABP，所以BCBP.同理，CDDP.因为BP=DP，CD=BC，CP=CP，所以BCPDCP.又ABP与BCP不全等.故选B.【点睛】本题考查三视图原原几何体，以及线面关系的有关证明，属中档题.9A【解析】【分析】根据几何概率计算公式，求出中间小三角形区域的面积与大三角形面积的比值即可【详解】在ABD中，AD=3，BD=1，ADB=120，由余弦定理，得AB=AD2+BD2-2ADBDcos120=13，所以DFAB=213.所以所求概率为SDEFSABC2132=413.故选A.【点睛】本题考查了几何概型的概率计算问题，是基础题10C【解析】【分析】画出函数fx的图像，利用数形结合法可求a的取值范围，【详解】画出函数fx的图像如图所示，若关于x的方程fx+a=0有两个不相等的实根，则函数fx与直线y=-a 有两个不同交点，由图可知-1-a0，所以0a1.故选C.【点睛】本题考查方程的根个数的求参数的范围，考查数形结合思想方法，属于中档题11A【解析】【分析】由双曲线的定义可得F1M-F2M=2a+2b-22a=2a，结合条件可得F2B=BM=2a，运用勾股定理，结合a，b，c的关系，可得b=2a，进而得到渐近线的斜率【详解】如图，作OAF1M于点A.F2BF1M于点B.因为F1M与圆x2+y2=a2相切，F1MF2=45，所以OA=a，F2B=BM=2a，F2M=22a，F1B=2b.又点M在双曲线上.所以F1M-F2M=2a+2b-22a=2a.整理，得b=2a.所以ba=2.所以双曲线的渐近线方程为y=2x.故选A.【点睛】本题考查双曲线的渐近线的斜率，注意运用圆的切线的性质，结合双曲线的定义，考查运算能力，属于中档题12B【解析】【分析】连结EF.可证平行四边形EFGH即为截面. 五棱柱A1B1EHA-D1C1FGD为V1，三棱柱EBH-FCG为V2，设M点为V2的任一点，过M点作底面A1B1C1D1的垂线，垂足为N，连结A1N，则MA1N即为A1M与平面A1B1C1D1所成的角，所以MA1N=.进而得到sin的最大值.【详解】连结EF.因为EF平面ABCD.所以过EFO的平面与平面ABCD的交线一定是过点O且与EF平行的直线.过点O作GHBC交CD于点G，交AB于H点，则GHEF，连结EH，FG.则平行四边形EFGH即为截面.则五棱柱A1B1EHA-D1C1FGD为V1，三棱柱EBH-FCG为V2，设M点为V2的任一点，过M点作底面A1B1C1D1的垂线，垂足为N，连结A1N，则MA1N即为A1M与平面A1B1C1D1所成的角，所以MA1N=.因为sin=MNA1M，要使的正弦值最大，必须MN最大，A1M最小，当点M与点H重合时符合题意.故sinmax=MNA1Mmax=HNA1H=255.故选B.【点睛】本题考查了空间中的平行关系与平面公理的应用问题，考查线面角的求法，属中档题.13-3【解析】【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案【详解】可行域如图所示，当直线y=x2-z2经过点A时，z取得最小值.解方程组x-y+1=0,2x+y-4=0,可得点A1,2，所以zmin=-3.故填-3.【点睛】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题1416【解析】【分析】据题意，得a1+3a2+32a3+3n+1an=156n-15，所以当n2时，a1+3a2+32a3+3n-2an-1=156n-1-15.两式相减，可求出当n2时，an=2n-1，由此可求a5的值.【详解】据题意，得a1+3a2+32a3+3n+1an=156n-15，所以当n2时，a1+3a2+32a3+3n-2an-1=156n-1-15.两式相减，得3n+1an=156n-156n-1=6n-1.所以当n2时，an=2n-1，故a5=16.【点睛】本题考查数列通项公式的求法，属基础题.15120【解析】【分析】10个元素进行全排列共有A1010 种结果，在这些结果中有5个2，2个4，这样前面的全排列就出现了重复，共重复了A77A33 次，得到不同的排列共有A1010A77A33种结果【详解】10个元素进行全排列共有A1010 种结果，在这些结果中有5个2，2个4，这样前面的全排列就出现了重复，共重复了A77A33 次，得到不同的排列共有A1010A77A33=120种结果 故答案为120.【点睛】本题考查在排列组合中出现重复的元素的排列，这种问题，首先要进行正常排列，后面要除以重复的次数，重复的次数是相同元素的一个全排列164【解析】【分析】据题意知，函数y=x-2的图像关于直线x=2对称，则曲线y=sin3x+也关于直线x=2对称，可求出fx=-sin3x-6+x-2，再根据函数fx=-sin3x-6+x-2的单调性可求fx的最大值.【详解】据题意知，函数y=x-2的图像关于直线x=2对称，则曲线y=sin3x+也关于直线x=2对称，所以32+=k+2，kZ.所以=k-6，kZ.因为2，所以-6.所以fx=-sin3x-6+x-2.又y=-sin3x-6与y=x-2在区间-1,2上都为减函数，所以fxmax=f-1=4.即答案为4.【点睛】本题考查函数单调性和对称性的综合应用，属中档题.17(1) BP=2;(2) cosACP=1-452=35.【解析】【分析】（1）根据余弦定理直接求BP的长；（2）由（1）知，AP=2，所以在ACP中，由正弦定理. 可得sinACP=45. 再判断ACP是锐角， 可得osACP得值.【详解】（1）由已知，得APB=120 又AB=23，AP+BP=4，在ABP中，由余弦定理，得232=BP2+4-BP2-2BP4-BPcos120， 整理，得BP2-4BP+4=0.解得BP=2. （2）由（1）知，AP=2，所以在ACP中，由正弦定理.得ACsin60=APsinACP， 解得sinACP=232534=45. 因为2534，所以APAC，从而ACPAPC，即ACP是锐角， 所以cosACP=1-452=35.【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理的应用.属中档题.18(1)见解析；（2）直线DP与平面BCP所成角的正弦值为64.【解析】【分析】（1）在题图1中，可证DEBC ，在题图2中，BC平面CEP.进而得到BC平面CEP.从而证得平面BCP平面CEP；（2）可证得EP平面BCED. EPCE.则以E为坐标原点，分别以ED，EC，EP的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量可求直线DP与平面BCP所成角的正弦值.【详解】（1）证明：在题图1中，因为AB=2BC=2CD，且D为AB的中点.由平面几何知识，得ACB=90. 又因为E为AC的中点，所以DEBC 在题图2中，CEDE，PEDE，且CEPE=E，所以DE平面CEP，所以BC平面CEP. 又因为BC平面BCP，所以平面BCP平面CEP.（2）解：因为平面DEP平面BCED，平面DEP平面BCED=DE，EP平面DEP，EPDE.所以EP平面BCED. 又因为CE平面BCED，所以EPCE.以E为坐标原点，分别以ED，EC，EP的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系在题图1中，设BC=2a，则AB=4a，AC=23a，AE=CE=3a，DE=a.则P0,0,3a，Da,0,0，C0,3a,0，B2a,3a,0.所以DP=-a,0,3a，BC=-2a,0,0，CP=0,-3a,3a. 设n=x,y,z为平面BCP的法向量，则nBC=0,nCP=0,，即-2ax=0,-3ay+3az=0.令y=1，则z=1.所以n=0,1,1. 设DP与BCP平面所成的角为，则sin=sinn,DP=cosn,DP=nDPnDP=3a22a=64.所以直线DP与平面BCP所成角的正弦值为64.【点睛】本题考查面面垂直的证明，以及利用空间向量求线面角，属中档题.19（1）a=0.08;(2)120;(3)见解析.【解析】【分析】（1）由题意知：10n14，所以的取值为10，11，12，13，14， 代入y=10a-n20，由频率和等于1可求a的值；（2）由（1），得y=0.3,0.25,0.2,0.15,0.1，可得频率分布直方图如图： 3）由题意可知，=0,1,2,3,4，且“高考数学分数不低于130分”的概率为0.15+0.1=0.25，所以B4,14 ，可求的数学期望.【详解】（1）由题意知：10n14，所以的取值为10，11，12，13，14， 代入y=10a-n20，可得10a-0.5+10a-0.55+10a-0.6+10a-0.65+10a-0.7=1， 解得a=0.08. （2）由（1），得y=0.3,0.25,0.2,0.15,0.1，频率分布直方图如图： 这40名新生的高考数学分数的平均数为1050.30+1150.25+1250.20+1350.15+1450.10=120. （3）由题意可知，=0,1,2,3,4，且“高考数学分数不低于130分”的概率为0.15+0.1=0.25，所以B4,14 所以E=414=1.【点睛】本题考查频率分布直方图的应用，考查二项分布的期望，属中档题.20（1）E的方程为x2=4y；（2）见解析.【解析】【分析】（1）由抛物线的定义利用AF=2.可求p=2，进而求得E的方程；（2）证明：设Bx1,y1，Mx2,y2.由题意，可设直线BM的方程为y=kx+b，代入x2=4y，得x2-4kx-4b=0.由MPx轴及点P在直线y=x-3上，得Px2,x2-3，则由A，P，B三点共线，得x2-4x2-2=kx1+b-1x1-2， 整理，得k-1x1x2-2k-4x1+b+1x2-2b-6=0.结合韦达定理可得2-x12k+b-3=0. 由点B的任意性，得2k+b-3=0，即可证明.【详解】（1）解：根据题意知，4=2pya，因为AF=2，所以ya+p2=2. 联立解的ya=1，p=2. 所以E的方程为x2=4y. （2）证明：设Bx1,y1，Mx2,y2.由题意，可设直线BM的方程为y=kx+b，代入x2=4y，得x2-4kx-4b=0.根与系数的关系.得x1+x2=4k，x1x2=-4b.由MPx轴及点P在直线y=x-3上，得Px2,x2-3，则由A，P，B三点共线，得x2-4x2-2=kx1+b-1x1-2， 整理，得k-1x1x2-2k-4x1+b+1x2-2b-6=0.将代入上式并整理，得2-x12k+b-3=0. 由点B的任意性，得2k+b-3=0，所以y=kx+3-2k=kx-2+3.即直线BM恒过定点2,3.【点睛】本题考查抛物线方程的求法、抛物线的简单性质，考查直线与抛物线位置关系的应用，考查计算能力，属中档题21(1)见解析；（2）见解析.【解析】【分析】（1）将a=1代入函数的表达式，求出f（x），解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，得到最小值，即可证明fx0；（2）先求出函数的导数，通过讨论a的范围，从而求出函数的单调区间，得到函数的极值，进而求出函数的零点的个数【详解】（1）证明：当a=1时，fx=ex-x-1，则fx=ex-1. 由fx=0.得x=0.当x0时，fx0时，fx0，所以函数fx在区间-,0内是减函数.在区间0,+内是增函数， 所以x=0是fx的极小值点，也是最小值点.且fxmin=f0=0，故当a=1时.fx0恒成立. （2）解：据题意，得fx=aeax-1.当a0时，fx0时.由fx=0，得x=1aln1a.当x1aln1a时，fx1aln1a时，fx0，所以fx在区间-,1aln1a内是减函数，在区间1aln1a,+内是增函数.所以x=1aln1a是函数fx的极小值点，也是最小值点，即fxmin=f1aln1a=1a-1aln1a-1. 令ht=t-tlnt-1t0，则ht=1-1+lnt=-lnt，当t=1时，ht=0；当0t0；当t1时，ht0，所以函数ht在区间0,1内是增函数，在区间1,+内是减函数，从而t=1是函数ht的极大值点.也是最大值点，所以hth1=0，即fxmin=1a-1aln1a-10（当且仅当a=1时取等号）当fxmin=1a-1aln1a-1=0，即a=1时，函数fx只有一个零点当fxmin=1a-1aln1a-10，且a1时，分a1和0a1时，-11aln1a0，所以fx在区间-,1aln1a内有一个零点；又f0=0，因此fx有两个零点.（ii）当0a0；由（1），得exx+1.即xlnx+1，亦即lnxx-1.令x=2a.则得ln2a2a-1，即-ln2a-2a-1，所以f2aln2a=e2ln2a-2aln2a-12a2-2a2a-1-1=2a-10，所以fx在区间1aln1a,+内有一个等点.又f0=0，因此函数fx有两个零点.由（i）和（ii），得当a1或0a0.且a1时，函数fx有两个零点。【点睛】本题考查了函数的单调性、最值、零点问题，考查导数的应用，是一道难题22(1) 曲线C的直角坐标方程为即x-a2+y-12=a2+1，直线l的普通方程为y=x+2；（2）a=2.【解析】【分析】（1）由=2