平面向量【概念,方法,题型,易误点及应试技巧总结】

1 / 112 平面向量【概念 ,方法 ,题型 ,易误点及应试技巧总结】 平面向量概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结 一向量有关概念： 1向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？。如： ? 已知 A， B，则把向量 AB 按向量 a平移后得到的向量是_） 2零向量：长度为 0 的向量叫零向量，记作：，注意零向量的方向是任意的； ? 2 / 112 3单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量 (与AB共线的单位向量是 ? AB)； ?|AB| 4相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性； 5平行向量：方向相同或相反的非零向量 a、 b 叫做平行向量，记作： ，规定零向量和任 何向量平行。 提醒： 相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等； 两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线 , 但两条直线平行不包含两条直线重合； ? 平行向量无传递性！若 a?b，则 a?b。两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。若 AB?DC，则 ABCD是3 / 112 平行四边形。若 ABCD是平行四边形， ? ,?c， ,/c，则 AB?DC。若 a?bb 则 a?c。若 a/bb则 a/c。其中正确的是 _ ） 二向量的表示方法： 1几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如，注意起点在前，终点在后； 2符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如 a， b， c 等； 3坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与 x 轴、 y轴方向相同的两个单位向量， ? j 为基底，则平面内的任一向量 a 可表示为 a?xi?yj?x,y?，称 ?x,y?为向量 a的坐标， a ?x,y?叫做向量 a 的坐标表示。4 / 112 如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。 三平面向量的基本定理：如果 e1和 e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面 内的任一向量 a，有且只有一对实数 ?1、 ?2，使 a=?1e1 ?2e2。如 ? 若 a?(1,1),b?(1,?1),c?(?1,2)，则 c?_ ? 1?3? ； 22 下 列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是 5 / 112 ? A. e1?(0,0),e2?(1,?2) B. e1?(?1,2),e2?(5,7) C. e1?(3,5),e2?(6,10) D. e1?(2,?3),e2?(,?) ? ? ? 1 234 ? 已知 AD,BE分别是 ?ABC的边 BC,AC上的中线 ,且 AD?a,BE?b,则 BC可用向量 6 / 112 ； ? a,b表示为 _ ； 已知 ?ABC中，点 D 在 BC边上，且 CD?2DB， CD?rAB?sAC，则r?s的 值是 _ 四 实数与向量的积：实数 ?与向量 a 的积是一个向量，记作 ?a，它的长度和方向规定 ? 如下： ?1?a?a,?2?当 ?0时， ?a的方向与 a的方向相同，当 ? ? 方 向与的方向相反，当 ? 0 时， ?a?0，注意： ?0 。 五平7 / 112 面向量的数量积： ? 1两个向量的夹角：对于非零向量，作 OA?a,OB?b， ?AOB? ? ? ? ? ? 2? 34?3 ?0?称为向量 a， b的夹角，当 ? 0 8 / 112 当 ? 时， a， b同向，当 ? ?时， a， b反向， ? 时， a， b垂直。 2 2平面向量的数量积：如果两个非零向量，它们的夹角为 ?，我们把数量 ? ，记作： a?b，即 a?b abcos?。 |a|b|cos?叫做 a与 b 的数量积 ? ? ? 9 / 112 规定：零向量与任一向量的数量积是 0，注意数量积是一个实数，不再是一个向量。如 ABC 中， |AB|?3， |AC|?4， |BC|?5，则 AB?BC?_ ； ?1?1? 已知 a?(1,),b?(0,?),c?a?kb,d?a?b， c 与 d的夹角为，则 k等于 _ 2 2 4 ? 已知 a?2,b?5,a?b?3，则 a?b等于 _ 10 / 112 ； ）； ? 已知 a,b 是两个非零向量，且 a?b?a?b，则 a 与 a?b 的夹角为 _ ? 3在上的投影为 |b|cos?，它是一个实数，但不一定大于 0。如 ? ? ? 11 / 112 ? ? 已知 |a|?3， |b|?5，且 a?b?12，则向量 a在向量 b上的投影为 _ 5 5向量数量积的性质：设两个非零向量 a， b，其夹角为 ?，则： ? a?b? a?b?0； ? ?2?2? 当，同向时， ? ab，特别地， a?a?a?a,a?；当与反向 12 / 112 ? b 不同向， a?b?0是 ?为锐角的必时， ? ab；当 ?为锐角时， ? 0，且 a、 ? 要非充分条件；当 ?为钝角时， a?b 0，且 a、 b 不反向，a?b?0是 ?为钝角的必要非充分条件； ? ?a?b 非零向量，夹角 ?的计算公式： cos?； |a?b|?|a|b| 。如 ab 已知 a?(?,2?)， b?(3?,2)，如果 a 与 b 的夹角为锐角，则 ?的取值范围是 _ 41 13 / 112 ； 33 ?1 已知 ?OFQ的面积为 S，且 OF?FQ?1，若 ?S?，则 OF,FQ夹角 ?的 22 取值范围是 _ ? ； 43 ? 已知 a?(coxs,x?sbin)y,a 与 yb之间有关系 14 / 112 式 ?k?a ? ? ? ? ? ? 其中 ,kb， 用 0?kk 表示 a?b； 求 a?b 的最小值，并求此时 a 与 b 的夹角 ?的大小 ?k2?11 15 / 112 (k?0)； 最小值为， ?60?） 化简： AB?BC?CD?_ _；AB?AD?DC?_ ； ? (AB?CD)?(AC?BD)?_ ? ； ? 若正方形 ABCD 的边长为 1， AB?a,BC?b,AC?c，则 |a?b?c|_ 若 O 是 ?ABC 所在平面内一点，且满足 OB?OC?OB?OC?2OA，则 ?ABC 的形状为 _ ； 若 D 为 ?ABC 的边 BC 的中点， ?ABC 所在平面内有一点 P，满足 16 / 112 ? ?|AP| ?，则 ?的值为 _ PA?BP?CP?0，设 |PD| ； ? 若点 O 是 ABC 的外心，且 OA?OB?CO?0，则 ABC 的内角 C为 _ ； ? 2坐标运算：设 a?(x1,y1),b?(x2,y2)，则： ? 17 / 112 向量的加减法运算： a?b?(x1?x2， y1?y2)。如 ? ? 已知点 A(2,3),B(5,4)， C(7,10)，若 AP?AB?AC(?R)，则当 ? _时，点 P 在第一、三象限的角平分线上 ； ?1? 已知 A(2,3),B(1,4),且 AB?(sinx,cosy)， x,y?(?,)，则 x?y? 222 1 18 / 112 2 ? 26 ? 已 知 作 用 在 点 A(1,1) 的 三 个 力F1?(3,4),F2?(2,?5),F3?(3,1)，则合力 F?F1?F2?F3 ； 的终点坐标是 ） ? 实数与向量的积： ?a?x1,y1?x1,?y1?。 ? 19 / 112 若 A(x1,y1),B(x2,y2)，则 AB?x2?x1,y2?y1?，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标。如 设 A(2,3),B(?1,5)，且 AC?AB， AD?3AB，则 C、 D 的坐标分别是 _ ； 11 3 ? ?1?3 ? ? 20 / 112 ? 平面向量数量积： a?b?x1x2?y1y2。如 已知向量 a , b , c。若 x求向量、的夹角；若 x? ? ， 3 3?1 ,，函数 f(x)?的最大值为，求 ?的值 842 1 ； 2 ?2 21 / 112 向量的模 ： |a|?a?|a|2?x2?y2。如 ? 已知 a,b 均为单位向量，它们的夹角为 60，那么 |a?3b|_ ）； 两点间的距离：若 A?x1,y1?,B?x2,y2?，则 |AB|? 如 如图，在平面斜坐标系 xOy中， ?xOy?60?，平面上任一点 P 22 / 112 ? 关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的：若 OP?xe1?ye2，其中e1,e2 分别为与 x 轴、 y 轴同方向的单位向量，则 P 点斜坐标为 (x,y)。若点 P 的斜坐标为，求 P 到 O 的距离 PO；求以 O为圆心， 1 为半径的圆在斜坐标系 xOy中的方程。 2； x2?y2?xy?1?0）； 七向量的运算律： ? 1交换律： a?b?b?a， ?a?a， a?b?b?a； ? 2结合律： a?b?c?a?b?c,a?b?c?a?b?c， ?a?b?a?b?a?b； ? 23 / 112 ? 3分配律： ?a?a?a,?a?b?a?b， a?b?c?a?c?b?c。 ? ? ? ? ? ? 如 下列命题中： a?(b?c)?a?b?a?c ； a?(b?c)?(a?b)?c ； (a?b)?|a|2 24 / 112 ?2?2 2 ?2|a|?|b|?|b|； 若 a?b?0，则 a?0 或 b?0； 若a?b?c?b,则 a?c； a?a ； 2 ? ? ?2?2?2?2a?bb 2? ； (a?b)2?a?b ； (a?b)2?a?2a?b?b 。其中正确的是_ aa 提醒：向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一25 / 112 个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除 (相约 )；向量的 “ 乘法 ” 不满足结合律，即 (?)?(?)，为什么？ ? 八 向 量 平 行 ( 共线 ) 的 充 要 条 件 ：a/b?a?b?(a?b)2?(|a|b|)2?x1y2?y1x2 0。如 ? (1)若向量 a?(x,1),b?(4,x)，当 x _时 a 与 b 共线且方向相同 ； ? 已知 a?(1,1),b?(4,x)， u?a?2b， v?2a?b，且 u/v，则 x_ 26 / 112 ； ? 设 PA?(k,12),PB?(4,5),PC?(10,k)，则 k _时， A,B,C共线 ? 九 向 量 垂 直 的 充 要 条 件 ：a?b?a?b?0?|a?b|?|a?b| ?x1x2?y1y2?0. 特别地 ?ABACABAC 。如 (?)?)?AB? (1)已知 OA?(?1,2),OB?(3,m)，若 OA?OB，则 m? 3）； 2 以原点 O 和 A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形OAB， ?B?90?，则点 B 的坐标是 _ 27 / 112 ）； ? 已知 n?(a,b),向量 n?m，且 n?m，则 m 的坐标是 _ 十 (来自 : 海达范文网 :平面向量【概念 ,方法 ,题型 ,易误点及应试技巧总结】 _百度文库 )线段的定比分点： 1定比分点的概念：设点 P 是直线 P1P2 上异于 P1、 P2 的任意一点，若存在一个实 ? 数 ? ，使 PP?PP2，则 ?叫做点 P分有向线段 PP112所成的比，P 点叫做有向线段 PP12的以定比为 ?的定比分点 ； 2 ?的符号与分点 P 的位置之间的关系：当 P点在线段 P1P2上时 ?0 ；当 P 点在线段 P1P2 的 延 长 线 上时 ? ?1 28 / 112 ?若点 P 分有向线段 PP 所成的比为，则点 P 分有向线段所成的比为。如 PP1221 ? ?3ABBP 若点 P分所成的比为，则 A 分所成的比为 _ 4 73 平面向量 一向量有关概念： 1向量的概念：既有大小又 有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？。如： 29 / 112 ? 已知 A， B，则把向量 AB 按向量 a平移后得到的向量是_） 2零向量：长度为 0 的向量叫零向量，记作：，注意零向量的方向是任意的； ? AB)； 3单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量 (与 AB共线的单位向量是 ?|AB| 4相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性； 5平行向量：方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量，记作： b，规定零向量和任何向量平行。 提醒： 30 / 112 相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等； 两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线 , 但两条直线平行不包含两条直线重合； ? 平行向量无传递性！若 a?b，则 a?b。两个向量相等的充要条件是它们的起点相 ? ABCDABCD同，终点相同。若 AB?DC，则是平行四边形。若是平行四边形，则 AB?DC。 ? 若 a?b,b?c，则 a?c。若 a/b,b/c，则 a/c。其中正确的是 _ ） 31 / 112 二向量的表示方法： 1几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如，注意起点在前，终点在后； 2符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如，等； 3坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与 x 轴、 y轴方向相同的两个单位向量，为基 ? 底，则平面内的任一向量可表示为 a?xi?yj?x,y?，称 ?x,y?为向量的坐标， ?x,y?叫做向量的坐标表示。如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。 三平面向量的基本定理：如果 e1和 e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一 向量 a，有且只有一对实数 ?1、 ?2，使 a=?1e1 ?2e2。 ? 32 / 112 变式二：若 a?(1,1),b?(1,?1),c?(?1,2)，则 c?_ 1?3? ； 22 下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是 ? A. e1?(0,0),e2?(1,?2) B. e1?(?1,2),e2?(5,7) ?13 C. e1?(3,5),e2?(6,10) D. e1?(2,?3),e2?(,?) 24 ? 已知 AD,BE分别是 ?ABC的边 BC,AC上的中线 ,且 AD?a,BE?b,33 / 112 则 BC可用向量 a,b 表示为 _ ； 2?4? ； 33 已知 ?ABC中，点 D 在 BC边上，且 CD?2DB， CD?rAB?sAC，则r?s的值是 _ 四 实数与向量的积：实数 ?与向量的积是一个向量，记作 ?，它的长度和方向规定如下： ? ?1?a?a,?2?当 ?0 时， ?的方向与的方向相同，当 ? ? 相反，当 ? 0 时， ?a?0，注意： ?0 。 五平面向量的数34 / 112 量积： ? 1两个向量的夹角：对于非零向量，作 OA?a,OB?b， ?AOB? ? ?0?称为向量，的夹角，当 ? 0 时，同向，当 ? ?时，反向，当 ? 2 时， a， b垂直。 ? 2平面向量的数量积：如果两个非零向量，它们的夹角为 ?，我们把数量 |a|b|cos?叫 ? 做与的数量积，记作： ?，即 ? abcos?。规定：零向量与任一向量的数量积是 0，注意数量积是一个实数，不再是一个向量。 35 / 112 变式三： ABC 中， |AB|?3 ， |AC|?4 ， |BC|?5 ，则AB?BC?_ ； ?1?1? 已知 a?(1,),b?(0,?),c?a?kb,d?a?b， c 与 d的夹 角为，则 k等于 _ 2 2 4 ? 已知 a?2,b?5,a?b?3，则 a?b等于 _ 36 / 112 ? ? ? ? ； ）； ? 已知 a,b 是两个非零向量，且 a?b?a?b，则 a 与 a?b 的夹角为 _ ? 3 b 在 a 上的投影为 |b|cos?，它是一个实数，但不一定大于 0。 ? 37 / 112 ? ? ? ? 变式四：已知 |a|?3， |b|?5，且 a?b?12，则向量 a在向量 b上的投影为 _ 5 5向量数量积的性质：设两个非零向量，其夹角为 ?，则： ? a?b?a?b?0 ； ? 38 / 112 ?2?2?ab 当，同向时， ?，特别地， a?a?a?a,a?；当与反向时， ? ? b 不同向， a?b?0 是 ?为锐角的必要非充分条件；当 ? ab；当为锐 角时， ? 0，且 a、 ? b 不反向， a?b?0是 ?为钝角的必要非充分条件； 为钝角时， ? 0，且 a、 ? ?a?b 非零向量 a， b夹角 ?的计算公式： cos?； |a?b|?|a|b| 。 ab 变式五：已知 a?(?,2?)， b?(3?,2)，如果 a 与 b的夹角为锐角，则 ?的取值范围是 _ 39 / 112 41 ； 33 ? ? ? ? ?13 已知 ?OFQ 的面积为 S，且 OF?FQ?1，若 ?S?，则 OF,FQ 夹角 ?的取值范围是 22 40 / 112 _ ? ； 43 ? 已知 a?(cosx,sinx),b?(cosy,siny),a 与 b 之间有关系式ka?b?kb,其中 k?0， 用 k ? ? 表示 a?b； 求 a?b 的最小值，并求此时 a 与 b的夹角 ?的大小 ?k2?11 41 / 112 (k?0)； 最小值为， ?60?） 化简： AB?BC?CD?_ ；AB?AD?DC?_ ； (AB? CD)?(AC?BD)?_ ? ； ? 若正方形 ABCD 的边长为 1， AB?a,BC?b,AC?c，则 |a?b?c|_ 若 O 是 ?ABC 所在平面内一点，且满足 OB?OC?OB?OC?2OA，则 ?ABC 的形状为 _ ； ? 若 D 为 ?ABC 的边 BC 的中点， ?ABC 所在平面内有一点 P，满足 PA?BP?CP?0，设 ?|AP|?，则 ?的值为 _ |PD| 42 / 112 ? 若点 O 是 ABC 的外心，且 OA?OB?CO?0，则 ABC 的内角 C为 _ ； ； ?ABAC?ABAC1 已知非零向量 AB 与 AC 满足 BC 0 且，则 ABC 为 ?2 ?|AB|AC|?|AB|AC| ( ) A三边均不相等的三角形 C等腰非等边三角形 B直角三角形 D等边三角形 ? 43 / 112 2坐标运算：设 a?(x1,y1),b?(x2,y2)，则： ? 向量的加减法运算： a?b?(x1?x2， y1?y2)。 ? 变 式 七 ： 已 知 点 A(2,3),B(5,4) ， C(7,10) ，若AP?AB?AC(?R)， 则当 ? _时，点 P 在第一、三象限的角平分线上 ； 1 2 ?1? 44 / 112 已知 A(2,3),B(1,4),且 AB?(sinx,cosy)， x,y?(?,)，则 x?y?2 22 26 ? 已 知 作 用 在 点 A(1,1) 的 三 个 力F1?(3,4),F2?(2,?5),F3?(3,1)，则合力 F?F1?F2?F3 的终点 ； 坐标是 ） ? 实数与向量的积： ?a?x1,y1?x1,?y1?。 45 / 112 ? 若 A(x1,y1),B(x2,y2)，则 AB?x2?x1,y2?y1?，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标。 ?1? 变式八：，且 AC?AB， AD?3AB，则 C、 D的坐标分别是 _ 3 ； ? 平面向量数量积： a?b?x1x2?y1y2。 113 变式九：向量 a , b , c。若 x量、的夹角；若 x? 46 / 112 ? ，求向 3 3?1 ,，函数 f(x)?的最大值为，求 ?的值 842 1 ； 2 ?2?22 向量的模 ： |a|?a?|a|?x?y2。 47 / 112 ? 变式十： a,b均为单位向量，它们的夹角为 60，那么 |a?3b| _ ； 两点间的距离：若 A?x1,y1?,B?x2,y2?，则 |AB|? 七 向量的运算律： ? 1交换律： a?b?b?a， ?a?a， a?b?b?a； ? 2结合律： a?b?c?a?b?c,a?b?c?a?b?c， ?a?b?a?b?a?b； 48 / 112 ? 3分配律： ?a?a?a,?a?b?a?b， a?b?c?a?c?b?c。 ? ? ? ? ? ? 变式十一：下列命题中： a?(b?c)?a?b?a?c ； a?(b?c)?(a?b)?c； (a?b)?|a|2 ? 49 / 112 ?22a?bb ?2|a|?|b|?|b|2； 若 a?b?0，则 a?0 或 b?0； 若 a?b?c?b,则 a?c； a?a ； 2? ； 2 ? (a?b)2?a?b ； (a?b)2?a?2a?b?b 。其中正确的是 _ 提醒：向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除 (相约 )；向量的 “ 乘法 ” 不满足结合律，即 ?2?2?2?2 a 50 / 112 a (?)?(?)，为什么？ ?2?2 八 向 量 平 行 ( 共线 ) 的 充 要 条 件 ：a/b?a?b?(a?b)?(|a|b|)?x1y2?y1x2 0。 ? 变式十二： (1)若向量 a?(x,1),b?(4,x)，当 x _时 a与 b 共线且方向相同 ； 已知 a?(1,1),b?(4,x)， u?a?2b， v?2a?b，且 u/v，则 x_ ? 设 PA?(k,12),PB?(4,5),PC?(10,k)，则 k _时， A,B,C51 / 112 共线 ? ； ? 九 向 量 垂 直 的 充 要 条 件 ：a?b?a?b?0?|a?b|?|a?b| ?x1x2?y1y2?0. 特别地 ?ABACABAC(?) ?)?。 AACAAC ? 变式十三： (1)已知 OA?(?1,2),OB?(3,m)，若 OA?OB，则 m? 3 ； 2 52 / 112 以原点 O 和 A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形OAB， ?B?90?，则点 B 的坐标是 _ ）； ? 已知 n?(a,b),向量 n?m，且 n?m，则 m 的坐标是 _ ? 4 十、向量中一 些常用的结论： 一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用； ? 53 / 112 |a|?|b|?|a?b|?|a|?|b|，特别地，当 a、 b 同向 或有0?|a?b|?|a|?|b| ? b 反向或有 0?|a?b|?|a|?|b? b不共线 ?|a|?|b|?|a?b|；当 a、 |a?|b|?|a|?b；当 a、 ? ). ?|a?|b|?|a|?b?|a|?|(b这些和实数比较类似 | 在 ?ABC 中， ?x?x?xy?y?y3? 若 A?x1,y1?,B?x2,y2?,C?x3,y3?，则其重心的坐标为G?123,12 ?。变式十四： 33? 若 ABC 的三边的中点分别为、 ，则 ABC 的重心的坐标为 _ 54 / 112 24 ； 33 ? PG?(PA?PB?PC)?G 为 ?ABC 的重心，特别地 PA?PB?PC?0?P为 ?ABC 的重心； ? PA?PB?PB?PC?PC?PA?P 为 ?ABC的垂心； ? ?)(?0)所在直线过 ?ABC的内心 (是 ?BAC的角平分线所在直线 )； 向量 ?(|AB|AC|? |AB|PC?|BC|PA?| CA|PB?0?P?ABC 的内心； 55 / 112 向量复习 平面向量 1、向量有关概念： 向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？。 零向量：长度为 0 的向量叫零向量，记作： 0，注意零向量的方向是任意的； 单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量 (与 AB共 线的单位向量是 AB)； ?|AB| 相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性； 平行向量：方向相同或相反的非零向量 a、 b 叫做平行向量，记作： ab ，规定零向量和任何向量平行。提醒： 相等向56 / 112 量一定是共线向量，但共线向量不一定相等； 两个向量平行与与两条直线平行 是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线 , 但两条直线平行不包含两条直线重合； 平行向量无传递性！相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。的相反向量是。 如下列命题：若 a?b，则 a?b。两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。若AB?DC，则 ABCD 是平行四边形。若 ABCD 是平行四边形，则AB?DC。若 a?b,b?c，则 a?c。其中正确的是 _） 2、向量的表示 方法：几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如，注意起点在前，终点在后；符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如，等； 坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与 x 轴、 y 轴方向相同的两个单位向量， j 为基底，则平面内的任一向量 a可表示为 a?xi?yj?x,y?，称 ?x,y?为向量 a的坐标， a ?x,y?叫做向量 a的坐标表示。如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。 3.平面向量的基本定理：如果 e1和 e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量 a，有且只有一对实数 ?1、 ?2，使 a=?1e1 ?2e2。如若 a?(1,1),b? 57 / 112 13；下列向量组中，能作为平面内所有 (1,?1),c?(?1,2)，则 c?_22 向 量 基 底 的 是 A. e1?(0,0),e2?(1,?2) B. e1?(?1,2),e2?(5,7) C. e1?(3,5),e2?(6,10) ?13D. e1?(2,?3),e2?(,?)；已知 ?ABC 中，点D 在 BC边上，且 CD?2DB， 24 CD?rAB?sAC，则 r?s的值是 _ 4、实数与向量的积：实数 ?与向量 a的积是一个向量，记作 ?a，它的长度和方向规定如下： ?1?a?a,?2?当 ?0 时， ?a的方向与 a的方向相同，当 ? 1 ? 5、平面向量的数量积： 两 个 向 量 的 夹 角 ： 对 于 非 零 向 量 ， 作OA?a,OB?b， ?AOB? ?0?称为向量，的夹角，当 ? 0时，同向，当 ? ?时，反向，当 ? ?时，垂直。 2 58 / 112 平面向量的数量积：如果两个非零向量 a， b，它们的夹角为 ?，我们把数量，记作： a?b，即 a?b abcos?。 |a|b|cos?叫做a 与 b 的数量积 规定：零向量与任一向量的数量积是 0，注意数量积是一个实数，不再是一个向量。如 ABC 中， |AB|?3， |AC|?4， |BC|?5，则 AB?BC?_； ? 11?，则 k等于 _； 224 已知 a?2,b?5,ab?3，则 a?b等于 _）；已知 a,b是两个非已知 a?(1,),b?(0,?),c?a?kb,d?a?b， c 与 d 的夹角为零向量，且 a?b?a?b，则 a 与 a?b 的夹角为_ b 在 a 上的投影为 |b|cos?，它是一个实数，但不一定大于 0。如已知 |a|?3， ? |b|?5，且 a?b?12，则向量 a 在向量 b 上的投影为 _ 5 ?的几何意义：数量积 ?等于的模 |a|与在上的投影的积。 59 / 112 向量数量积的性质：设两个非零向量，其夹角 为 ?，则： a?b?a?b?0 ； 当 a， b同向时， a?b ab，特别地， a?a?a?a,a?；当 a与b 反向时， a?b ab； 非零向量，夹角 ?的计算公式： cos?22a?bab； ?rrrr? a?b?|a|b| 。如已知 a?(?,2?)， b?(3?,2)，如果 a 与 b 的夹角为锐角，则 ? 41的取值范围是 _；几何运 算： 向量加法：利用 “ 平行四边形法则 ” 进行，但 “ 平行四边形法则 ” 只适用于不共线的向量，如此之外，向量加法还可利用 “ 三角形法则 ” ：设 AB?a,BC?b，那么向量 AC叫做 a与b 的和，即 a?b?AB?BC?AC； uuurruuurrrruuuruuuruur 向量的减法：用 “ 三角形法则 ” ：设 AB?a,AC?b,那么a?b?AB?AC?CB， 60 / 112 2 由减向量的终点指向被减向量的终点。注意：此处减向量与被减向量的起点相同。如 化简： AB?BC?CD?_ ； AB?AD?DC?_ ；(AB?CD)?(AC?BD)?_ ；若正方形 ABCD 的边长为 1，AB?a,BC?b,AC?c，则 | a?b?c| _；若 O 是 ABC 所在平面内一点，且满足OB?OC?OB?OC?2OA，则 ABC 的形状为 _；若 D 为 ?ABC 的边BC 的中点， ?ABC 所在平面内有一点 P，满足 PA?BP?CP?0，设 |AP|； ?，则 ?的值为 _|PD| 坐标运算：设 a?(x1,y1),b?(x2,y2)，则： 向量的加减法运算： a?b?(x1?x2， y1?y2)。如已知点A(2,3),B(5,4)， C(7,10)，若 AP?AB?AC(?R)，则当 ? _时，点 P 在第一、三象限的角平分线上； 2 实数与向量的积： ?a?x1,y1?x1,?y1?。 若 A(x1,y1),B(x2,y2)，则 AB?x2?x1,y2?y1?，即一个向61 / 112 量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标。如设 A(2,3),B(?1,5)，且 AC?1AB， 3 AD?3AB，则 C、 D的坐标分别是 _3 平面向量数量积： a?b?x1x2?y1y2。如已知向量 , 若 x?84311 数 f(x)?的最大值为，求 ?的值； 22sinx） , c。若 x 向量的模 ： |a|?a?|a|2?x2?y2。如已知 a,b 均为单位向量，它们的 2 夹角为 60，那么 |a?3b| _； 两点间的距离：若A?x1,y1?,B?x2,y2?，则 |AB|? 7、向量的运算律：交换律： a?b?b?a， ?a?a， a?b?b?a；62 / 112 (2) ? 分配律： ?a?a?a,?a?b?a?b， ?a?b?c?a?c?b?c。如下列命题中： a?(b?c)?a?b?a?c ； a?(b?c)?(a?b)?c ； (a?b)?|a| ? ? 结合律：a?b?c?a?b?c,a?b?c?a?b?c， ?a?b?a?b?a?b； ?2?2?2|a|?|b|?|b|； 若 a?b?0，则 a?0 或 b?0； 若 a?b?c?b,则 a?c； ?2? 3 a?a ； 22a?b 2aa _ 提 醒：向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一63 / 112 个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除 (相约 )；向量的 “ 乘法 ” 不满足结合律，即 (?)?(?)，为什么？ 8 、向量平行 ( 共线 ) 的 充 要 条 件 ：a/b?a?b?(a?b)2?(|a|b|)2?x1y2?y1x2 0。如 (1)若向量a?(x,1),b?(4,x)，当 x _时 a 与 b 共线且方向相同；已知 a?(1,1),b?(4,x)， u?a?2b， v?2a?b，且 u/v，则 x_；设 PA?(k,12),PB?(4,5),PC?(10,k)，则 k _时， A,B,C 共线 9 、 向 量 垂 直 的 充 要 条 件 ：a?b?a?b?0?|a?b|?|a?b| ?x1x2?y1y2?0. 特别地 (?b ；(a?b)2?a?b ； (a ?b)2?a?2a?b?b。其中正确的是 2222AB AB?AC AC)?(AB AB?AC 64 / 112 AC)。如 (1)已知 OA?(?1,2),OB?(3,m)，若 OA?OB， 则 m? ；以原点 O 和 A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形 OAB， 2 ?B?90?，则点 B的坐标是 _ ）； 10.线段的定比分点： 定比分点的概念：设点 P 是直线 P1P2上异于 P1、 P2的任意一点，若存在一个实数 ? ，使 PP则 ?叫做点 P 分有向线段 PPP点叫做有向线段 PP?PP2， 112 所成的比， 12 的以定比为 ?的定比分点； ?的符号与分点 P 的位置之间的关系：当 P 点在线段 P1P2 上时 ?0；当 P 点在线段 P1P2 的延长线上时 ? ?1?0；若点 P分有向线段 PP?，则点 P分有向线段 P12 所成的比为 2P1 所成的比为 1?。如若点 P 分 AB 所成的比为 37，则 A分 BP所成的比为 _ 43 线段的定比分点公式：设 P1(x1,y1)、 P2(x2,y2)， P(x,y)分有向线段 PP12所成 65 / 112 ?x?的比为 ?，则 ?y?x1?x21?，特别地，当 ? 1 时，就得到线段 P1P2的中点公式 y1?y2 1? x1?x2?x?2?。在使用定比分点的坐标公式时，应 明确(x,y)， (x1,y1)、 (x2,y2)的意义， ?y?y1?y2 ?2 即分别为分点，起点，终点的坐标。在具体计算时应根据题设条件，灵活地确定起点，分 4 1? 点和终点，并根据这些点确定对应的定比 ?。如若 M， N，且MP?MN， 3 7 则点 P的坐标为 _； 3? x?x?h11.平移公式：如果点 P(x,y)按向量 a?h,k?平移至66 / 112 P(x?,y?)，则 ?；曲 ?y?y?k 线 f(x,y)?0 按向量 a?h,k?平移得曲线 f(x?h,y?k)?0.注意：函数按向量平移与平常 “ 左加右减 ” 有何联系？向量平移具有坐标不变性，可别忘了啊！如按向量 a把 (2,?3)平移到 (1,?2)，则按向量 a把点 (?7,2)平移到点 _）； 函数 y?sin2x的图象按向量 a平移后，所得函数的解析式是y?cos2x?1，则 a _ 12、向量中一些常用的结论： 一个封闭 图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用； |a|?|b|?|a?b|?|a|?|b|，特别地，当 a、 b 同向或有0?|a?b|?|a|?|b| b 反向或有 0?|a?b|?|a|?|b|?|a|?|b|?|a?b|；当 a、 b?|a|?|b|?|a?b|；当 a、 不共线 ?|a|?|b|?|a?b|?|a|?|b|(这些和实数比较类似 ). 67 / 112 在 ?ABC 中， 若 A?x1,y1?,B?x2,y2?,C?x3,y3?，则其重心的坐标为 ?x?x?xy?y?y3?、 G?123,12?。如若 ABC 的三边的中点分别为 33? 24，则 ABC 的重心的坐标为 _； 33 PG?(PA?PB?PC)?G 为 ?ABC的重心，特别地 PA?PB?PC?0?P3 为 ?ABC 的重心； PA?PB?PB?PC?PC?PA?P 为 ?ABC 的 垂 心 ； 向量 ?(AB?AC)(?0)所在直线过 ?ABC 的内心 (是 ?BAC 的角平分线所 |AB|AC| 在直线 )； |AB|PC?|BC|PA?|CA |PB?0?P?ABC 的内心； ?，点 M为平面内的任一点，则若 P分有向线段 PP12所成的比为 68 / 112 MP?MPMP1?MP2； 1?MP2，特别地 P 为 PP的中点 ?MP?1221? 向量 PA、 PB、 PC中三终点 A、 B、 C 共线 ?存在实数 ?、 ?使得 PA?PB?P 且 C?1.如平面直角坐标系中， O 为坐标原点，已知两点 A(3,1),B(?1,3),若点 C 满足 OC?1OA?2OB,其中 ?1,?2?R且 ?1?2?1,则点 C的轨迹是 _ 5 ? 概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结 平面向量 一向量有关概念： 1向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。 向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？。如： 已知 A， B，则把向量 AB 按向量 a平移后得到的向量是_） 69 / 112 2零向量：长度为 0 的向量叫零向量，记作：，注意零向量的方向是任意的； 3单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量 (与AB共线的单位向量是 ? AB)； |AB| 4相等向量：长度相等且方向相同的 两个向量叫相等向量，相等向量有传递性； 5平行向量：方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量，记作： ，规定零向量和任何向量平