时间序列(电子科大)第二章.ppt

一、ARMA模型平稳解的存在惟一性,2.3ARMA序列的因果可逆性,关于ARMA模型,3)是否存在用白噪声表示的解?,1)解是否存在、惟一?,2)解是否平稳?,有以下问题：,例2.3.1单摆运动,有,平稳解：满足ARMA模型,并且是平稳序列.,问题不同a值对振幅变化的影响？,120个观察数据,a=0.35,x0=8,Ave=0.059,Std=1.234,120个观察数据,1）a的值越接近1，阻尼越小，单摆振荡越激烈.,2）a(1,1)，随时间的推移，单摆振幅总能稳定下来.,稳定系统,3）a=1，单摆是无阻尼运动，系统不能稳定下来.,非稳定系统,4）a1，单摆系统也非稳定的.,结论：单摆运动是稳定系统的充要条件是特征多项式,的根z1=1/a在单位圆外:,1.q阶滑动平均模型MA(q),结论：MA(q)模型有惟一的平稳解,即为用白噪声表示的惟一解.,证明表达式：,问题q阶滑动平均模型的平稳性条件？,因,令,与起点无关,是平稳解.,q阶滑动平均模型本身是特殊的传递形式，且是平稳的.,2.p阶自回归模型AR(p),例2.3.2单摆运动,（2.3.1）,（2.3.2）,见命题2.1.1,即（2.3.2)是(2.3.1)的平稳解.,问题一阶自回归模型AR(1),有平稳解的充要条件.,因,递推得,充分必要,即随机变量序列,均方收敛.,在均方收敛意义下成立：,从而,（2.3.3）,是满足AR(1)模型的惟一解.,Wold分解式,将Wold系数代入公式（2.1.4）,故(2.3.1)定义的解满足一定条件是平稳的.,1）对满足AR(1)模型的平稳时间序列在的条件下，,结论：,2）若，则（2.3.3）在L2中不收敛；,3）若,AR(1)模型无平稳解.,（2.3.3）式a.s.成立；,注1一阶自回归AR(1)序列,为保证其解的平稳性，沃尔德系数的生成函数,当收敛.,注2,故,因式分解p阶自回归多项式,部分分式,讨论p阶自回归模型,故,序列的Wold系数为,当其生成函数绝对收敛，,从而AR(p)表示一个平稳序列.,等价于,若AR(p)的自回归多项式,1）若根全在单位圆外，解Xt是平稳的；,结论,2）若有根在单位圆上，解Xt是非平稳的；,二、ARMA序列的因果性,在2.1节讨论过线性过程的两种等价形式：传递形式和逆转形式，现对ARMA序列进行具体探究.,定义2.3.1称满足ARMA(p,q)模型,的ARMA序列为因果的，若存在Wold分解（正交分解）式,称是的因果函数.,例2.3.3q阶滑动平均模型的解序列Xt是因果的,因,例2.3.4AR(1)有传递形式，且Wold系数为,注因果性不是过程的自身性质，表征ARMA模型中两个过程的关联关系.,Xt与将来时刻的噪声不相关,t,s,tj,分析,说明Xt仅与过去和现在的,有关，与将来的,无关，具有因果性.,工程可实现的,定理2.3.1是平稳ARMA时间序列,若与无公共零点,则序列是因果ARMA序列的充分必要条件为,对任意,且其格林函数由下式确定,（2.3.4）,注1条件“”可叙述为自回归多项式,的根全在单位圆外.,注2(2.3.2)对应的算子级数形如,例2.3.5AR(2)模型,比较两端算子同次幂的系数，可得的格林函数递推关系式：,例2.3.6ARMA(1,1)模型,比较系数,定义2.3.2ARMA序列称为可逆的，若存在常数序列满足,（2.3.3）,三、ARMA序列的可逆性,逆问题能否用解序列Xt的加权和来表示白噪声序列？,逆转形式,注称为逆函数.,若与无公共零点,则序列是可逆序列的充分必要条件为,定理2.3.2是平稳ARMA时间序列,例2.3.7MA(1)模型,从而，当时级数收敛.,例3.3.8MA(2)模型,比较系数得差分方程,命题2.1.1线性过程,若满足以下条件之一，序列具有平稳性。,1