讲Euler法与改进Euler法.ppt

第八章常微分方程数值解法,常微分方程数值解法,常微分方程主要有:(1)变量可分离的方程(2)一阶线性微分方程(贝努利方程)(3)可降阶的一类高阶方程(4)二阶常系数齐次微分方程(5)二阶常系数非齐次微分方程(6)全微分方程,常微分方程数值解法,主要内容：一、引言二、建立数值解法的常用方法三、Euler方法四、几何意义五、Euler方法的误差估计六、向后Euler方法,主要内容,许多实际问题的数学模型是微分方程或微分方程的定解问题,如物体运动,电路震荡,化学反映及生物群体的变化等.能用解析方法求出精确解的微分方程为数不多,而且有的方程即使有解析解,也可能由于解的表达式非常复杂而不易计算,因此有必要研究微分方程的数值解法,本章重点,研究一阶常微分方程的初值问题的数值解,本章假定,常微分方程数值解法,初值问题数值解的提法,常微分方程数值解法,建立微分方程数值解法,首先要将微分方程离散化.,一般采用以下几种方法:,(1)用差商近似导数,(2)用数值积分近似积分,实际上是矩形法,宽,高,常用方法,(3)用Taylor多项式近似并可估计误差,常用方法,用差商近似导数,问题转化为,Euler方法的迭代公式,令,Euler方法,例1,解,初值问题的迭代公式为:,例题1,用求根公式求解初值问题,Clearx,y,hh=0.1;xn_:=n*h;DSolveyx=yx-2x/yx,y0=1,yx,xTable%/.x-xn,n,1,6;MatrixForm%,y0-1y0.1-1.09545y0.2-1.18322y0.3-1.26491y0.4-1.34164y0.5-1.41421y0.6-1.48324,求微分方程的解,Mathematica程序,Cleara,b,x,yx0=0;y0=1;h=0.1;xn_:=n*h;fu_,v_:=v-2u/vK1n_:=fxn-1,yn-1yn_:=yn-1+h*K1n;Tablexn,yn,n,0,8/N;MatrixForm%,01.0.11.10.21.191820.31.277440.41.358210.51.435130.61.508970.71.580340.81.64978,运行结果,Mathematica程序,01.0.11.10.21.191820.31.277440.41.358210.51.435130.61.50897,y0-1y0.1-1.09545y0.2-1.18322y0.3-1.26491y0.4-1.34164y0.5-1.41421y0.6-1.48324,结果比较,例2,解,初值问题的迭代公式为:,例题2,用求根公式求解初值问题,Clearx,y,hh=0.1;xn_:=n*h;DSolveyx=(2/3)*x/(yx)2,y0=1,yx,xTable%/.x-xn,n,0,10;MatrixForm%,y0-1y0.1-1.00332y0.2-1.01316y0.3-1.02914y0.4-1.05072y0.5-1.07722y0.6-1.10793,Mathematica程序,Cleara,b,x,yx0=0;y0=1;h=0.1;xn_:=n*h;fu_,v_:=(2/3)u/v2;K1n_:=fxn-1,yn-1yn_:=yn-1+h*K1n;Tablexn,yn,n,0,6/N;MatrixForm%,01.0.11.0.21.006670.31.019820.41.039050.51.063750.61.09321,Mathematica程序,几何意义,四、Euler方法的误差估计,为简化分析，先考虑计算一步所产生的误差，即假设,是精确的，,估计误差,这种误差称为局部截断误差。,估计截断误差的主要方法是Taylor展开法，即将函数,取一次Taylor多项式近似函数，得,得Euler方法的局部截断误差公式为,结论：上式说明Euler公式的局部截断误差为,它的精度很差。,一般很少用它来求近似值，但是Euler法却体现了数值方法的基本思想。,注：Euler方法具有一阶精度，因此它的精度不高。,我们更关心整体截断误差，但其讨论要用到局部截断误差。,Euler方法的误差估计,2、整体截断误差,定义：,截断误差,截断误差,Euler方法是一阶方法,故精度不高.,截断误差,需要说明的是，用不同的差商近似导数，将得到不同的计算公式。如果用向后差商代替导数，即,则得计算公式,用这组公式求初值问题的数值解称为向后Euler方法。,向后Euler法与Euler法形式上相似，但实际计算时却复杂得多。Euler公式是显式的，可直接求解。向后Euler公式是隐式公式，一般要用迭代法求解，迭代公式通常为,如果用中心差商代替导数，则可导出Euler两步公式。,主要内容：1:引言2:建立数值解法的常用方法3:Euler方法4:几何意义5:Euler方法的误差估计6:向后Euler方法,本节小结,第二节,改进的Euler方法,改进的Euler方法,利用数值积分将微分方程离散化得梯形公式:,解决方法：有的可化为显格式，但有的不行,梯形方法为隐式算法,改进的Euler方法,梯形公式比欧拉法精度高一些,但计算量较大,实际计算中只迭代一次，这样建立的预测校正系统称作改进的欧拉公式。,改进的Euler方法,改进的Euler方法,二、改进的Euler法,梯形方法虽然提高了精度，但算法复杂，计算量大。如果实际计算时精度要求不太高，用梯形公式求解时，每步可以迭代一次，由此导出一种新的方法改进Euler法。这种方法实际上就是将Euler公式与梯形公式结合使用：先用Euler公式求,的一个初步近似值,，称为预测值，预测值,的精度可能很差，再用梯形公式校正求得近似值,即,改进Euler法,亦称为由Euler公式和梯形公式得到的预测校正(Predictor-Corrector)系统。,为便于上机编程，常改写成,例3,解,（1）用Euler方法得算式为,（2）用改进的Euler方法得算式为,数值结果见下表：,从计算结果可见，改进Euler法的精度明显高于Euler法。,Mathematia程序,用求根公式求解初值问题,Clearx,y,hh=0.1;xn_:=n*h;DSolveyx=yx-2x/yx,y0=1,yx,xTable%/.x-xn,n,1,6;MatrixForm%,y0-1y0.1-1.09545y0.2-1.18322y0.3-1.26491y0.4-1.34164y0.5-1.41421y0.6-1.48324,Mathematia程序,Clearx,y,hx0=0;y0=1;h=0.2;xn_:=n*h;fu_,v_:=v-2u/vK1n_:=fxn-1,yn-1K2n_:=fxn-1+h,yn-1+h*K1n;yn_:=yn-1+h/2*(K1n+K2n);Tablexn,yn,n,0,6/N;MatrixForm%,01.0.11.097740.21.187570.31.271290.41.350130.51.424990.61.49657,比较,Euler近似解,精确解,01.0.11.10.21.191820.31.277440.41.358210.51.435130.61.50897,y0-1y0.1-1.09545y0.2-1.18322y0.3-1.26491y0.4-1.34164y0.5-1.41421y0.6-1.48324,01.0.11.097740.21.187570.31.271290.41.350130.51.424990.61.49657,改进Euler近似解,作业：1用欧拉预-校方法求解初值问题,要求取步长h=0.2，计算y(1.2)和y(1.4)的近似值，小数点后至少保留5位。,2解常微分方程的初值问题,用欧拉法求解分别取步长h=0.1和h=0.05。,利用数值积分将微分方程离散化得梯形公式:,解决方法：有的可化为显格式，但有的不行,梯形方法为隐式算法,改进的Euler方法,梯形公式比欧拉法精度高一些,但计算量较大,实际计算中只迭代一次，这样建立的预测校正系统称作改进的欧拉公式。,改进的Euler方法,改进的Euler方法,Clearx,y,hx0=0;y0=1;h=0.2;xn_:=n*h;fu_,v_:=fu,v;K1n_:=fxn-1,yn-1K2n_:=fxn-1+h,yn-1+h*K1n;yn_:=yn-1+h/2*(K1n+K2n);Tablexn,yn,n,0,4/N;MatrixForm%,Mathematica程序,例3,解,例题3,用求根公式求解初值问题,Clearx,y,hh=0.1;xn_:=n*h;DSolveyx=yx-2x/yx,y0=1,yx,xTable%/.x-xn,n,1,6;MatrixForm%,y0-1y0.1-1.09545y0.2-1.18322y0.3-1.26491y0.4-1.34164y0.5-1.41421y0.6-1.48324,Mathematica程序,Clearx,y,hx0=0;y0=1;h=0.2;xn_:=n*h;fu_,v_:=v-2u/vK1n_:=fxn-1,yn-1K2n_:=fxn-1+h,yn-1+h*K1n;yn_:=yn-1+h/2*(K1n+K2n);Tablexn,yn,n,0,6/N;MatrixForm%,01.0.11.097740.21.187570.31.271290.41.350130.51.424990.61.49657,Mathematica程序,Euler近似解,精确解,01.0.1