电路分析第07章-一阶电路的时域分析.ppt

1,10V,R,S(t=0),1,2,R1,2,4,R2,4,当开关在t=0时从1切换到2，灯泡R1和R2的亮度会怎么变化？,2,第七章一阶电路的时域分析,7.1动态电路的方程及其初始条件（）7.2一阶电路的零输入响应（）7.3一阶电路的零状态响应（）7.4一阶电路的全响应（,）,3,重点(1).动态电路方程的建立和初始条件的确定；(2).一阶电路时间常数的概念；(3).一阶电路的零输入响应和零状态响应和全响应求解；(4).求解一阶电路的三要素方法；(5).自由分量和强制分量、暂态分量和稳态分量的概念；2.难点(1).应用基尔霍夫定律和电感、电容的元件特性建立动态电路方程。(2).电路初始条件的概念和确定方法。,本章重点和难点,4,7.1动态电路的方程及其初始条件,1、动态电路,包含至少一个动态元件（电容或电感）的电路为动态电路。电路方程为一阶常系数微分方程为一阶电路。（含有一个独立的动态元件）电路方程为二阶常系数微分方程。（含有二个独立的动态元件为二阶电路）电路方程为高阶常系数微分方程。（含有三个或三个以上独立的动态元件为高阶电路）,5,换路：电路结构或参数发生突然变化。,稳态：有两类稳态电路，,换路、暂态与稳态的概念,US,6,暂态：电路换路后从一种稳态到另一种稳态的过渡过程。,过渡过程产生的原因：外因换路；内因有储能元件。,电路内部含有储能元件L、C，电路在换路时能量发生变化，而能量的储存和释放都需要一定的时间来完成。,7,例:,电阻电路,过渡期为0,8,电容电路,K未动作前，电路处于稳定状态i=0,uc=0,K接通电源后很长时间，电容充电完毕，电路达到新的稳定状态i=0,uc=US,9,电感电路,K未动作前，电路处于稳定状态i=0,uL=0,K接通电源后很长时间，电感充电完毕，电路达到新的稳定状态i=US/R,uL=0,10,（1）根据KCL、KVL和支路的VCR建立描述电路的方程；（建立的方程是以时间为自变量的线性常微分方程）2）求解常微分方程，得到电路所求变量（电压或电流）。,动态电路的分析方法(经典法),11,动态电路的方程,应用KVL和电容的VCR得：,若以电流为变量:,12,若以电感电压为变量:,应用KVL和电感的VCR得:,13,一阶电路列出的方程是一阶微分方程，那么求解的时候需要知道一阶微分方程的初始值（初始条件），也就是电路中的响应在换路后的最开始一瞬间的值。,一阶电路,14,2.电路的初始条件,(1)t=0与t=0的概念,认为换路在t=0时刻进行0：换路前一瞬间0：换路后一瞬间,初始条件：电路中所求变量（电压或电流）及其1至(n1)阶导数在t=0时的值，也称初始值。,独立初始条件：uC(0+),iL(0+),15,对于线性电容，在任何时刻t时，它的uc和ic之间的关系为：,令t0=0-、t=0+则得：,(2)电容的初始条件,换路瞬间，若电容电流保持为有限值，则电容电压（电荷）换路前后保持不变。,当iC(x)为有限值时：,电荷守恒,结论:,16,对于线性电感，在任何时刻t，它的u和iL之间的关系为：,令t0=0-、t=0+则得：,(3)电感的初始条件,换路瞬间，若电感电压保持为有限值，则电感电流（磁通链）换路前后保持不变。,当uL(x)为有限值时：,磁通链守恒,结论,17,如何根据换路定则求其它的电量？,(3)换路定则,换路前后瞬间，若电容电流保持为有限值，则电容电压换路前后保持不变。,换路前后瞬间，若电感电压保持为有限值，则电感电流换路前后保持不变。,（1）电容电流和电感电压为有限值是换路定律成立的条件。（2）换路定律反映了能量不能跃变。,18,1.求：给定；时，原电路为直流稳态：C开路L短路时，电路未进入稳态：，2.根据换路定则确定独立初始条件3.求非独立初始条件，画时的等效电路：C电压源（uC(0+)有关），L电流源（iL(0+)有关）特殊情况：C短路，L开路再利用直流电阻电路的计算方法求出其他非独立初始条件。,(4)初始值的计算,19,例1：电路如图，已知电路换路前已达稳态，求uc(0)和ic(0)。,解：,由换路定则，可得,由0等效电路可求得,20,例2：电路如图，已知电路换路前已达稳态，求uL(0)、i(0)、i1(0)和iL(0)。,解：,由换路定则得：,由0等效电路可求得,21,例71如图7-1(a)所示电路中直流电压源的电压为U0。当电路中的电压和电流恒定不变时打开开关S。试求uC(0+)，iL(0+)、iC(0+)、uL(0+)和uR2(0+)。,图7-1,22,（2）根据换路定则得：,(3)画t=0时的等效电路图:,解:(1)求电容相当于开路，电感相当于短路所以：,23,作业P190，191,71(a)72（b）要求在图中标出各电压、电流的符号以及参考方向,24,动态电路无外施激励电源，仅由动态元件的初始储能所产生的响应（电流和电压），称为动态电路的零输入响应。,图72RC电路的零输入响应,一、RC电路的零输入响应,7.2一阶电路的零输入响应,25,在图6-2所示RC电路中，开关S闭合前，电容C已充电，其电压uC=U0，如图所示。开关闭合后，电容储存的能量将通过电阻以热能形式释放出来。现把开关动作时刻取为计时起点(t=0)。开关闭合后，即t0时，根据KVL可得,而uR=Ri，代入上述方程，有,26,这是一阶齐次微分方程，初始条件uC(0+)=uC(0)=U0，令此方程的通解为uC=Aept，代入上式后有,特征根为,相应的特征方程为,根据uC(0+)=uC(0)=U0，以此代入uC=Aept，则可求得积分常数A=uC(0+)=U0。,27,这样求得满足初始条件的微分方程的解为,电路中的电流为,放电过程中电容电压uC的表达式,电阻上的电压,28,(b),(a),图6-3uC,uR和i随时间变化的曲线(=RC),29,时间常数t的大小反映了电路过渡过程时间的长短,RC电路的时间常数（timeconstant）:=RC,t大过渡过程时间长t小过渡过程时间短,物理含义,电压初值一定：,C大（R一定）WCu2/2储能大R大（C一定）iu/R放电电流小,放电时间长,大,小,30,的物理意义:U0衰减到0.368U0所需时间.,将,不同时刻的电容电压值列于表6-1中。,理论上：t=时uc才衰减为零。工程上认为：经过35的时间过渡过程结束，因为经历5的时间uc已衰减为初始值的0.7%）。所以，电路的时间常数决定了零输入响应衰减的快慢，时间常数越大，衰减越慢，放电持续的时间越长。,31,图7-4时间常数的几何意义,的几何意义:uC曲线上任意一点的切线所得的次切距*。,备注：次切距是指切点在定直线（通常为x轴）上的垂足到切线与定直线交点间的距离。,32,例：如图(a)所示电路中开关S原在位置1，且电路已达稳态。t=0时开关由1合向2，试求t0时的电流i(t)。,33,解：首先求出：,换路后，电路如图(b)所示，电容通过电阻R1、R2放电，由于R1、R2为并联，设等效电阻为R，有：,所以t0+时,34,图7-5所示电路在开关S动作之前电压和电流已恒定不变，电感中有电流。在t=0时开关由1合到2，具有初始电流I0的电感L和电阻R相连，构成一个闭合回路，如图7-5(b)。在t0时，根据KVL，有,图75RL电路的零输入响应,(b),(a),二、RL电路的零输入响应,35,而uR=Ri，电路的微分方程为,这也是一阶齐次微分方程。令i=Aept，代入上式后有,特征根为,相应的特征方程为,36,故电流为,根据i(0+)=i(0)=I0，代入上式可求得A=i(0+)=I0，而有,电阻和电感上的电压分别为：,37,图67RL电路的零输入响应曲线,令时间常数，当电阻的单位为，电感的单位为H，的单位为s，它称为RL电路的时间常数。,38,经典法解题步骤：根据换路后的电路列写微分方程；求对应齐次方程的通解；由初始条件确定积分常数；写出f(t)。,求解RC、RL电路的零输入响应方法：经典法和列标准式法,列标准式法步骤：求初始值f0；求电路的时间常数；响应为;,更简洁方便、推荐用此方法,39,例73图7-8所示是一台300kW汽轮发电机的励磁回路。已知励磁绕组的电阻R=0.189，电感L=0.398H，直流电压U=35V。电压表的量程为50V，内阻Rv=5k。开关未断开时，电路中电流已经恒定不变。在t=0时，断开开关。,图7-8例7-3图,求：(1)电阻、电感回路的时间常数；(2)电流i的初始值;(3)电流i和电压表处的电压uv；(4)开关断开时，电压表处的电压。,40,解(1)时间常数,(2)开关断开前，由于电流已恒定不变，电感L两端电压为零，故,由于电感中电流不能跃变，电流的初始值i(0+)=i(0)=185.2A。,(3)按，可得,41,电压表处的电压,(4)开关刚断开时，电压表处的电压,在这个时刻电压表要承受很高的电压，其绝对值将远大于直流电源的电压U，所以在切断电流时必须考虑磁场能量的释放。,42,例7-3图7-8(a)所示电路，开关S合在位置1时电路已达稳态，t0时开关由位置1合向位置2，试求t0时的电流i(t)。,(a),+,-,uC,43,零状态响应:电路在零初始状态下（动态元件的初始储能为零）由外施激励引起的响应。,图7-10RC电路的零状态响应,一、RC电路的零状态响应,7.3一阶电路的零状态响应,44,在图7-9的RC串联电路中，开关S闭合前电路处于零初始状态，即uC(0-)=0。在t=0时刻，开关S闭合，电路接入直流电压源US。根据KVL可得,而uR=Ri，代入上述方程，有,这是一阶线性非齐次方程。方程的解由两个分量组成，即非齐次方程的特解和对应的齐次方程的通解，即,45,不难求得特解为,而齐次方程的通解为,代入初始值，可求得,其中=RC。因此,46,而：,uC以指数形式趋近于它的最终值US，到达该值后，电压和电流不再变化，电容相当于开路，电流为零。,47,48,图7-12RL电路的零状态响应,图7-12所示为RL电路，直流电流源的电流为IS，在开关打开前电感中的电流为零。开关打开后，电路的响应为零状态响应。电路的微分方程为,二、RL电路的零状态响应,49,初始条件为。电流iL的通解为,式中为时间常数。,特解为，积分常数，所以,50,习题P191-193,7-47-87-11,51,当一个非零初始状态的一阶电路受到激励时，电路的响应称为一阶电路的全响应。,图7-14一阶电路的全响应,7.4一阶电路的全响应,52,图7-14所示电路为已充电的电容经过电阻接到直流电压源US。设电容原有电压为U0，开关S闭合后，根据KVL可得,初始条件,方程的通解,取换路后达到稳定状态的电容电压为特解，则,53,代入初始条件，可求得,其中=RC。因此,为上述方程对应的齐次方程的通解,所以电容电压,54,全响应稳态分量+瞬态分量,全响应的分解,55,可写作,全响应零输入响应+零状态响应,56,全响应可以由初始值、特解和时间常数三个要素决定。若初始值为f(0+)、特解为稳态解f()，时间常数为，则全响应f(t)可写为,只要知道f(0+)、f()和这三个要素，就可以根据上式写出直流激励下一阶电路的全响应，这种方法为三要素法。,三要素法不仅可以求一阶RC电路的uC(t)以及一阶RL电路的iL(t)，它可以求解一阶电路的其他任何响应（ic,iR,uL,uR）。三要素法不仅适用于一阶电路的全响应，而且适用于一阶电路的零输入响应和零状态响应。,三要素法,57,例74图7-15(a)所示电路中Us=10V，Is=2A，R=2，L=4H。试求S闭合后电路中的电流iL和i。,58,解:(1)求初始值iL(0+),按照三要素方法，解得iL,(2)求稳态解iL(),(3)求时间常数,由KCL，解得：,59,例如图所示，开关合在1时已达稳定状态。t=0时，开关由1合向2，试求t0时的uL。,解,60,61,换路后，应用戴维宁定理得出等效电路如图7-16(b)所示，其中uoc=12V，Req=10。,所以：,62,(c),(d),电流iL和电压uL的波形见图(c)、(d)。,63,例75图7-16所示电路中,开关S闭合前电路已达稳定状态，t=0时S闭合，求t0时电容电压uc的零状态响应、零输入响应和全响应，并定性绘出波形图。,图7-16,64,三要素法注意事项,如果求uC(t)（RC电路）或iL(t)（RL电路）：直接求对应的三要素即可。如果求uC(t)或iL(t)之外的其他响应：可以先求出uC(t)或iL(t)，然后根据元件的伏安关系，KCL，KVL等规律得到。也可以直接求其他响应量的三要素。,65,求初始值f(0+):a.题目已知；b.根据换路前电路求uC(0-)或iL(0-)，再由换路定则得到uC(0+)或iL(0+)；c.其他初始值的计算在换路后电路中求得，此时C看成电压源（电压为uC(0+)），L看成电流源（电流为iL(0+)）。求时间常数：=ReqC或L/Req,Req可通过求动态元件以外部分的戴维宁等效电路的Req得到。没有受控源，独立源置零，电阻串并联计算得到Req；如有受控源，用外加电源法或开路短路法求得Req。求稳态解f():在换路后电路中，C开路，L短路，求得f()。,66,电路如图(a)所示，已知C=0.5F,R=