随机变量相互独立的定义.ppt

随机变量相互独立的定义课堂练习小结布置作业,第四节相互独立的随机变量,两事件A,B独立的定义是：若P(AB)=P(A)P(B)则称事件A,B独立.,设X,Y是两个随机变量，若对任意的x,y,有,则称X和Y相互独立.,一、随机变量相互独立的定义,它表明，两个随机变量相互独立时，它们的联合分布函数等于两个边缘分布函数的乘积.,几乎处处成立，则称X和Y相互独立.,对任意的x,y,有,若(X,Y)是连续型随机变量，则上述独立性的定义等价于：,分别是X的边缘密度和Y的边缘密度.,若(X,Y)是离散型随机变量，则上述独立性的定义等价于：,则称X和Y相互独立.,对(X,Y)的所有可能取值(xi,yj),有,二、例1若，具有联合分布律,问X和Y是否独立？,解PX=0,Y=1=1/6=PX=0PY=1PX=0,Y=2=1/6=PX=0PY=2PX=1,Y=1=2/6=PX=1PY=1PX=1,Y=2=2/6=PX=1PY=2,因而，是相互独立的,再如第二节的例中随机变量和，由于D=1,F=0=1/10D=1PF=0,因而F和D不是相互独立的,例2二维正态随机变量(X,Y)的概率密度为,问X和Y是否独立？,解由第二节中例5知道,其边缘概率密度的乘积为,因此,如果,则对于所有x,y有,即X,Y相互独立.反之,如果X,Y相互独立,由于都是连续函数,故对于所有的x,y有.特别,令自这一等式得到,从而.综上所述,可得以下结论:,对于二维随机变量(X,Y),X和Y相互独立的充要条件是参数.,例3一负责人到达办公室的时间均匀分布在812时,他的秘书到达办公室的时间均匀分布在79时,设他们两人到达的时间相互独立,求他们到达办公室的时间相差不超过5分钟(1/12小时)的概率.,解设X为负责人到达时间,Y为他的秘书到达时间,由假设X,Y的概率密度分别为,所求为P(|X-Y|1/12),由独立性,先到的人等待另一人到达的时间不超过5分钟的概率,记G=|X-Y|1/12,所以,被积函数为常数，直接求面积,P(|X-Y|1/12),类似的问题如：,甲、乙两船同日欲靠同一码头，设两船各自独立地到达，并且每艘船在一昼夜间到达是等可能的.若甲船需停泊1小时，乙船需停泊2小时，而该码头只能停泊一艘船，试求其中一艘船要等待码头空出的概率.,在某一分钟的任何时刻，信号进入收音机是等可能的.若收到两个互相独立的这种信号的时间间隔小于0.5秒，则信号将产生互相干扰.求发生两信号互相干扰的概率.,盒内有个白球,个黑球,有放回地摸球,例4,两次.,设,第1次摸到白球,第1次摸到黑球,第2次摸到白球,第2次摸到黑球,试求,(1)的联合分布律及边缘分布律;,(2)判断的相互独立性;,(3)若改为无放回摸球,解上述两个问题.,(1)的联合分布律及边缘分布律,解,如下表所示:,(2),由上表可知,故的相互独立.,(3)的联合分布律及边缘分布律如下,表所示:,故不是相互独立.,由上表知:,可见,三、多维随机变量的一些概念,四、课堂练习,2.证明对于二维正态随机变量(X,Y),X和Y相互独立的充要条件是参数.,这一讲，我们由两个事件相互独立的概念引入两