《命题及其关系》PPT课件.ppt

第一章,常用逻辑用语,本章内容,1.1命题及其关系,1.2充分条件与必要条件,1.3简单的逻辑联结词,1.4全称量词与存在量词,第一章小结,1.1命题及其关系,1.1.2四种命题1.1.3四种命题间的相互关系,1.1.1命题,1.1.1命题,返回目录,1.什么是命题?它的结构形式是怎样的?,2.什么是真命题?什么是假命题?如何判断命题的真假?,问题1.从语言的角度讲,下列句子各属什么类型?能判断它们的真假吗?(1)若直线a/b,则直线a和直线b无公共点.(2)2+4=7.(3)垂直于同一条直线的两个平面平行吗?(4)x10是一个比较大的数.(5)1010这个数太大了!(6)求3除以2的余数.,(1)(2)(4)是陈述句,(3)是疑问句,(5)是感叹句,(6)是祈使句.,能判断真假的是陈述句中的(1)(2).,问题1.从语言的角度讲,下列句子各属什么类型?能判断它们的真假吗?(1)若直线a/b,则直线a和直线b无公共点.(2)2+4=7.(3)垂直于同一条直线的两个平面平行吗?(4)x10是一个比较大的数.(5)1010这个数太大了!(6)求3除以2的余数.,一般地,我们把用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题.其中判断为真的语句叫做真命题,判断为假的语句叫做假命题.,真命题.,假命题.,不能判断真假,不是命题.,例1.判断下列语句中哪些是命题?是真命题还是假命题?(1)空集是任何集合的子集;(2)若整数a是素数,则a是奇数;(3)指数函数是增函数吗?(4)若空间中两条直线不相交,则这两条直线平行;(5)(6)x15.,解:,(3)不是陈述句;,(6)是陈述句但不能判断真假;,(1)(2)(4)(5)是能判断真假的陈述句,所以(1)(2)(4)(5)是,命题,其中(1)(5)是真命题,(2)(4)是假命题.,命题通常由“条件”和“结论”两部份组成,写成,“若p,则q”,的形式,p是命题的条件,q是命题的结论.,例2.指出下列命题中的条件p和结论q:(1)若整数a能被2整除,则a是偶数;(2)若四边形是菱形,则它的对角线互相垂直且平分.,解:,(1),条件p:整数a能被2整除,结论q:a是偶数.,(2),条件p:四边形是菱形,结论q:它的对角线互相垂直且平分.,有些命题没有明显的“若p,则q”的形式,如下例:,例3.将下列命题写成“若p,则q”形式,并判断真假:(1)垂直于同一条直线的两条直线平行;(2)负数的立方是负数;(3)对顶角相等.,解:,(1),若两条直线垂直于同一条直线,则这两条,直线平行.,这是个假命题.,垂直同一条直线的两直线也可能,平行,也可能相交,也可能异面.,例3.将下列命题写成“若p,则q”形式,并判断真假:(1)垂直于同一条直线的两条直线平行;(2)负数的立方是负数;(3)对顶角相等.,解:,(2),若一个数是负数,则这个数的立方也是,这是个真命题.,负数.,一个负数的奇次方仍是负数.,例3.将下列命题写成“若p,则q”形式,并判断真假:(1)垂直于同一条直线的两条直线平行;(2)负数的立方是负数;(3)对顶角相等.,解:,(3),如果两个角是对顶角,那么这两个角,这是个真命题.,相等.,平面几何中有对顶角相等的定理.,练习(补充),1.请将下列命题写成“若p,则q”的形式,并判断其真假.(1)奇函数的图象一定过原点.(2)正弦函数值为正的角的终边在第一象限.(3)不相交的两条直线不都是平行直线.(4)由f(a)f(b)0得f(x)在区间(a,b)内无零点.(5)形如an+1=kan(k0)的递推数列是等比数列.(6)互相垂直的两非零向量的和向量与差向量的模相等.,解:,(1),若一个函数是奇函数,则这个函数的图象,过原点.,这是个假命题.,奇函数的图象过原点,必须保证,定义域包含0.,如是奇函数,但图象不过原点.,1.请将下列命题写成“若p,则q”的形式,并判断其真假.(1)奇函数的图象一定过原点.(2)正弦函数值为正的角的终边在第一象限.(3)不相交的两条直线不都是平行直线.(4)由f(a)f(b)0得f(x)在区间(a,b)内无零点.(5)形如an+1=kan(k0)的递推数列是等比数列.(6)互相垂直的两非零向量的和向量与差向量的模相等.,解:,(2),若一个角的正弦函数值为正,则这个角的终,边在第一象限.,这是个假命题.,正弦函数值为正的角,其终边可能,在第二象限,也可能与y轴的非负半轴重合.,1.请将下列命题写成“若p,则q”的形式,并判断其真假.(1)奇函数的图象一定过原点.(2)正弦函数值为正的角的终边在第一象限.(3)不相交的两条直线不都是平行直线.(4)由f(a)f(b)0得f(x)在区间(a,b)内无零点.(5)形如an+1=kan(k0)的递推数列是等比数列.(6)互相垂直的两非零向量的和向量与差向量的模相等.,解:,(3),若两条直线不相交,则这两条直线不可能都,是平行线.,这是个真命题.,不相交的两条直线不会都是平行线,它们有可能平行,有可能异面.,1.请将下列命题写成“若p,则q”的形式,并判断其真假.(1)奇函数的图象一定过原点.(2)正弦函数值为正的角的终边在第一象限.(3)不相交的两条直线不都是平行直线.(4)由f(a)f(b)0得f(x)在区间(a,b)内无零点.(5)形如an+1=kan(k0)的递推数列是等比数列.(6)互相垂直的两非零向量的和向量与差向量的模相等.,解:,(4),若函数f(x)满足f(a)f(b)0,则函数f(x)在,区间(a,b)内无零点.,这是个假命题.,f(x)在区间a,b内不是单调函数时,即使f(a)f(b)0,在区间(a,b)内,f(x)也可能有零点.,1.请将下列命题写成“若p,则q”的形式,并判断其真假.(1)奇函数的图象一定过原点.(2)正弦函数值为正的角的终边在第一象限.(3)不相交的两条直线不都是平行直线.(4)由f(a)f(b)0得f(x)在区间(a,b)内无零点.(5)形如an+1=kan(k0)的递推数列是等比数列.(6)互相垂直的两非零向量的和向量与差向量的模相等.,解:,(5),若一个数列的递推式为an+1=kan(k0),则这个数列是等比数列.,这是个假命题.,数列的各项为0时,结论就不成立.,1.请将下列命题写成“若p,则q”的形式,并判断其真假.(1)奇函数的图象一定过原点.(2)正弦函数值为正的角的终边在第一象限.(3)不相交的两条直线不都是平行直线.(4)由f(a)f(b)0得f(x)在区间(a,b)内无零点.(5)形如an+1=kan(k0)的递推数列是等比数列.(6)互相垂直的两非零向量的和向量与差向量的模相等.,1.请将下列命题写成“若p,则q”的形式,并判断其真假.(1)奇函数的图象一定过原点.(2)正弦函数值为正的角的终边在第一象限.(3)不相交的两条直线不都是平行直线.(4)由f(a)f(b)0得f(x)在区间(a,b)内无零点.(5)形如an+1=kan(k0)的递推数列是等比数列.(6)互相垂直的两非零向量的和向量与差向量的模相等.,解:,(6),若两非零向量互相垂直,则这两个向量的和,与差的模相等.,这是个真命题.,两向量的和向量与差向量的模,是以,这两向量为邻边的平行四边形的两条对角线长.,有一个角是直角的平行四边形是矩形.,矩形的两条对角线相等.,分析:,如图,当向量a,b的夹角为,120时,|c|=|a+b|=1.,要使|c|1,a与b的夹角必须小于120,直到,a与b同向,同理,即q0,120).,a,b的夹角为60时,|c|=|a-b|=1.,要使|c|1,a,b的夹角需大于60,直到a,b反向.,A,【课时小结】,1.命题,用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题.其中判断为真的语句叫做真命题,判断为假的语句叫做假命题.,命题通常由“条件”和“结论”两部份组成,写成“若p,则q”的形式,p是命题的条件,q是命题的结论.,【课时小结】,2.命题的真假判断,命题的两个属性:结构属性和内容属性.,结构属性的特点是“若p,则q”,即由条件和结论两部分组成.,判断命题的真假就是分析它的内容属性.,判断命题真假的实质是考查掌握各方面数学知识的情况.,练习:(课本第4页),第1、2、3题.,习题1.1,A组,第1题.,练习:(课本第4页),1.举出一些命题的例子,并判断它们的真假.,如:,若x=1,则|x|=1.,若|x|=1,则x=1.,若b2-4ac0,则方程ax2+bx+c=0有两不等实根.,若直线a平面a,直线b/a,则b/a.,若D2+E2-4F0,则方程x2+y2+Dx+Ey+F=0的图,若sina0,则06,则a5.”的逆命题、否命题和逆否命题,并判断其真假.,解:,逆命题:,若a5,则a6.,此逆命题是假命题.,否命题:,若a6,则a5.,此否命题也是假命题.,逆否命题:,若a5,则a6.,此逆否命题是真命题.,练习:(课本第6页),就一题.,练习:(课本第6页),写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题,并判断它们的真假:(1)若一个整数的末位数字是0,则这个整数能被5整除;(2)若一个三角形的两条边相等,则这个三角形的两个角相等;(3)奇函数的图象关于原点对称.,解:,(1),逆命题:,若一个整数能被5整除,则这个,整数的末位数字是0.,此命题是假命题.,否命题:,若一个整数的末位数字不是0,则这个整数,不能被5整除.,这个命题也是假命题.,逆否命题:,若一个整数不能被5整除,则这个整数的,末位数字不是0.,此命题是真命题.,练习:(课本第6页),写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题,并判断它们的真假:(1)若一个整数的末位数字是0,则这个整数能被5整除;(2)若一个三角形的两条边相等,则这个三角形的两个角相等;(3)奇函数的图象关于原点对称.,解:,(2),逆命题:,若一个三角形的两个角相等,则,这个三角形的两条边相等.,此命题是真命题.,否命题:,若一个三角形的两条边不相等,则这个三,角形的两个角不相等.,这个命题也是真命题.,逆否命题:,若一个三角形的两个角不相等,则这个,三角形的两条边不相等.,此命题也是真命题.,练习:(课本第6页),写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题,并判断它们的真假:(1)若一个整数的末位数字是0,则这个整数能被5整除;(2)若一个三角形的两条边相等,则这个三角形的两个角相等;(3)奇函数的图象关于原点对称.,解:,(3),逆命题:,图象关于原点对称的函数是奇,函数.,此命题是真命题.,否命题:,不是奇函数的图象不关于原点对称.,这个否命题也是真命题.,逆否命题:,图象不关于原点对称的函数不是奇函,数.,这个逆否命题也是真命题.,问题2.下面四个命题中,任意两个命题是什么关系?你能由此总结出四种命题中任意两个命题的关系吗?(1)若f(x)是正弦函数,则f(x)是周期函数;(2)若f(x)是周期函数,则f(x)是正弦函数;(3)若f(x)不是正弦函数,则f(x)不是周期函数;(4)若f(x)不是周期函数,则f(x)不是正弦函数.,(1)(2)互逆.,(1)(3)互否.,(1)(4)互为逆否.,(2)(3)互为逆否.,(2)(4)互否.,(3)(4)互逆.,问题2.下面四个命题中,任意两个命题是什么关系?你能由此总结出四种命题中任意两个命题的关系吗?(1)若f(x)是正弦函数,则f(x)是周期函数;(2)若f(x)是周期函数,则f(x)是正弦函数;(3)若f(x)不是正弦函数,则f(x)不是周期函数;(4)若f(x)不是周期函数,则f(x)不是正弦函数.,又问:这四种命题的真假性有什么相互关系?,一个命题为真,它的逆命题、否命题不一定真,而它的逆否命题一定真.,一个命题为假,它的逆命题、否命题不一定假,而它的逆否命题一定假.,原命题若p,则q,逆,互,逆命题,互,互,互,逆,否,否,逆否,逆否,否命题,逆否命题,若q,则p,若p,则q,互为,互为,若q,则p,互为逆否的两个命题的真假性相同.,问题3.以“若x2-3x+2=0,则x=2”为原命题,写出它的逆命题、否命题与逆否命题.其中互为逆否的有哪些?它们的真假性如何?,逆命题:,若x=2,则x2-3x+2=0.,否命题:,若x2-3x+20,则x2.,逆否命题:,若x2,则x2-3x+20.,其中原命题与逆否命题互为逆否;逆命题与否命,题互为逆否.,原命题与逆否命题是假命题;逆命题与否命题,是真命题.,在证明某个命题有困难时,可以通过证明它的逆否命题为真来间接证明原命题为真.,例4.证明:若x2+y2=0,则x=y=0.,分析:,直接由x2+y2=0推证x=y=0不易推理表述,我们可以反过来想:,那么x2+y2=0就,这恰是所证命题的逆否命题.,如果原命题的逆否命题为真,则原命题也真.,如果x,y中只要有一个不为0,不会成立.,例4.证明:若x2+y2=0,则x=y=0.,证明:,假若x,y中至少有一个不为0,不妨设,x0,于是得x2+y20.,即证得“x,y不全为0时,x2+y20”.,即“若x2+y2=0,则x=y=0.”得证.,则有x20,而y为任意实数都有y20,此命题的逆否命题是真命题,练习:(课本第8页),只有一题.,练习:(课本第8页),证明:若a2-b2+2a-4b-30,则a-b1.,证明:,若a-b=1,得a2-b2+2a-4b-3=a2-(a-1)2+2a-4(a-1)-3,则b=a-1,=a2-a2+2a-1+2a-4a+4-3,=0,即证得“若a-b=1,则a2-b2+2a-4b-3=0”为真.,“若a2-b2+2a-4b-30,则a-b1.”是真命题.,【课时小结】,1.四种命题,原命题:“若p,则q”,逆命题:“若q,则p”.,逆否命题:“若q,则p”.,否命题:“若p,则q”.,【课时小结】,2.四种命题的关系,原命题若p,则q,互逆,互逆,互否,互否,互为逆否,互为逆否,(1)互为逆否的两个命题的真假性相同.,(2)互逆或互否的两个命题的真假性没有关系.,习题1.1,A组,第2、3、4题.,B组,只一题.,习题1.1,A组,2.写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题,并判断它们的真假:(1)若a,b都是偶数,则a+b是偶数;(2)若m0,则方程x2+x-m=0有实数根.,解:,(1),逆命题:,若a+b是偶数,则a,b都是偶数.,否命题:,若a,b不都是偶数,则a+b不是偶数.,此逆命题是假命题.,此否命题也是假命题.,逆否命题:,若a+b不是偶数,则a,b不都是偶数.,此逆否命题是真命题.,习题1.1,A组,2.写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题,并判断它们的真假:(1)若a,b都是偶数,则a+b是偶数;(2)若m0,则方程x2+x-m=0有实数根.,解:,(2),逆命题:,若方程x2-x-m=0有实数根,则,否命题:,此逆命题是假命题.,此否命题也是假命题.,逆否命题:,此逆否命题是真命题.,m0.,若m0,则方程x2-x-m=0无实数根.,若方程x2-x-m=0无实数根,则m0.,3.把下列命题改写成“若p,则q”的形式,并写出它的逆命题、否命题和逆否命题,然后判断它们的真假:(1)线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等;(2)矩形的对角线相等.,解:,(1),若一点在线段的垂直平分线上,则这点,到这条线段两端的距离相等.,此命题是真命题.,逆命题:,若一点到一线段两端的距离相等,则这,点在这条线段的垂直平分线上.,这也是真命题.,否命题:,