四川大学锦城学院微积分(二)期末复习题答案-A卷.pdfVIP

四川大学锦城学院期末复习题 一、填空题 1. 3 0 3 2 32 00 cos() 3cos limlim sin3 cos01 x xx t dt xx xx = 2. 设220 xyzxyz+=, 求 x z _, y z _ 解 令( , , )22F x y zxyzxyz=+, 则 1 x yz F xyz = , 2 y xz F xyz = , 1 z xy F xyz = , x z yzxyzFz xF xyzxy = = , 2 y z F xzxyzz yF xyzxy = = 3. 3 72 3 9xx dx = 答0，(奇函数在对称区间的积分) 4. 2 11 0 () x dxf xy dy = ， （交换积分次序）答 1 00 () y dyf xy dy ， 5.设 22 lnzxy=+，则=dz 答 22 1 ln() 2 zxy=+Q 2222 xdxydy dz xyxy =+ + 6 2 1 5n n n x n = 的收敛半径=R 答: 1 5 7、下列四个级数中， 5 1 1 2 n n n = + 、 1 1 ( 1)n nn = 、 4 1 2 n n = 、 1 21 73 n n n = + 发散的是 答: 1 21 73 n n n = + ,注 5 5 1 4 1 1 2 1 1 2 n n n n n n = + + 敛 二、计算下列定积分 1. 3 2 2xxdx+ 2. 2 3 1 lnttdt 解 1 原式= 3 333 2 222 (22)2 (2)(2)(2)22 (2)xxd xxd xxd x+=+= L 解 2.原式= 43 22 42 1 11 1ln15 ln4ln2 44416 ttt tdtdt= 三、判断下列级数是绝对收敛,条件收敛还是发散。说明理由 1. 2 2 ( 1)n n n = (条件收敛) 2. 1 1 9 ( 1) ! n n n n = (绝对收敛) 1 | lim0 | n n n u u + = 四、计算二重积分dxdyyx D )( + ，其中D是由曲线 2 xy=和直线2xy+=所围成。 解: 曲线交点 2 2 121 22 (4, 2),(1,1)()(2)3 2 y y y dyxy dxdy += 五、1.求曲线 2 23,yxyx=+=围成的面积. 解 画斜线部分在 x 轴上的投影区间为1, 3. 所求的面积为 3 2233 1 1 132 (23)(3)| 33 Axxdxxxx =+=+= . 2. 求曲线 2 23,yxyx=+=围成的几何图形绕 x 轴旋转体积. 解 33 24 11 (23)Vxdxx dx = =+= L 六、z=f(xy2, x2y); 其中 f 具有连续二阶偏导数,求 2 2 z x 解 zx=f1y2+f22xy=y2f1+2xyf2, zxx=y2f11y2+f122xy+2yf2+2xyf21y2+f222xy =y4f11+2xy3f12+2yf2+2xy3f21+4x2y2 f22 =y4f11+4xy3f12+2yf2+4x2y2 f22, 七、 x dy ye dx +=; 解 2 ()()() 2 dxdx xxxx x yeeedxCee dxCeC =+=+=+ 八、1.求幂级数 = + 1 ) 1( n n nn x 的收敛区域及和函数. 解 幂级数的收敛域为1,1略.设和函数为 S(x), 即 1 1 ( ) (1) n n S xx n n = = + 1 1 1 ( ) (1) n n S xx n = = + 21 1 1 ( )( ) (1) n n g xx S xx n + = = + 令 1 ( ) 1 n n x g xx x = = 0 11 ( )(0)ln(1) 1 xt g xgdtxx t + = 2 ( )( )ln(1)g xx S xxx= 2 ln(1) ( ),0 xx S xx x = 2 ln(1) ( ),0 xx S xx x = 2. 2(1) 1 21 2 n n n n x = ; 解 收敛域(22)x,设幂级数的和函数为 S(x), 则 21 0 1 1 ( ) 2 x n n n S t dtx = = 2 22 2 22 0 11 1 2 ( )() 222 1 2 x nn n nn x xx xS t dtx xx = = 2 0 ( ) 2 x x S t dt x = 2 22 2 ( ) ,(22) (2) x S xx x + =0, z0).在 xyz=k 下的最大值. 法 1 作函数 F(x, y, z)=xy+2xz+2yz+(xyzk). 解方程组 20 20 220 x y z F