圆度测量中的高斯滤波快速算法.pdf

第 31卷 第 3期 2007年 6月 南京理工大学学报 Journal of NanjingUniversity of Science and Technology Vo. l 31 No . 3 June 2007 收稿日期: 2005- 09 - 23 修回日期: 2007 - 04 -08 基金项目: 国家教育部归国留学人员基金; 国家劳动人事部归国留学人员基金 作者简介: 许景波(1973 -), 男, 黑龙江齐齐哈尔人, 博士生 , 主要研究方向: 信号处理理论与应用, E- mail:hitxjb 126. com; 通讯作者: 袁怡宝(1964 -), 男, 教授, 博士生导师, 主要研究方向: 表面计量学、微形状计 量学、纳米计量学及其应用等, E- mail:yibaoyuan sohu. com。 圆度测量中的高斯滤波快速算法 许景波,袁怡宝 (哈尔滨工业大学 自动化测试与控制系, 黑龙江 哈尔滨 150001) 摘 要 : 文中用逼近法和双线性变换法, 设计了用于圆度测量的高斯数字逼近滤波器 ,并给出了 零相移的递归滤波算法,计算量小,计算效率高, 易于实现 。增加逼近滤波器节数, 可以提高滤 波精度 , 8节高斯逼近滤波器的幅度传输特性偏差小于 2%。用于圆度测量的高斯数字滤波算 法还有效地解决了滤波的边缘效应问题 。 关键词 : 高斯滤波 ; 圆度测量; 逼近法 ; 边缘效应 中图分类号 : TG 834 文章编号 : 1005 - 9830(2007)03- 0342 -04 FastGaussian Filtering Algorithm forRoundnessM easurements XU Jing- bo, YUAN Yi- bao ( Depart ment ofAutomationMeasurement and Control, Harbin Institute of Technology, Harbin 150001, China) Abstract: A seriesofGaussian digital approxi mation filtersused in roundnessmeasurementwere de- signed on the basis of approximation method and bilinear transfor mation . The zero- phase- shift recur- sive Gaussian filtering algorith m has a small nu mber of computation operations,therefore it is effi- cient and easy to realize . The filtering accuracy can be i mproved w ith the increase of the orders of approxi m ation filter . The a mplitude transm ission characteristic deviation of the eight- orderGaussian digital approximation filterwithout the edge effects is less than 2%. The algorithm effectively solves the edge effects of the filter . Key words: Gaussian filtering;roundnessmeasurement;approximation method;edge effects 用圆度仪测量圆度时, 必须滤除测量信号中 含有的表面粗糙度信号和电噪声信号 ( 如振动和 电子噪声)。滤波以后的圆轮廓信号才能用于圆 度评定 。所以滤波器是圆度测量系统的一个关键 组成部分,它的性能直接影响圆度测量的精度 。 早期圆度测量系统中使用的模拟 RC或 2RC 滤波器 ,其非线性相位特性会导致滤波后的圆轮 廓形状严重扭曲 ,因此模拟 RC或 2RC滤波器现 已基本停止使用 。Whitehouse提出了相位校正滤 波技术 ,它不仅可以应用于表面测量系统 ,而且还 可应用于圆度测量中 。在此基础上发展起来的相 位校正 2RC 滤波器, 解决了非线性相位特性问 总第 154期许景波 袁怡宝 圆度测量中的高斯滤波快速算法 题 。然而相位校正 2RC滤波器 ,其幅度传输特性 过渡带较宽 ,截止特性较差。高斯滤波器具有优 良的时频特性,国际标准 ISO11562已明确规定将 高斯滤波器用作表面粗糙度测量的中线滤波器, 取代旧的 2RC标准滤波器 。很自然地, 国际上正 在积极考虑将高斯滤波器作为圆度测量的一个新 的标准滤波器。德国国家物理研究院已经采用了 这一新方法 。 本文讨论高斯滤波器的基本特性, 逼近实现 方法, 及其在圆度测量中的快速算法 ,并解决数字 滤波的边缘效应问题 。 1 高斯滤波器的基本特性 ISO11562标准规定高斯滤波器的权函数, 即 冲激响应为 1 h(t)= 1 c e - ( t c)2 (1) 式中: t为空间域变量, c是截止波长, 是一个 常量, 当 =c时 , 要求高斯滤波器的传输值为 50%,所以 = 0 . 469 7。 高斯滤波器的傅立叶变换仍然是高斯函数 , H(/c)=e -( c)2 (2) 在文献 2, 3中分析了高斯滤波器的幅频特性和 相频特性, 并与相位校正 2RC滤波器作了比较, 高斯滤波器具有更好的幅频截止特性 ,更高的信 噪比, 并且本身具有零相移的特性,这些都优于相 位校正 2RC 滤波器, 更适于圆度测量的滤波之 用 ,本文不再赘述 。下面将从时频特性的角度来 说明高斯滤波器更适于圆度测量应用 。 理想的信号传输响应应该是系统的输入波形 与输出波形一致 。然而对于具有频率衰减的滤波 器 ,它的本质特性就是选频特性 ,不可能有如此理 想的传输响应 。滤波器带宽越窄 , 信号波形将越 失真。就传输响应而言, 一个优化的滤波器其幅 频响应频差与波形失真的积应为最小 。 设一个滤波器的时域响应为 x(t), 幅频响应 为 X( ), 其波形失真可以由时域响应时差即它 的均方值表示 (t) 2 = - t 2 x(t) 2 dt - x(t) 2 dt (3) 幅频响应频差同样由它的均方值表示 , ( ) 2 = - 2 X( ) 2 d - X( ) 2 d (4) 只有它们的积为最小时 , 才是传输响应意义 上的最优滤波器 。 t = Pm in(5) Gabor已经证明了只有高斯滤波器才是这一意义 上的最优滤波器 4 ,并且其时差与频差积为 0 . 5。 圆度测量信号是周期信号 ,其可分解为 z( )= R0+ n i = 1 (aicosi + bisini )+ ( ) (6) 式中: R0为名义半径 ; ai, bi为各次谐波的系数; ( ) 当 n取足够大时为极小值。高频信号代表 粗糙度或噪声,必须滤除掉 。圆度误差评定,就是 要计算出圆度一周轮廓的最大峰谷偏差, 所以滤 波器的信号传输响应对圆度测量来说很重要。高 斯滤波器正是这一意义上的最优滤波器, 非常适 于圆度测量 。同时 ,它的冲激响应和阶跃响应都 没有过冲,这一点对圆度测量来说也很重要。 2 高斯滤波器的逼近实现方法 对于高斯滤波器有很多实现方法, 其中以逼 近方法最为有效。根据中心极限定理 5 , 对于高 斯函数的逼近函数 ,其时域冲激响应的自卷积是 高斯函数的一个更好的逼近, 当自卷积的次数不 断增加时,卷积结果最终就是高斯函数 。由卷积 定理可知,时域自卷积等效于频域自相乘 ,当自相 乘的次数增加时, 相乘结果亦必是高斯函数。总 之 ,频域自相乘或时域自卷积的最终结果都趋于 高斯函数的形式。根据这一规律 , 就可以用低阶 的高斯逼近函数来设计 IIR型数字滤波器, 然后 通过时域自卷积 、频域自相乘来实现高斯滤波特 性 。选取 H1(/c)= 1 1 + 1(/c) 2(7) 作为 H(/c) 的一个逼近函数, 那么式 (7) 通过 频域自相乘 ,可以构造一系列的逼近滤波器 H2(/c)= 1 1+ 2(/c) 2 2 (8) H3(/c)= 1 1+ 3(/c) 2 4 (9) H4(/ c)= 1 1+ 4(/c) 2 8 (10) 343 南 京 理 工 大 学 学 报第 31卷第 3期 H5(/c)= 1 1+ 5(/c) 2 16 (11) 因为 = c时的滤波器传输值为 50%,所以 1= 1, 2= 0 . 414 2, 3= 0 . 189 2, 4=0 . 090 5, 5= 0.044 3。它们的幅度传输特性 HA如图 1所示。 图 1 高斯及其逼近滤波器幅度传输特性 从图中可以看出 ,随着逼近节次的增加,逼近 精度将提高 ,最终实现高斯滤波器的幅频特性 。 这里以逼近滤波器 H4为例来说明问题。它 由 8个基本环节级联而成。每个基本环节如下 A4(/c)= 1 1 + 4(/c) 2(12) 实质上 ,这是一阶巴特沃思低通滤波器的幅度平 方函数 。将模拟滤波器幅度平方的如下关系 A4(/c)=| Ha4(j )| 2 = Ha4(j )Ha4(- j ), s=j 代入式 (12),则有 A4(- s 2 )= Ha4(s) Ha4(- s)= 1 1 - (4/ 2 c)s 2 (13) 其在 S 平 面的 左半 平面只 有一 个极点 , s = - c/ 4,由此可得巴特沃思滤波器系统函数为 Ha4(s)= 1 4 c s+ 1 4 c (14) Ha4即为设计高斯逼近滤波器 H4的模拟滤波器 原型。 3 高斯数字滤波算法 对式 (14) 应用双线性变换法设计数字滤波 器,即将 s= c 1 -z -1 1+ z -1, c = ccot c 2代入,得到 Hd(z) Hd(z)= b (1 + z -1 ) 1 -(1 - 2b) z - 1 (15) 式中: b = tanc/2 0 . 3 +tanc/2, 用圆度测量中的波数表 示 ,即 b = tankcM / 0 . 3 +tankcM / , kc为与 c对应的截止 波数,M 为圆度一周均匀采样点数 。 同样可得 Ha4(- s) 对应的 z变换如下 Hd(z -1 )= b (1 + z) 1 -(1- 2b) z (16) 由 Hd( z),Hd(z -1 ) 构成的零相移数字滤波器, 其 幅度传输特性如下 Hd(e j2k M ) 2 = b 2 (1 + cos 2k M ) b 2 + (b - 1) 2 - (1 -2b)cos 2k M k为波数。 这样的零相移数字滤波器经 8级级联后就可 得到高斯逼近滤波器 ,幅度传输特性为 Hd8(k)=Hd(e j2k M ) 16 其与理论高斯滤波器的幅度特性偏差小于 2%。 设截止波数为 50 upr, 高斯逼近滤波器与相位校 正 2RC滤波器对数幅度传输特性 20lg HA的比较 如图 2所示 。 图 2 高斯逼近滤波器与相位校正 2RC 滤波器幅度传输特性比较 从图中可以看出高斯逼近滤波器比相位校正 2RC滤波器有更好的幅频截止特性 。 由式(15)、(16) 可以得到零相移递归滤波算 法 ,设圆度测量信号为 y(i), m (i) 为中间计算结 果 , s(i)为零相移滤波输出结果 。则差分方程 如下 m(i)= b r(i)+ r(i - 1) + (1 - 2b) m(i -1) s( M - i)= bm( M - i)+ m ( M - i + 1) + (1 -2b)s( M - i + 1) 式中 i = 1M。 对于上式,如果输入为一半径常量,那么输出 也为与输入相等的半径常量, 所以不存在基本偏 差 。如此的递归运算经过 8次循环就可以以较高 的精度逼近实现高斯滤波算法。同理对于其它节 次逼近滤波器,该方法也同样适用。整个计算过程 344 总第 154期许景波 袁怡宝 圆度测量中的高斯滤波快速算法 由简单的加、 减运算和乘法运算组成,计算效率高。 4 圆度测量中应用 数字滤波器对有限长序列的信号进行滤波存 在着边缘效应问题 ,即滤波后首尾两端的数据存 在失真 ,所以不能作为有效滤波输出 。 在圆度测量中, 整个一周的数据必须都进行 滤波, 其输出结果才能进行圆度误差评定。由于 圆度测量数据的周期封闭性, 采用如下的过程进 行处理 ,可以消除边缘效应的影响。如图 3所示, 首尾两端各取 Nc( Nc为截止波数内的采样点数 ) 个采样点作为边缘效应区间。 图 3 消除边界效应方法 对一圆周的采样数据分两次滤波, 第一次滤 波去除首尾 2Nc个采样点 ,保留剩下的( M -2Nc) 个滤波数据 。第二次滤波改变起始点位置, 与第 一次滤波起始点位置相距 2 Nc个采样点作为起始 点 ,进行滤波 ,滤波后取与第一次滤波首尾 2Nc个 点位置相对的点的数据作为第二次滤波输出, 与 第一次滤波输出合并, 得到整个圆周采样数据的 滤波输出。 对一个模拟圆度信号进行滤波, 一周轮廓包 括 600个采样点 ,利用上述高斯逼近滤波器和边 缘效应处理方法 ,截止波数 50 upr, 在当今最普通 的计算机上完成只需 0 . 2 s。其结果如图 4所示 。 从图中可以看出, 高斯逼近滤波器具有零相 移的特性, 滤波后的数据能反映出圆度的形位特 征 ,这说明该方法是有效的。逼近节次的增加可 以使滤波精度更高。 图 4 模拟圆度轮廓滤波 5 结束语 高斯滤波器比相位校正 2RC 滤波器具有更 好的幅频特性和时频特性, 更适于作为一个标准 滤波器 ,用于圆度测量滤波。高斯滤波器的设计 和实现比较困难 , 逼近方法很好地解决了这一问 题 ,逼近节次越高, 滤波精度越高, 这为高斯滤波 器的实际应用创造了条件 。本文由逼近方法得到 的高斯滤波快速算法已成功地应用于圆度测量 中 , 并且解决了数字滤波算法的边缘效应问题。 该方法精度高、 效率高 、 有实用价值 。 参考文献: 1 ISO11562 - 1996, Geometrical product sp