考研高数总结

1 / 73 考研高数总结 一、函数、极限、连续 函数 1、 分段函数 讨论 y=f 在分段点处的极限、连续、导数等问题时，必须分别先讨论左、右极限，左、右连续性和左、右导数，需要强调：分段函数不是初等函数，不能用初等函数在定义域内皆连续这个定理。 Eg： f(x)=|x|; 和符号函数 f(x)=sgn x; 两个都是分段函数。 2、 隐函数 由方程 F=0确定 y=y称为隐函数，有些隐函数可以化为显函数，有的不可以化。 3、 反函数 只讨论单值函数。 2 / 73 4、 区分基本初等函数和初等函数 (1) 基本初等 函数：常值函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函 数；他们的概念、性质、图像意义深远，如利用图像求极限 (2) 初等函数：由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步 骤所构成并可用一个式子表示的函数，称为初等函数。 Eg：分段函数不是初等函数。 5、复合函数 6、考研数学中常出现的非初等函数 (1)用极限表示的函数 y?limfn(x) n? y?limf(t,x) 3 / 73 t?x (2)用变上、下限积分表示的函数 y? ? x f(x)dt,其中 f(t)连续，则 dy ?f(x) dx dy? ?f?2(x)?(x)?f?(x)?(x)112 dx y? 4 / 73 ?2(x) ?1(x) f(t)dt,其中 ?， ?可导， f(t)连续，则 7、函数的几种性质 有界性； 奇偶性； 单调性：区分单调增加 ，单 调不减；单调减少，单调不增。 周期性 ;f(x?T)?f(x)，一般把最小正周期称为周期。 例题： 1、函数的定义域 求 y?x?x? 1 的定义域 5 / 73 ln|x?5| 定义域为 ?0?1,4)?(4,5)?(5,6)?(6,?) 设 f 的定义域为 -a， a,求 f(x?1)的定义域。 2 解 ： 要 求 ?a?x2?1?a, 则 1?a?x2?1?a 当 a?1时， ?1?a?0,?x2?1?a ，则 |x|?a 当 0?a?1 时，1?a?0,?a?|x|?a-a?x?a或 -?a?x?-a 2、函数的值域 有时直接不好求时，运用反函数的定义域即是原函数的值域！ 分段函数求值域 和反函数时，要一段一段地考虑去求。 3.求复合函数有关表达式 已知 f 和 g，求 fg(x) eg：设 f(x)? x?x 6 / 73 2 ,求 ff(.f(x)?fn(x) f(x)?f2(x) ? x?2x2 x 解： f2(x)?ff(x)? x x2x若 fk?x?,则 fk?1(x)?/? 21?kx2?kx2?kx2?(k?1)x2?fk(x) fk(x) 7 / 73 根据数学归纳法可知，对正整数 n， fn?x? x?nx 2 。 (2) 已知 g(x) 和 fg(x) ，求f-换元法 eg:已知 f?(ex)?xe?x，且 f(1)?0，求 f(x)解：令 ex?t,x?lnt,因此 f?(ex)?f?(t)? x lnt ， t lnt12x12 8 / 73 f(x)?f(1)?dt?lnt|1?lnx 1t22 1 ?f(1)?0,?f(x)?ln2x?先求导函数，再运用积分，求出原函数。 2(3)已知 f(x)和 fg(x)，求 g(x) eg:已知 f(x)?ln(x?1),fg(x)?x,求 g(x)解 :g(x)?f?1x实际上为求反函数问题 fg(x)?ln1?g(x)?x?g(x)?ex?1 有关复合函数方程 -换元法的灵活应用 4、有关四种性质 设 F?(x)?f(x),若 f(x)为奇函数，则 F(x)为偶函数。 证明： F(x)?F(0)?f(t)dt,f 为奇函数 x 9 / 73 F(?x)?F(0)? ?x f(t)dt?F(0)?f(?u)d(?u)?F(0)?f(u)du?F(x) xx F(x)为偶函数。 -运用牛顿 -莱布尼茨公式和运算过程中换元。 求定积分时，函数奇偶性的应用： 必须记住的公式： ?f(x)dx?a a -，当 f(x)为奇函数 2?f(x)dx，当 f(x)为偶函数 0a 10 / 73 极限 1、性质： (1)唯一性 ： 设 limf(x)?A,limf(x)?B,则 A?B (2)不等式性质：设 limf(x)?A,limg(x)?B 若 x 变化一定以后，总有 f(x)?g(x),则 A?B 反之， A?B,则 x变化一定以后，有 f(x)?g(x) (注：当 g(x)?0,B?0 情形也称为极限的保号性 ) 若变量 f(x)?0,只能保证极限 ?(如 1/n 的极限 ) 值 0，而不能保证 ?恒 0。 (3) 局部有界性：设 limf(x)?A，则 x 当变化一定以后， f(x) 是 有 界 的 。 (4) 运 算 法 则 ： 设limf(x)?A,limg(x)?B 则 (1)limf(x)?g(x)?A?B(2)limf(x)?g(x)?A?B (3)limf(x)?g(x)?A?B 11 / 73 (4)lim f(x)A ?(B?0)g(x)B (5)limf(x)g(x)?AB(A?0) 2、无穷小与大 (1)若 limf(x)?0，则称 f(x)为无穷小。 x 数列的极限， x?时 ,为无穷小；函数的极限，只有当自变量取某种极限状态时，函数的极限等于 0，它称为无穷小。 任给 M?0，当 x 变化一定以后，总有 |f(x)|?M,则称 f(x)为无穷大。 记以 limf(x)? 无穷小与无穷大的关系 12 / 73 无 穷 小 与 极 限 的 关 系 ： limf(x)?A?f(x)?A?(x) 其中lim?(x)?0 两个无穷小的比较： lim f(x) ?l，若 l?0，则 f(x)是比 g(x)高阶的无穷小， g(x) 记为 f(x)?og(x)； g是比 f低阶的无穷小。同阶、等价 常见的等价无穷小： f(x)g(x) x1 ?1?cosxx2,22 ex?1x,ln(1?x)x,(1?x)?1?x ； f(x)?0 时，1?f(x)?1?f(x) 。 x?0 时，13 / 73 sinxx,tanxx,arctanxx,arcsinxx,2sin2 无穷小的重要性质：有界变量乘无穷小仍是无穷小。 3、求极限的方法 利用极限的四 则运算和幂指数运算法则 两个准则 准则 1、单调有界数列极限一定存在 若 xn?1?xn(n 为正整数 )又 xn?m(n 为正整数 )则 limxn?A 存在，且 A?m n? 若 xn?1?xn(n 为正整数 )又 xn?M(n 为正整数 )则 limxn?A 存在，且 A?M n? 准则 2、设 g(x)?f(x)?h(x) 14 / 73 若 limg(x)?A,limh(x)?A,则 limf(x)?A (3) 两个重要极限 公式 1、 lim sinx ?1 x?0x 1 x 1 公式 2、 lim(1?)x?lim(1?x)?e x?x?0x 15 / 73 用无穷小重要性质和等价无穷小代换 (见上面 ) 用泰勒公式 x2xn 当 x?0时， e?1?x?o(xn) 2!n! x3x5x2n?1n ?(?1)?o(x2n?1) sinx?x? 3!5!(2n?1)! x x2x4xnn cosx?1?(?1)?o(x2n) 16 / 73 2!4!(2n)! n x2x3n?1xln(1?x)?x?(?1)?o(xn)23n 2n?1 x3x5n?1x arctanx?x? ?(?1)?o(x2n?1)352n?1?(?1)2?(?1)?(n?1)n (1?x)?1?x?x?x?o(xn) 2!n! 洛必达法则 法则 1、设 0 ?1?limf(x)?0,limg(x)?0 17 / 73 ?2?x变化过程中， f?(x),g?(x)皆存在 f?(x)f(x) ?A(或 ?)则 lim?A(或 ?) ?3?lim g?(x)g(x) f?(x)f(x) ? 法则 2、设 ? ?1?limf(x)?,limg(x)? ?2?x变化过程中， f?(x),g?(x)皆存在 ?3?lim f?(x)f(x) 18 / 73 ?A(或 ?)则 lim?A(或 ?)g?(x)g(x) 利用导数定义求极限 基本公式： lim ?x?0 f(x0?x)?f(x0) ?f?(x0)如果存在 ?x 利用定积分定义求极限 11nk 基本公式： lim?f()?f(x)dx如果存在 函数连续的前提下 0n?nnk?1 19 / 73 其他综合方法 求极限的反问题有关方法 例题： 1、通过各种基本技巧化简后直接求出极限 提取相同因子，变成相似的分子与分母，再求。 等差数列： an?a1?(n?1)d； sn? n(a1?an)n(n?1)d ?na1? 22 1， q?1nn?1 等比数列： an?a1q； sna1(1?q)， q?1 1?q 20 / 73 考研数学讲座 考好数学的基点 “ 木桶原理 ” 已经广为人所知晓。但真要在做件事时找到自身的短处，下意识地有针对性地采取措施，以求得满意的结果。实在是一件不容易的事。 非数学专业的本科学生与数学专业的学生的最基本差别，在于概念意识。 数学科学从最严密的定义出发，在准确的概念与严密的逻辑基础上层层叠叠，不断在深度与广度上发展。形成一棵参天大树。 在高等数学中，出发点处就有函数，极限，连续，可导，可微等重要概念。 在线性代数的第一知识板块中，最核心的概念是矩阵的秩。而第二知识板块中，则是矩阵的特征值与特征向量。 在概率统计中，第一重要的概念是分布函数。不过，概率不是第一层次基础课程。学习概率需要学生有较好的高等数学基础。 21 / 73 非 数学专业的本科学生大多没有概念意识，记不住概念。更不会从概念出发分析解决问题。基础层次的概念不熟，下一层次就云里雾里了。这是感到数学难学的关键。 大学数学教学目的，通常只是为了满足相关本科专业的需要。教师们在授课时往往不会太重视，而且也没时间来进行概念训练。 考研数学目的在于选拔，考 题中基本概念与基本方法并重。这正好击中考生的软肋。在考研指导课上，往往会有学生莫名惊诧， “ 大一那会儿学的不一样。 ” 原因就在于学过的概念早忘完了。 做考研数学复习，首先要在基本概念与基本运算上下足功夫。 按考试时间与分值来匹配，一个 4 分的选择题平均只有 5 分钟时间。而这些选择题却分别来自 三门数学课程，每个题又至少有两个概念。你可以由此体验选拔考试要求你对概念的熟悉程度。 从牛顿在硕士生二年级的第一篇论文算起，微积分有近四百22 / 73 年历史。文献浩如烟海，知识千锤百炼。非数学专业的本科生们所接触的，只是初等微积分的一少部分。方法十分经典，概念非常重要。学生们要做的是接受，理解，记忆，学会简单推理。当你面对一个题目时，你的自然反应是， “ 这个题目涉及的概念是 - - -” ，而非 “ 在哪儿做过这道 题 ” ，才能算是有点入门了。 你要考得满意吗？基点不在于你看了多少难题，关键在于你是否对基本概念与基本运算非常熟悉。 阳春三月风光好，抓好基础正当时。 考研数学讲座笔下生花 花自红 在爱搞运动的那些年代里，数学工作者们经常受到这样的指责， “ 一支笔，一张纸，一杯茶，鬼画桃符，脱离实际。 ” 发难者不懂基础研究的特点，不懂得考虑数学问题时 “ 写 ”与 “ 思 ” 同步的重要性。 也许是计算机广泛应用的影响，今天的学生们学习数学时，也不太懂得 “ 写 ” 的重要性。 23 / 73 考研的学生们，往往拿着一本厚厚的考研数学指导资料，看题看解看答案或看题想解翻答案。 动笔的时间很少。 数学书不比小说。看数学书和照镜子差不多，镜子一拿走，印象就模糊。 科学的思维是分层次的思维。求解一个数学问题时，你不能企图一眼看清全路程。你只能踏踏实实地考虑如何 迈出第一步。 或 “ 依据已知条件，我首先能得到什么？ ” ； 或 “ 要证明这个结论，就是要证明什么？ ” 。 在很多情形下，写出第一步与不写的感觉是完全不同的。下面是一个简单的例。 “ 连续函数与不连续函数的和会怎样？ ” 写成 “ 连续 A + 不连续 B = ？ ” 后就可能想到，只有两个24 / 73 答案，分别填出来再说。 如果， “ 连续 A + 不连续 B = 连续 C” 移项，则 “ 连续C 连续 A = 不连续 B” 这与定理矛盾。所以有结论： 连续函数与不连续函数的和一定不连续。 有相当一些数学定义，比如 “ 函数在一点可导 ” ，其中包含有计算式。能否掌握并运用这些定义，关键就在于 是否把定义算式写得滚瓜烂熟。比如， 题面上有已知条件 f (1) 0，概念深，写得熟的人立刻就会先写出 h 趋于 0时， lim( f(1+h) f(1） )/h 0 然后由此自然会联想到，下一步该运用极限的性质来推理。而写 不出的人就抓瞎了。 又比如线性代数中特征值与特征向量有定义式 25 / 73 A= ， 0 ，要是移项写成 = 0 ， 0 ， 这就表示 是齐次线性方程组 X = 0 的非零 解，进而由理论得到算法。 数学思维的特点之一是 “ 发散性 ” 。一个数学表达式可能有几个转换方式，也许从其中一个方式会得到一个 新的解释，这个解释将导引我们迈出下一步。 车到山 前自有路，你得把车先推到山前啊。望山跑死马。思考一步写一步，观测分析迈下步。路只能一 步步走。陈景润那篇名扬世界的 “1+2” 论文中有 28个 “ 引理 ” ，那就是他艰难地走向辉煌的 28步。 对于很多考生来说，不熟悉基本计算是他们思考问题的又一大障碍。 高等数学感觉不好的考生，第一原因多半是不会或不熟26 / 73 悉求导运算。求导运算差，讨论函数的图形特征， 积分，解微分方程等，反应必然都慢。 线性代数中矩阵的乘法与矩阵乘积的多种分块表达形式，那是学好线性代数的诀窍 。好些看似很难的问题， 选择一个分块变形就明白了。 概率统计中，要熟练地运用二重积分来计算二维连续型随机变量的各类问题。对于考数学三的同学来说， 二重积分又是高等数 学部分年年必考的内容。掌握了二重积分，就能在两类大题上得分。 要考研吗，要去听指导课吗，一定要自己先动笔，尽可能地把基本计算练一练。 我一直向考生建议，临近考试的一段时间里，不仿多自我模拟考试。在限定的考试时间内作某年研考的全巻。中途不翻书，不查阅，凭已有能力做到底。看看成绩多少。 不要以为你已经看过这些试卷了。就算你知道题该怎么做， 27 / 73 你一写出来也可能会面目全非。 多动笔啊， “ 写 ”“ 思 ” 同步步履轻，笔下生花花自红。 考研数学讲座极限概念要体 极限概念是微积分的起点。说起极限概念的历史，学数学的都多少颇为伤感。 很久很久以前 ，西出阳关无踪影的老子就体验到， “ 一尺之竿，日取其半，万世不竭。 ” 近两千年前，祖氏父子分别用园的内接正 6n 边形周长替带园周长以计算园周率；用分割曲边梯形为 n个窄曲边梯形，进而把窄曲边梯形看成矩形来计算其面积。他们都体验到，“ 割而又割，即将 n 取得越来越大，就能得到越来越精确的园周率值或面积。 ” 国人朴实的体验延续了一千多年，最终没有思维升华得到极限概念。而牛顿就在这一点上率先突破。 28 / 73 极限概念起自于对 “ 过程 ” 的观察。极限概念显示着过程中两个变量发展趋势的关联。自变量的变化趋势分为两类，一类是 x x0 ；一类是 x ， “ 当自变量有一个特定的发展趋势时，相应的函 数值是否无限接近于一个确定的数 a ？ ” 如果是，则称数 a为函数的极限。 “ 无限接近 ” 还不是严密的数学语言。但这是理解极限定义的第一步，最直观的一步。 学习极限概念，首先要学会观察，了解过程中的变量有无一定的发展趋势。学习体验相应的发展趋势。其次才是计算或讨论极限值。 自然数列有无限增大的变化趋势。按照游戏规则，我们还是说自然数列没有极限。 自然数 n 趋于无穷时，数列 1/n的极限是 0； x趋于无穷时，函数 1/x 的极限是 0； 回顾我们最熟悉的基本初等函数，最直 观的体验判断是， 29 / 73 x 趋于正无穷时，正指数的幂函数都与自然数列一样，无限增大，没有极限。 x 趋于正无穷时，底数大于 1 的指数函数都无限增大，没有极限。 x 0+ 时，对数函 数 lnx 趋于 ； x 趋于正无穷时， lnx无限增大，没有极限。 x 时，正弦 sinx与余弦 conx 都周而复始，没有极限。在物理学中，正弦 y = sinx的图形是典型的波动。 我国高等数学教科书上普遍都选用了 “ 震荡因子 ”sin 。当 x 趋于 0 时它没有极限的原因是震荡。具体想来，当 x由变为时，只向中心点 x = 0 靠近了一点点，而正弦 sinu却完成了 140多个周期。函数的图形在 +1与 1 之间 上下波动 140多次。在 x = 0 的邻近，函数各周期的图形紧紧地 “ 挤 ” 在一起，就好象是 “ 电子云 ” 。 当年我研究美国各大学的高等数学教材时，曾看到有的教材竟然把函数 y = sin 的值整整印了一大页，他们就是要让学生更具体地体验它的数值变化。 30 / 73 x 趋于 0 时 sin 不是无穷大，直观地说就是 函数值震荡而没有确定的发展趋势。 1/x 为虎作伥，让震荡要多疯狂有多疯狂。 更深入一步，你就得体验，在同一个过程中，如果有多个变量趋于 0，就可能有的函数趋于 0 时 “ 跑得更快 ” 。这就是高阶，低阶概念。 考研数学还要要求学生对极限有更深刻的体验。 多少代人的千锤百炼，给微积分铸就了自己的倚天剑。这就是一套精密的极限语言，。没有这套语言，我们没有办法给出极限定义，也无法严密证明任何一个极限问题。但是，这套语言是高等微积分的内容，非数学专业的本科学生很难搞懂。数十年来，考研试卷上都没有出现过要运用 语言的题目。 研究生入学考题中，考试中心往往用更深刻的体验来考查极限概念。这就是 “ 若 x趋于 时，相应函数值 f有正的极限 总有 f 0 ” 31 / 73 *“ 若 x 趋于 x0 时，相应函数值 f 有正的极限，则在 x0 的一个适当小的去心邻域内， f恒正 ” 这是已知函数的极 限而回头观察。逆向思维总是更加困难。不过，这不正和 “ 近朱者赤，近墨者黑 ” 一个道理吗。 除了上述苻号体验外，能掌握下边简单的数值体验则更好。 若 x 趋于无穷时，函数的极限为 0，则 x 的绝对值充分大时，(你不仿设定一点 x0，当 x x0 时， ) 函数的绝对值恒小于 1 ，则当 x 充分大时， (你不仿设定一点 x0，当 x x0时， ) 若 x 趋于无穷时，函数为无穷大，则 x的绝对值充分大时，( 你不仿设定一点 x0 ， 当 x x0时， ) 函数的绝对值全大于 1 *若 x 趋于 0 时，函数的极限为 0，则在 0的某个适当小的去心邻域内，或 x的绝对值充分小时，函数的绝对值全小于 1 没有什么好解释的了，你得反复领会极限概念中 “ 无限接32 / 73 近 ” 的意义。 你可以试着理解那些客观存在，可以自由设定的点 x0，或充分小的数 0，并利用它们。 考研数学讲座 “ 存在 ” 与否全面看 定义，是数学的基本游戏规则。所有的定义条件都是充分必要条件。 即便有了定义，为了方便起见，数学工作者们通常会不遗余力地去寻觅既与定义等价，又更好运用的描述方式。讨论极限的存在性 ，就有如下三个常用的等价条件。 1 海涅定理 观察 x 趋于 x0 的过程时，我们并不追溯 x 从哪里出发；也没有考虑它究竟以怎样的方式无限靠近 ；我们总是向未来，看发展。因而最直观的等价条件就是海涅定理： 定理 极限存在的充分必要条件是，无论 x 以何种方式趋于x0 ，相应的函数值总有相同的极限 A 存在。 这个定理条件的 “ 充分性 ” 没有实用价值。事实上我们不可能穷尽 x 逼近 x0 的所有方式。很多教科书都没有点出这一定理，只是把33 / 73 它的 “ 必要性 ” 独立成为极限的一条重要性质。即唯一性定理： “ 如果函数有极限存在，则极限唯一。 ” 唯一性定理的基本应用之一，是证明某个极限不存在。 2用左右极限来描述的等价条件 用 语言可以证得一个最好用也最常用的等价条件： 定理 极限存在的充分必要条件为左、右极限存在且相等。 这是在三类考研试题中出现概率都为 1的考点。考研数学年年考连续定义，导数定义。本质上就是考查极限存在性。这是因为 函数在一点连续，等价于函数在此点左连续，右连续。 函数在一点可导，等价于函数在此点的左、右导数存在且相等。 34 / 73 由于初等函数有较好的分析性质。考题往往会落实到分段函数的定义分界点或特殊定义点上。考生一定要对分段函数敏感，一定要学会在特殊点的两側分别考察函数的左右极限。 突出极限值的等价条件 考数学一，二的考生，还要知道另一个等价条件： 定理 函数 f在某一过程中有极限 A存在的充分必要条件是，f A为无穷小。 从 “ 距离 ” 的角度来理解，在某 一过程中函数 f与数 A无限接近，自然等价于函数值 f与数 A 的距离 f A 无限接近于 0 如果记 = f A，在定理条件下得到一个很有用的描述形式转换： f= A + 考研题目经常以下面三个特殊的 “ 不存在 ” 为素材。 “ 存在 ” 与否全面看。有利于我们理解前述等价条件。我 用 exp35 / 73 表示以 e 为底数的指数函数，内填指数。 例 1 x 趋于 0时，函数 exp 不存在极限。 分析 在原点 x = 0 的左侧， x恒负，在原点右侧， x 恒正。所以 x 从左侧趋于 0 时，指数 1/x 始终是负数，故左极限 f= 0 ， x 从右侧趋于 0 时，函数趋向 + ， 由定理，函数不存在极限。也不能说， x 趋于 0 时， exp是无穷大 但是，在这种情形下，函数图形在点 x = 0有竖直渐近线 x = 0 例 2 x 趋 于 0时， “ 震荡因子 ”sin 不存在极限。俗称震荡不存在。 分析 用海涅定理证明其等价问题， “x 趋于 + 时， sinx 36 / 73 不存在极限。 ” 分别取 x = n 及 x = 2n 两个数列， n 趋于 + 时，它们都趋于 + ，相应的两列正弦函数值却分别有极限 0 与 1，不满足唯一性定理）。故 sinx不存在极限。 例 3 x 趋于 时，函数 y = arctgx 不存在极限。 分析 把 视为一个虚拟点，用定理。由三角函数知识得， x 趋于 + 时，函 数极限为 /2 ， x 趋于 时，函数极限为 /2 ， 故，函数 y = arctgx 不存在极限。 请注意，证明过程表明，函数 y = arctgx 的图形有两条水平渐近线。即 方向有水平渐近线 y = /2 ； + 方向则有 有 y =/2 例 4 当 x 1 时， 函数 f (x) = (exp (1/(x 1) )( x37 / 73 平方 1)(x 1) 的极限 等于 2 等于 0 为 不存在但不为 分析 考查 x 1 时函数的极限 ，通常认为 x 不取 1 ；而 x1 时，可以约去分母 = 0 ， x 从右侧趋于 1 时，函数趋向 + ， ） 例 5 f=） ） + sinx x , 求 x趋于 0 时函数的极限。 分析 绝对值函数 y = | x | 是典型的分段函数。 x = 0 是其定义分界点。一看就知道必须分左右计算。如果很熟悉 “ 典型不存在 1” ，这个 5 分题用 6 分钟足够了。实际上 x 0 - 时， lim f=/ 1 = 1 x 0+ 时， exp + ，前项的分子分母同除以 exp 再取极限 lim f=/+1 = 1 38 / 73 由定理得 x 0 时 ， lim f= 1 例 6 曲线 y = exp(1/x 平方 ) arctg(x 1)(x+2）的渐近线共有 1 条 2 条。 3条。 4 条。 选 分析 先观察 x趋于 时函数的状态，考查曲线有无水平渐近线；再注意函数结构中，各个因式的分母共有三个零点。即 0， 1 和 2；对于每个零点 x0 ，直线 x = x0 都可能是曲线的竖直渐近线，要逐个取极限来判断。实际上有 x 时， lim y =/4 ， 曲线有水平渐近线 y =/4 其中， x 时， lim exp(1/x 平方 ) = 1 lim(x 1)(x+2） = 1 考查 “ 嫌疑点 ” 1 和 2时，注意运用 “ 典型不存在 3” ， f= e/2 ； f= e/2 ， x = 1 不是曲线的竖直渐39 / 73 近线。 类似可以算得 x = 2 不是曲线的竖直渐近线。 x 0 时，前因式趋向 + ；后因式有极限 arctg， x = 0 是曲线的竖直渐近线。 啊，要想判断准而快，熟记 “ 三个不存在 ” 。看了上面几例，你有体会吗？ 2016考研必备：超经典的考研数学考点与题型归类分析总结 1 高数部分 高数第一章函数、极限、连续 求极限题最常用的解题方向： 1.利用等价无穷小； 2.利用洛必达法则，对于 0?型和 0? 0?0?0?1 型的题目直接用洛必达法则，对于、型的题目则是先转化为型或 0? 40 / 73 x?1、 lim(1?x)x?e、 sinxx?01 型，再使用洛比达法则； 3.利用重要极限，包括 1x(1?limx)?e； 4.夹逼定理。 x?limx?0 高数第二章导数与微分、第三章不定积分、第四章定积分 第二章导数与微分与前面的第一章函数、极限、连续、后面的第三章不定积分、第四章定积分都是基础性知识，一方面有单独出题的情况，如历年真题的填空题第一题常常是求极限；更重要的是在其它题目中需要做大量的灵活运用，故非常有必要打牢基础。 对于第三章不定积分，陈文灯复习指南分类讨论的非常全面，范 围远大于考试可能涉及的范围。在此只提醒一点：不定积分 ?f(x)dx?F(x)?C 中的积分常数 C 容易被忽略，而考试时如果在答案中少写这个 C会失一分。所以可以这样建立起二者之间的联系以加深印象：定积分 41 / 73 是 ?f(x)dx 的结果可以写为 F(x)+1， 1 指的就是那一分，把它折弯后就 ?f(x)dx?F(x)?C 中的那个 C,漏掉了 C 也就漏掉了这 1分。 第四章定积分及广义积分可以看作是对第三章中解不定积分方法的应用，解题的关键除了运用各种积分方法以外还要注意定积分与不定积分的差异 出题人在定积分题目中首先可能在积分上下限上做文章：对于 ?a ?af(x)dx 型定积分，若 af(x)是奇函数则有 2?a ?af(x)dx=0 ；若 f(x) 为偶函数则有 ?f(x)dx=2?f(x)dx；对于 ?f(x)dx 型 ?aa00 积分， f(x)一般含三角函数，此时用 t? 2?x的代换是常用方法。所以解这一部分题的 思路应该是先看是否能从积分上下限中入手，对于对称区间上的积分要同时考虑到利用变量 42 / 73 替换 x=-u和利用性质 ?a ?a 奇函数 ?0 、 ?偶函数 ?2?偶函数。在处理完积分 ?a0aa 上下限的问题后就使用第三章不定积分的套路化方法求解。这种思路对于证明定积分等式的题目也同样有效。 高数第五章中值定理的证明技巧 由本章中值定理的证明技巧讨论一下证明题的应对方法。用以下这组逻辑公式来作模型：假如有逻辑推导公式 A?E、(A?B)?C、 (C?D?E)?F,由这样一组逻辑关系可以构造出若干难易程度不等的证明题，其中一个可以是这样的：条件给出A、 B、 D，求证 F成立。 为了证明 F成立可以从条件、 结论两个方向入手，我们把从条件入手证明称之为正方向，把从结论入手证明称之为反方向。正方向入手时可能遇到的问题有以下几类： 1.已知的逻辑推导公式太多，难以从中找出有用的一个。如对于证明 F成立必备逻辑公式中的 A?E就可能有 A?H、 A?(I?K)、 (A?B) ?M等等公式同时存在，有的逻辑公式看起来最有可能用到，如43 / 73 (A?B) ?M，因为其中涉及了题目所给的 3 个条件中的 2个，但这恰恰走不通； 2.对于解题必须的关键逻辑推导关系不清楚，在该用到的时候想不起来或者弄错。如对于模型中的(A?B) ?C，如果不知道或弄错则 一定无法得出结论。从反方向入手证明时也会遇到同样的问题。 通过对这个模型的分析可以看出，对可用知识点掌握的不牢固、不熟练和无法有效地从众多解题思路中找出答案是我们解决不了证明题的两大原因。 针对以上分析，解证明题时其一要灵活，在一条思路走不通时必须迅速转换思路，而不应该再从头开始反复 地想自己的这条思路是不是哪里出了问题；另外更重要的一点是如何从题目中尽可能多地获取信息。 当我们解证明题遇到困难时，最常见的情况是拿到题莫名其妙，感觉条件与欲证结论简直是风马牛不相及的东西，长时间无法入手；好不容易找到一个大致方向，在做若干步以后却再也无法与结论拉近距离了。从出题人的角度来看，这是因为没能够有效地从条件中获取信息。 “ 尽可能多地从条件中获取信息 ” 是最明显的一条解题思路，同时出题老师 也正是这样安排的，但从题目的 “ 欲证结论 ” 中获取信息有时也44 / 73 非常有效。如在上面提到的模型中，如果做题时一开始就想到了公式 (C?D?E) ?F 再倒推想到 (A?B) ?C、 A?E就可以证明了。 如果把主要靠分析条件入手的证明题叫做 “ 条件启发型 ”的证明题，那么主要靠 “ 倒推结论 ” 入手的 “ 结论启发型 ”证明题在中值定理证明问题中有很典型的表现。其中的规律性很明显，甚至可以以表格的形式表示出来。下表列出了中值 定理证明问题的几种类型： 的条件是一样的，同时 A 也只多了一条 “ 可导性 ” 而已；所以在面对 这一部分的题目时，如果把与证结论与可能用到的几个定理的的结论作一比较，会比从题目条件上挖掘信息更容易找到入手处。故对于本部分的定理如介值、最值、零值、洛尔和拉格朗日中值定理的掌握重点应该放在熟记定理的结论部分上；如果能够做到想到介值定理时就能同时想起结论 “ 存在一个 ?使得 f(?)?k” 、看到题目欲证结论中出现类似 “ 存在一个 ?使得 f(?)?k” 的形式时也能立刻想到介值定理；想到洛尔定理时就能想到式子 f(?)?0；而见到式子f(?)?g(?)f(b)?f(a)g(b)?g(a)也如同见到拉格朗日中值定理一样 ，那么在处理本部分的题目时就会 45 / 73 轻松的多，时常还会收到 “ 豁然开朗 ” 的效果。所以说， “ 牢记定理的结论部分 ” 对作证明题的好处在中值定理的证明问题上体现的最为明显。 综上所述，针对包括中值定理证明在内的证明题的大策略应该是 “ 尽一切可能挖掘题目的信息，不仅仅要从条件上充分考虑，也要重视题目欲 证结论的提示作用，正推和倒推相结合；同时保持清醒理智，降低出错的可能 ” 。希望这些想法对你能有一点启发。不过仅仅弄明白这些离实战要求还差得很远，因为在实战中证明题难就难在答案中用到的变形转换技巧、性质甚至定理我们当时想不到；很多结论、性质和定理自己感觉确实是弄懂了、也差不多记住了，但是在做题时那种没有提示、或者提示很少的条件下还是无法做到灵活运用；这也就是自身感觉与实战要求之间的差别。 这就像在记 英语单词时，看到英语能想到汉语与看到汉语能想到英语的掌握程度是不同的一样，对于考研数学大纲中“ 理解 ” 和 “ 掌握 ” 这两个词的认识其实是在做题的过程中才慢慢清晰的。我们需要做的就是靠足量、高效的练习来透彻掌握定理性质及熟练运用各种变形转换技巧，从而达到大纲的相应要求，提高实战条件下解题的胜算。依我看，最大的技巧就是不依赖技巧，做题的问题必须要靠做题来解46 / 73 决。 高数第六章常微分方程 本章常微分方程部分的结构简单，陈文灯复习指南对一阶微分方程、可降阶的高阶方 程、高阶方程都列出了方程类型与解法对应的表格。历年真题中对于一阶微分方程和可降阶方程至少是以小题出现的，也经常以大题的形式出现，一般是通过函数在某点处的切线、法线、积分方程等问题来引出；从历年考察情况和大纲要求来看，高阶部分不太可能考大题，而且考察到的类型一般都不是很复杂。 对于本章的题目，第一步应该是辨明类 型，实践证明这是必须放在第一位的；分清类型以后按照对应的求解方法按部就班求解即可。这是因为其实并非所有的微分方程都是可解的，在大学高等数学中只讨论了有限的可解类型，所以出题的灵活度有限，很难将不同的知识点紧密结合或是灵活转换。这样的知识点特点就决定了我们可以采取相对机械的“ 辨明类型 套用对应方法求解 ” 的套路 ，而且各种类型的求解方法正好也都是格式化的，便于以这样的方式使47 / 73 用。 先讨论一下一阶方 程部分。这一部分结构清晰，对于各种方程的通式必须牢记，还要能够对易混淆的题目做出准确判断。各种类型都有自己对应的格式化解题方法，这些方法死记硬背并不容易，但有规律可循 这些方法最后的目的都是 统一 的，就是 把以 各种形式 出现 的方程都 化为f(x)dx=f(y)dy 这样的形式，再积分得到答案。对于可分离变量型方程 f1(x)g1(y)dx?f2(x)g2(y)dy?0，就是变形为f1(x)dx=-g2(y)dy，再积分求 f2(x)g1(y) yu?y?f()解；对于齐次方程 x则做变量替换 yx，则 y?化为u?xdu dx，原方程 就可化为关于 u和 x 的可分离变量方程，变形积分即可解；对于一阶线性方程 第一步先求 y?p(x)y?q(x) dy 48 / 73 yy?p(x)y?0 的通解，然后将变形得到的 ?p(x)dx 积分，第二步将通解中的 C 变为 C(x)代入原方程 y?p(x)y?q(x) y?p(x)y?q(x)yn，先做变量代换解出 C(x)后代入即可得解；对于贝努利方程 z?y1?n 代入可得到关于 z、 x 的一阶线性方程，求解以后将z 还原即可；全微分方程 ?xM(x,y)dx+N(x,y)dy 比较特殊，因为其有条件 ?y，而且解题 时直接套用通解公式 ?x x0M(x,y0)dx?yy0N(x,y)dy?C. (n?1)所以，对于一阶方程的解法有规律可循，不用死记硬背步骤和最后结果公式。对于求 (n)?f(x)型方程，就是先把y 解可降阶的高阶方程也有类似的规律。对于 y当作 未知函数 Z，则 y(n)?Z? 原方程就化为 dz?f(x)dx 的一阶49 / 73 方程形式，积 (n?2)(n?3)yy 分即得；再对、依次做上述处理即可求解； y?f(x,y?) 叫不显含 y 的二阶方程，解法是通过变量替换 y?p、 y?p? (p 为 x 的函数 )将原方程化为一阶方程；y?f(y,y?)叫不显含 x的二阶 方程，变量替换也是令 y?p，则 dydp?y?dp?pdydxdy?pp，也可化为一阶形式。 y所以就像在前面解一阶方程部分记 “ 求解齐次方程就用变量替换x?u” ， “ 求解贝 y 的二阶方程就努利方程就用变量替换 z 用变量替换 ?y1?n” 一样，在这里也要记住 “ 求解不显含y?p、 y?p? ” 、 “ 求解不显含 x 的二阶方程就用变量替换 y?p、 y?pp?” 。 大纲对于高阶方程部分的要求不高，只需记住相应的公式即可。其中二阶线性微分方 50 / 73 难办的章节，因为这一章如果有难点的话也仅在于 “ 如何准确无误地记忆各种方程类型及对应解法 ” ，也可以说本章难就难在记忆量大上。 高数第七章一元微积分的应用 本章包括导数应用与定积分应用两部分，其中导数应用在大题中出现较少，而且一般不是题目的考察重点；而定积分的应用在历年真题的大题中经常出现，常与常微分方程结合。 凯程考研 历史悠久，专注考研，科学应试，严格管理，成就学员！ 考研数学：高数重点知识总结 对于重点考查内容要着重复习，凯程考研小编整理了考研数学高数中的重要考点，希望各位考生根据自身实际情况对不 熟悉的知识加以理解、掌握。 1.定义 (传统 )： 51 / 73 如果在某变化过程中有两个变量 x， y 并且对于 x 在某个范围内的每一个确定的值，按照某个对应法则， y 都有唯一确定的值和它对应，那么 y 就是 x 的函数， x 叫做自变量， x的取值范围叫做函数的定义域，和 x 的值对应的 y 的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数 的值域。 2.构成函数的三要素： 定义域，值域，对应法则。 值域可由定义域唯一确定，因此当两个函数的定义域和对应法则相同时，值域一定相同，它们可以视为同一函数。 3.对函数概念的理解： 函数三要素 (1)核心 对应法则等式 y=f(x)表明，对于定义域中的任意 x，在 “ 对应法则 f” 的作用下，即可得到 y.因此， f 是使 “ 对应 ” 得以实现的方法和途 径。是联系 x 与 y 的纽带，从而是函数的核心。对于比较简单的函数，对应法则可以用一个解析式来表示，但在不少较为复杂的问题中，函数的对52 / 73 应法则 f 也可以采用其他方式 (如图表或图象等 )。 (2)定义域定义域是自变量 x 的取值范围，它是函数的一个不可缺少的组成部分，定义域不同而解析式相同的函数，应看作是两个不同的函数。 在中学阶段所研究的函数通常都是能够用解析式表示的。如果没有特别说明，函数的定义域就是指能使 这个式子有意义的所有实数 x 的集合。在实际问题中，还必须考虑自变量所代表的具体的量的允许取值范围问题。 (3)值域值域是全体函数值所组成的集合。在一般情况下，一旦定义域和对应法则确定，函数的值域也就随之确定。因此，判断两个函数是否相同，只要看其定义域与对应法则是否完全相同，若相同就是同一个函数，若定义域和对应法则中有一个不同，就不是同一个函数。 凯程考研 历史悠久，专注考研，科学应试，严格管理，成就学员！ 同一函数概念。构成函数的三要素是定义域，值域和对应法则。而值域可由定义域和对应法则唯一确定，因此当两个函53 / 73 数的定义域和对应法则相同时，它们一定为同一函数。 (4)关于函数符号 y=f(x) 1 、 y=f(x)即 “y 是 x 的函数 ” 这句话的数学表示。仅仅是函数符号，不是表示 “y 等于 f 与 x 的乘积 ” 。 f(x)也不一定是解析式。 2 、 f(x)与 f(a)的区别： f(x)是 x 的函数，在通常情况下，它是一个变量。 f(a)表示自变量 x=a 时所得的 函数值，它是一个常量即是一个数值。 f(a)是 f(x)的一个当 x=a时的特殊值。 3 、如果两个函数的定义域和对应法则相同虽然表示自变量的与函数的字母不相同，那么它们仍然是同一个函数，但是如果定义域与对应法则中至少有一个不相同，那么它们就不是同一个函数。 基础知识是答题的基础，各考研生 一定要把考研数学基础知识掌握牢固，切忌只对难题、偏题进行钻研，浪费的复习其他内容的宝贵时间。祝所有考生都能取得好成绩。 54 / 73 凯程考研： 凯程考研成立于 XX 年，具有悠久的考研辅导历史，国内首家全日制集训机构考研，一直从事高端全日制辅导，由李海洋教授、张鑫教授、卢营教授、王洋教授、杨武金教授、张释然教授、索玉柱教授、方浩教授等一批高级考研教研队伍组成，为学员全程高质量授课、答疑、测试、督导、报考指导、方法指导、联系导师、复试等全方位的考研服务。 凯程考研的宗旨：让学习成为一种习惯； 凯程考研的价值观：凯旋归来，前程万里； 信念：让每个学员都有好最好的归宿； 使命：完善全新的教育模式，做中国最专业的考研辅导机构； 凯程考研 历史悠久， 专注考研，科学应试，严格管理，成就学员！ 激情：永不言弃，乐观向上； 55 / 73 敬业：以专业的态度做非凡的事业； 服务：以学员的前途为已任，为学员提供高效、专业的服务，团队合作，为 学员服务，为学员引路。 特别说明：凯程学员经验谈视频在凯程官方网站有公布，同学们和家长可以查看。扎扎实实的辅导，真真实实的案例，凯程考研的价值观：凯旋归来，前程万里。 如何选择考研辅导班： 在考研准备的过程中，会遇到不少困难，尤其对于跨专业考生的专业课来说，通过报辅导班来弥补自己复习的不足，可以大大提高复习效率，节省复习时间，大家可以通过以下几个方面来考察辅导班，或许能帮你 找到适合你的辅导班。 师资力量：师资力量是考察辅导班的首要因素，考生可以针对辅导名师的辅导年限、辅导经验、历年辅导效果、学员评价等因素进行综合评价，询问往届学长然后选择。判断师资力量关键在于综合实力，因为任何一门课程，都不是由一、两个