初二数学《实数》专讲专练 (第二期)

1 重点中学初二专用教程实数专讲专练重点中学初二专用教程实数专讲专练 专题一 平方根的意义及运算，用计算器求平方根 一、要点回顾 1.算术平方根：一般地，如果一个正数 x 的平方等于 a，即 x2a，那么这个正数 x 就叫做 a 的算术平方根，0 的算术平方根是 0. 2.平方根：一般地，如果一个数 x 的平方等于 a，即 x2a，那么这个数 a 就叫做 x 的平方根，一个正数有两 个平方根，它们互为相反数；0 只有一个平方根，它是 0 本身；负数没有平方根. 3.开平方： 求一个数 a 的平方根的运算， 叫做开平方. 4.平方根的性质：（1） 2 aa，（2） 2 aa(a 为任意实数). 注意点：平方根易错点： （1）平方根与算术平方根 不分，如，64 的平方根为8，易丢掉8，而求为 64 的 算术平方根； （2）4的平方根是2， 误认为4平 方根为2，应知道42. 二、考题解析 例 1（连云港市）如果 2a180，那么 a 的算术平 方根是 . 分析 先求出的 a 值，再求 a 的算术平方根. 例 2（徐州市）4 的平方根是（ ） A.2 B.2 C.2 D.16 分析 找出平方等于 4 的实数即可求解. 例 3（鄂州市）已知 2 1 a a 1 a a ，则 a 的取 值范围是（ ） A.a0 B.a0 C.0a1 D.a0 分析 由 2 aa，而条件中有 2 aa，则表 明 a0，考虑分母不为 0，被开方式应为非负数，于是问 题即求. 三、同步训练 1.49 的平方根是_，算术平方根是_；0 的平方根是_，算术平方根是_. 2.化简：25_， 9 16 _， 121_. 3.一个自然数的算术平方根是 x，则下一个自然数的 算术平方根是（ ） A.x+1 B. x2+1 C.x+1 D. 2 1x 4.一个圆的面积为 2cm2，求这个圆的半径. 5.用电器的电阻 R、 功率 P 与它两端的电压 U 之间有 关系：P 2 U R .有两个外观相同的用电器，甲的电阻为 18.4 欧，乙的电阻为 20.8 欧.现测得某用电器的功率为 1500 瓦，两端电压在 150 伏至 170 伏之间，该用电器到 底是甲还是乙？ 6.八年级（3）班两位同学在打羽毛球，一不小心球 落在离地面高为 6 米的树上.其中一位同学赶快搬来一架 长为 7 米的梯子，架在树干上，梯子底端离树干 2 米远， 另一位同学爬上梯子去拿羽毛球.问这位同学能拿到球 吗? 专题二 立方根的意义及运算，用计算器求立方根 一、要点回顾 1.立方根：一般地，如果一个数 x 的立方等于 a，即 x3a，那么这个数 x 就叫做 a 的立方根（也叫做三次方 根） ，正数的立方根是正数；0 的立方根是 0；负数的立方 根是负数. 2.开立方：求一个数 a 的立方根的运算叫做开立方. 3.立方根的性质： （1） 3 3 aa， （2） 33 aa. 注意点：与平方根不同，负数同样也有立方根. 二、考题解析 例 4（青海省） 1 27 的立方根是 . 分析 由于负数有一个负的立方根，而 1 27 3 1 3 ， 由此可以求解. 例 5（扬州市）估计 68 的立方根的大小在（ ） A.2 与 3 之间 B.3 与 4 之间 C.4 与 5 之间 D.5 与 6 之间 分析 要估计 68 的立方根的大小，只要能知道 68 的上一个数的立方数和下一个数的立方数即可. 三、同步训练 1.8 的立方根与16的平方根的和为（ ） 2 A.2 B.0 C.2或一4 D.0或4 2.若某数的立方根等于这个数的算术平方根， 则这个 数等于（ ） A.0 B.1 C. 1或0 D.0 或 1 3.1 的立方根是_， 1 的立方根是_， 0 的立方根是_；64 的平方根是_，64 的立 方根是_；立方根是本身的数是_. 4. 3 125 _ ， 3 216+ 3 216 _， 3 3 ( 2)_. 5.一个正方体 A 的体积是棱长为 4 厘米的正方体 B 的体积的 1 27 ，这个正方体 A 的棱长是_厘米. 6.（1）已知 yx33，且 y 的算术平方根为 4，求 x. （2）如果 3x+16 的立方根是 4，试求 2x+4 的平方 根. 7.一个长方体的长为 5cm、宽为 2cm、高为 3cm，而 一个正方体的体积是它的 3 倍.求这个正方体的棱长(结果 精确到 0.01cm). 专题三 实数的有关概念 一、要点回顾 1.无理数：无限不循环小数叫做无理数. 2.实数：有理数和无理数统称为实数. 3.实数的分类：实数 有理数 无理数 或 正实数 0 负实数 4.实数和数轴上的点是一一对应的. 注意点：无理数的错误认识： （1）无限小数就是无 理数，这种说法错误，因为无限小数包括无限循环小数和 无限不循环小数两类.如 1.414141(41 无限循环）是无限 循环小数，而不是无理数； （2）带根号的数是无理数，这 种说法错误，如4，25，虽带根号，但开方运算的 结果却是有理数，所以4，25是有理数； （3）两个 无理数的和、差、积、商也还是无理数，这种说法错误， 如5+2，5+2都是无理数，但它们的积却是 有理数，再如 和 5 都是无理数，但 5 却是有理数， 3+1 和3是无理数；但它们的和却是有理数； （4） 无理数是无限不循环小数，所以无法在数轴上表示出来， 这种说法错误，每一个无理数在数轴上都有一个唯一位 置，如3，我们可以用几何作图的方法在数轴上把它找 出来，其他的无理数也是如此； （5）无理数比有理数少， 这种说法错误， 虽然无理数在人们生产和生活中用的少一 些，但并不能说无理数就少一些，实际上，无理数也有无 穷多个. 二、考题解析 例 6（宜昌市）从实数2， 1 3 ，0，4 中， 挑选出的两个数都是无理数的为（ ） A. 1 3 ，0 B.，4 C.2，4 D.2， 分析 首先判断在这些实数中哪些是无理数，然后 再求解. 例 7（自贡市）写出一个有理数和一个无理数，使它 们都是小于1 的数 . 分析 依题意，写出的两个数必须满足：一是一个 是有理数和一个是无理数，二是都是小于1 的数. 例 8（宁波市）比3大的实数是（ ） A.5 B.0 C.3 D.2 分析 30，且342，于是，对照选择 支即可求解. 例 9（盐城市）实数 a 在数轴上对应的点如图所示， 则 a，a，1 的大小关系正确的是（ ） A.aa1 B.aa1 C.1 aa D.a1a 分析 观察数轴我们可以发现 a0，且a1，于 是即可比较. 三、同步训练 1.边长为 4 的正方形的对角线长是（ ） A.整数 B.分数 C.有理数 D.不是有理数 2.在3， 2 2 ，2.4，7四个数中，无理数的 3 个数是（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 3.如图，数轴上表示数3的点是 . 4.你能说明 3 是无理数吗？ 专题四 实数的化简与运算 1.实数的化简： （1）abab(a0，b 0)； （2） a b a b (a0，b0). 2.实数化简最后有结果应满足的条件： （1） 被开方数 的因式是整式或整数； （2）被开方数中不含有能开得尽的 因数或因式. 3.几个含有根号的实数经过化简以后， 如果被开方数 相同，那么这几个化简后的实数就可以合并成一项. 4.实数的乘法、除法： （1）abab (a 0，b0)； （2） a b a b (a0，b0). 注意点： （1）实数相加减，先把各个含有根号的实 数化简， 如果被开方式相同， 就可以象合并同类一样合并， 要防止：该化简的没化简；不该合并的合并；化简 不正确；合并出错.（2）实数的乘法除法常用乘法公式 或除法公式来简化计算，运算结果一定要简洁.（3）在进 行实数的运算时应注意数学中的类比思想的运用，如，计 算(2)220+ 1 1 2 + 3 89时，可以类比有理数 的运算顺序和法则进行计算，所以原式41+223 0. 例 10（中山市）已知等边三角形 ABC 的边长为 3+3，则ABC 的周长是_. 分析 等边三角形的三边长相等，要求此周长，只 需将边长乘以 3，或将三边长相加即得. 例 11（荆门市）计算：(48+ 1 4 12)27 _. 分析 先每一个算术平方根化简，再进行括号里面 的运算，最后做除法运算. 例 12（天津市）若 m404，则估计 m 的值所 在的范围是（ ） A.1m2 B.2m3 C.3m4 D.4m5 分析 要求此解，若能估算出40的范围即可，而 事实上，63640497，由此可以求解. 例 13（烟台市）已知 a5+2，b52，则 22 7ab的值为（ ） A.3 B.4 C.5 D.6 分析 由于给定的条件是无理数， 直接代入求值有点 繁，但考虑 a2+b2(a+b)22ab，于是，我们可以设法从 条件中先求出 a+b， ab， 这样通过整体代入即可容易求解. 例14 （ 苏 州 市 ） 若x2 x 2 0 ， 则 2 2 2 2 3 13 xx xx 的值等于（ ） A. 2 3 3 B. 3 3 C.3 D.3或 3 3 分析 要想求解条件中字母的值，目前还不能做到， 但考虑条件可以变形得到 x2x2， 而待求式中又刚好有 此式，于是想到通过整体代入求解. 例 15（凉山州）阅读材料，解答下列问题. 例：当 a0 时，如 a6，则a66，故此时 a 的绝对值是它本身； 当 a0 时，a0，故此时 a 的绝对值是零； 当 a0 时，如 a6，则a6(6)6， 故此时 a 的绝对值是它的相反数. 所以， 综合起来一个数的绝对值要分三种情况， 即a 0123 4 12 ABC 4 0 , 00 , 0 . a a a a a 这种分析方法涌透了数学的分类讨论思想. 问： （1）请仿照例中的分类讨论的方法，分析二次根 式 2 a的各种展开的情况. （2）猜想 2 a与a的大小关系. 分析（1）可通过阅读，模仿绝对值的推导过程即得. （2）由（1）即可知道 2 a与a的大小关系. 三、同步训练 1.化简：5x2x . 2.比5小且比3大的整数是_. 3.若 2 1x是一个实数，则 x 可取值的个数 为（ ） A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.无数个 4.当 ab0 时，化简 2 a b的结果是（ ） A.ab B.ab C.b D.a 5.阅读下面的文字后，回答问题：小明和小芳解答题 目： “先化简下式，再求值：a+ 2 1 2