初二数学《实数》专讲专练（第一期）

1 辅导学校专用教程辅导学校专用教程 实数专讲专 练 实数专讲专 练 专题一 平方根的意义及运算，用计算器求平方根 一、要点回顾 1.算术平方根：一般地，如果一个正数 x 的平方等 于 a， 即 x2a， 那么这个正数 x 就叫做 a 的算术平方根， 0 的算术平方根是 0. 2.平方根：一般地，如果一个数 x 的平方等于 a，即 x2a，那么这个数 a 就叫做 x 的平方根，一个正数有两 个平方根，它们互为相反数；0 只有一个平方根，它是 0 本身；负数没有平方根. 3.开平方：求一个数 a 的平方根的运算，叫做开平 方. 4.平方根的性质： （1） 2 aa， （2） 2 aa(a 为任意实数). 注意点：平方根易错点： （1）平方根与算术平方根 不分，如，64 的平方根为8，易丢掉8，而求为 64 的算术平方根； （2）4的平方根是2，误认为4 平方根为2，应知道42. 二、考题解析 例 1（连云港市）如果 2a180，那么 a 的算术平 方根是 . 分析 先求出的 a 值，再求 a 的算术平方根. 例 2（徐州市）4 的平方根是（ ） A.2 B.2 C.2 D.16 分析 找出平方等于 4 的实数即可求解. 例 3（鄂州市）已知 2 1a a 1 a a ，则 a 的取值 范围是（ ） A.a0 B.a0 C.0a1 D.a 0 分析 由 2 aa，而条件中有 2 aa，则表明 a0，考虑分母不为 0，被开方式应为非负数，于是问 题即求. 三、同步训练 1.49 的平方根是_， 算术平方根是_； 0 的平方根是_，算术平方根是_. 2.化简：25_， 9 16 _， 121_. 3.一个自然数的算术平方根是 x， 则下一个自然数的 算术平方根是（ ） A.x+1 B. x2+1 C.x+1 D. 2 1x 4.一个圆的面积为 2cm2，求这个圆的半径. 5.用电器的电阻 R、功率 P 与它两端的电压 U 之间 有关系：P 2 U R .有两个外观相同的用电器，甲的电阻 为 18.4 欧，乙的电阻为 20.8 欧.现测得某用电器的功率 为 1500 瓦， 两端电压在 150 伏至 170 伏之间，该用电器 到底是甲还是乙？ 6.八年级（3）班两位同学在打羽毛球，一不小心球 落在离地面高为6米的树上.其中一位同学赶快搬来一架 长为 7 米的梯子， 架在树干上， 梯子底端离树干 2 米远， 另一位同学爬上梯子去拿羽毛球.问这位同学能拿到球 吗? 专题二 立方根的意义及运算，用计算器求立方根 一、要点回顾 1.立方根：一般地，如果一个数 x 的立方等于 a，即 x3a，那么这个数 x 就叫做 a 的立方根（也叫做三次方 根） ，正数的立方根是正数；0 的立方根是 0；负数的立 方根是负数. 2.开立方：求一个数 a 的立方根的运算叫做开 3.立 方根的性质： （1） 3 3 aa， （2） 33 aa. 注意点：与平方根不同，负数同样也有立方根. 二、考题解析 例 4（青海省） 1 27 的立方根是 . 分析 由于负数有一个负的立方根，而 1 27 3 1 3 ， 由此可以求解. 例 5（扬州市）估计 68 的立方根的大小在（ ） A.2 与 3 之间 B.3 与 4 之间 C.4 与 5 之间 D.5 与 6 之间 分析 要估计 68 的立方根的大小，只要能知道 68 的上一个数的立方数和下一个数的立方数即可. 三、同步训练 1.8 的立方根与16的平方根的和为 （ ） A.2 B.0 C.2 或一 4 D.0 或 4 2.若某数的立方根等于这个数的算术平方根，则这 个数等于（ ） A.0 B.1 C. 1或0 D.0 或 1 3.1的立方根是_， 1的立方根是_， 2 0 的立方根是_；64 的平方根是_，64 的立 方根是_；立方根是本身的数是_. 4. 3 125 _ ， 3 216+ 3 216 _， 3 3 ( 2)_. 5.一个正方体 A 的体积是棱长为 4 厘米的正方体 B 的体 积的 1 27 ，这个正方体 A 的棱长是_厘米. 6.（1）已知 yx33，且 y 的算术平方根为 4，求 x. （2）如果 3x+16 的立方根是 4，试求 2x+4 的平方 根. 7.一个长方体的长为 5cm、宽为 2cm、高为 3cm， 而一个正方体的体积是它的 3 倍.求这个正方体的棱长 (结果精确到 0.01cm). 专题三 实数的有关概念 一、要点回顾 1.无理数：无限不循环小数叫做无理数. 2.实数：有 理数和无理数统称为实数. 3.实数的分类：实数 有理数 无理数 或 正实数 0 负实数 4.实数和数轴上的点是一一对应的.注意点：无理数 的错误认识： （1）无限小数就是无理数，这种说法错误， 因为无限小数包括无限循环小数和无限不循环小数两类. 如 1.414141(41 无限循环） 是无限循环小数， 而不是无 理数；（2） 带根号的数是无理数， 这种说法错误， 如4， 25，虽带根号，但开方运算的结果却是有理数，所以 4，25是有理数； （3）两个无理数的和、差、积、 商也还是无理数， 这种说法错误， 如5+2，5+2 都是无理数，但它们的积却是有理数，再如 和 5 都 是无理数， 但 5 却是有理数，3+1 和3是无理数； 但它们的和却是有理数； （4） 无理数是无限不循环小数， 所以无法在数轴上表示出来，这种说法错误，每一个无 理数在数轴上都有一个唯一位置，如3，我们可以用 几何作图的方法在数轴上把它找出来，其他的无理数也 是如此； （5）无理数比有理数少，这种说法错误，虽然 无理数在人们生产和生活中用的少一些，但并不能说无 理数就少一些，实际上，无理数也有无穷多个. 二、考题解析 例 6（宜昌市）从实数2， 1 3 ，0，4 中， 挑选出的两个数都是无理数的为（ ） A. 1 3 ，0 B.，4 C.2，4 D.2， 分析 首先判断在这些实数中哪些是无理数，然后 再求解. 例 7（自贡市）写出一个有理数和一个无理数，使它们 都是小于1 的数 . 分析 依题意，写出的两个数必须满足：一是一个 是有理数和一个是无理数，二是都是小于1 的 例 8（宁波市）比3大的实数是（ ） A.5 B.0 C.3 D.2 分析 30，且342，于是，对照选择 支即可求解. 例 9（盐城市）实数 a 在数轴上对应的点如图所示， 则 a，a，1 的大小关系正确的是（ ） A.aa1 B.aa1 C.1aa D.a1a 分析 观察数轴我们可以发现 a0，且a1，于 是即可比较. 三、同步训 1.边长为 4 的正方形的对角线长是 （ ） A.整数 B.分数 C.有理数 D.不是有理数 2.在3， 2 2 ，2.4，7四个数中，无理数的个 数是（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 3.如图，数轴上表示数3的点是 . 4.你能说明 3 是无理数吗？ 专题四 实数的化简与运算 1.实数的化简： （1）abab(a0， b0)； （2） a b a b (a0，b0). 2.实数化简最后有结果应满足的条件： （1）被开方 数的因式是整式或整数； （2）被开方数中不含有能开得 尽的因数或因式. 2 A 3 3.几个含有根号的实数经过化简以后，如果被开方 数相同，那么这几个化简后的实数就可以合并成 4.实数 的乘法、除法： （1）abab (a0，b0)； （2） a b a b (a0，b0). 注意点： （1）实数相加减，先把各个含有根号的实 数化简，如果被开方式相同，就可以象合并同类一样合 并，要防止：该化简的没化简；不该合并的合并； 化简不正确；合并出错.（2）实数的乘法除法常用 乘法公式或除法公式来简化计算，运算结果一定要简洁. （3） 在进行实数的运算时应注意数学中的类比思想的运 用，如，计算(2)220+ 1 1 2 + 3 89时，可以类 比有理数的运算顺序和法则进行计算，所以原式4 1+2230. 例 10（中山市）已知等边三角形 ABC 的边长为 3+3，则ABC 的周长是_. 分析 等边三角形的三边长相等，要求此周长，只 需将边长乘以 3，或将三边长相加即得. 例 11（荆门市）计算：(48+ 1 4 12)27 _. 分析 先每一个算术平方根化简，再进行括号里面 的运算，最后做除法运算. 例 12（天津市）若 m404，则估计 m 的值所 在的范围是（ ） A.1m2 B.2m3 C.3m4 D.4m5 分析 要求此解，若能估算出40的范围即可，而 事实上，63640497，由此可以求解. 例 13（烟台市）已知 a5+2，b52，则 22 7ab的值为（ ） A.3 B.4 C.5 D.6 分析 由于给定的条件是无理数，直接代入求值有 点繁，但考虑 a2+b2(a+b)22ab，于是，我们可以设法 从条件中先求出 a+b，ab，这样通过整体代入即可容易 求解. 例14 （ 苏 州 市 ） 若x2 x 2 0 ， 则 2 2 2 2 3 13 xx xx 的值等于（ ） A. 2 3 3 B. 3 3 C.3 D.3 或 3 3 分析 要想求解条件中字母的值， 目前还不能做到， 但考虑条件可以变形得到 x2x2，而待求式中又刚好 有此式，于是想到通过整体代入求解. 4 例 15（凉山州）阅读材料，解答下列问题. 例：当 a0 时，如 a6，则a66，故此时 a 的绝对值是它本身； 当 a0 时，a0，故此时 a 的绝对值是零； 当 a0 时，如 a6，则a6(6)6， 故此时 a 的绝对值是它的相反数. 所以，综合起来一个数的绝对值要分三种情况，即 a 0 , 00 , 0 . a a a a a 这种分析方法涌透了数学的分类讨论思想. 问： （1）请仿照例中的分类讨论的方法，分析二次 根式 2 a的各种展开的情况. （2）猜想 2 a与a的大小关系. 分析 （1） 可通过阅读， 模仿绝对值的推导过程即得. （2）由（1）即可知道 2 a与a的大小关系. 三、同步训练 1.化简：5x2x . 2.比5小且比3大的整数是_. 3.若 2 1x是一个实数，则 x 可取值的个数为 （ ） A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.无数个 4.当 ab0 时，化简 2 a b的结果是（ ） A.ab B.ab C.b D.a 5.阅读下面的文字后，回答问题：小明和小芳解答 题目： “先化简下式，再求值：a+ 2 1 2aa