高一数学函数与方程.ppt

(必修1)第三章函数的应用,第8讲,函数与方程,结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程的根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数.结合具体函数的图象，能用二分法求近似解.,1.若函数f(x)=ax-b(b0)有一个零点,那么函数g(x)=bx2+3ax的零点是.,0,-1,因为函数f(x)=ax-b(b0)的零点是，所以x=3是方程ax-b=0的根，所以b=3a.将它代入函数g(x)=bx2+3ax中，可得g(x)=bx(x+1),令g(x)=0,得x=0或x=-1.,2.已知函数f(x)=x3-x-1仅有一个正零点，则此零点所在区间是(),C,A.(3,4)B.(2,3)C.(1,2)D.(0,1),利用零点存在的判定条件，判断零点存在的区间.由于f(0)=-10,f(3)=230,f(4)=590.根据选择支只有区间（1，2）满足.,3.函数f(x)=3ax+1-2a,在区间(-1,1)上存在一个零点,则a的取值范围是(),C,A.-1C.a或a-1D.a-1,令f(-1)f(1)或a-1，故选C.,4.已知函数f(x)=()x-log2x,若实数x0是方程f(x)=0的解，且0b,考察函数f(x)=2x与g(x)=logx的图象的交点知，1，所以cab.,1.函数的零点(1)对于函数y=f(x),我们把使.叫做函数y=f(x)的零点.(2)方程f(x)=0有实根函数y=f(x)的图象函数y=f(x).(3)如果函数y=f(x)在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线,并且,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内有,即存在c(a,b)，使得,这个c也就是方程f(x)=0的根.,f(x)=0的实数x,与x轴有交点,有零点,f(a)f(b)0,零点,f(c)=0,2.二分法(1)对于在区间a,b上连续不断且f(a)f(b)0的函数y=f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在区间,使区间的两个端点逐步逼近，进而得到零点近似值的方法叫做.(2)给定精确度，用二分法求函数f(x)的零点近似值的步骤如下：,一分为二,零点,二分法,第一步，确定区间a,b，验证f(a)f(b)0,给定精确度;第二步，求区间(a,b)的中点c;第三步，计算f(c);()若f(c)=0，则c就是函数的零点；()若f(a)f(c)0,则令b=c(此时零点x0(a,c);()若f(c)f(b)0,则令a=c(此时零点x0(c,b).第四步,判断是否达到精确度:即若|a-b|，则得到零点近似值a(或b);否则重复第二、三、四步.,题型一函数零点的判断,例1,(1)已知区间(-2，-1)，(-1，0)，(0，1)，(1，2)，(2，3)，则三次方程x3+x2-2x-1=0在哪些区间上有根?(2)判断方程3x+x2-2x-1=0根的个数及符号.,(1)令f(x)=x3+x2-2x-1，则f(-2)f(-1)=(-1)1=-10，所以方程在(-2,-1)上有根，同理皆可，故所求区间为.(2)令y=3x,y=-x2+2x+1=-(x+1)2+2,则原方程的根即为两函数图象交点的横坐标，如图，两交点的横坐标，一个小于0，一个等于0，故原方程有两个根，其一为负，其一为0.,(1)当方程的根可能存在的区间已知时，用零点存在定理判断即可,如(1);当根可能存在的区间未知时,要构造函数，观察图象.研究一个函数的零点,还是两个函数图象的交点,前提是函数能否易于作出图象.再如求x+|lgx|=2的实根的个数,可考察函数y=|lgx|,y=2-x的交点的个数.(2)两函数图象交点个数问题，常转化为一个函数的零点个数问题，进而由零点存在定理判断，必要时要考察函数的单调性.,题型二函数零点的性质的应用,已知aR，函数f(x)=x2+2ax+1，如果函数y=f(x)在区间-1,1上有零点，求a的取值范围.,例2,=0a=1，此时当a=1时，x=-1-1，1；当a=-1时，x=1-1,1，合乎题意.,f(x)在区间-1,1上只有一个零点且不是f(x)=0的重根,此时有f(-1)f(1)1或a0f(-1)0f(1)0-1-0、=0、0判断.2.在闭区间上零点的个数应由零点判定定理及函数图象性质一并实施.,题型三二分法,例3,用二分法求函数f(x)=x3-x-1在区间1,1.5内的一个零点(精确度为0.1).,由于f(1)=1-1-1=-10，所以f(x)在区间1,1.5内存在零点，取区间1,1.5作为计算的初始区间.,用二分法逐次计算列表如下：,因为|1.375-1.3125|=0.06250.1,所以函数的零点落在区间长度小于0.1的区间1.3125,1.375内,故函数零点的近似值为1.3125.,1.求函数零点的近似值的关键是判断二分法求值过程中，区间长度是否小于精确度,当区间长度小于精确度时,运算结束，而此时取的中点值即为所求，当然也可取区间端点的另一个值.2.“精确度”与“精确到”是两个不同的概念，精确度最后的结果不能四舍五入，而精确到只需区间两个端点的函数值满足条件，即取近似值之后相同，则此时四舍五入的值即为零点的近似解.,1.二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根分布问题，既可以运用公式法先求出方程的根，再列出等价条件组，也可以引入二次函数，由函数的图象特征列出等价的条件组，应因题而异，优化解题的思路.,2.函数与方程这一节内容渗透了丰富的数学思想方法，解题时需具有敏锐的观察力和较强的等价转化问题的能力，把复杂的问题化归为二次方程或二次函数问题，再运用等价转化思想、函数与方程思想、分离参数方法、分类讨论思想等解决问题.,3.二分