幂函数教学设计

1 / 16 幂函数教学设计 本资料为 WoRD 文档，请点击下载地址下载全文下载地址 教学设计 幂函数 作者：邓新国 整体设计 教学分析 幂函数作为一类重要的函数模型，是学生在系统地学习了指数函数、对数函数之后研究的又一类基本的初等函数学生已经有了学习指数函数和对数函数的图象和性质的学习经历，幂函数概念的引入以及图象和性质的研究便水到渠成因此，学习过程中，引入幂函数的概念之后，尝试放手让学生自己进行合作探究学习本节通过实例，让学生认识到幂函数同样也是一种重要的函数模型，通过研究 y x， y x2， y x3， y x 1， y等函数的性质和图象，让学生认识到幂指数大于零和小于零两种情形下，幂函数的共性：当幂指数 0 时，幂函数的图象都经过点 (0,0)和 (1,1)，且在第一象限内函数单调递增；当幂指数 0 时，幂函数的图象都经过点 (1,1)，且在第一象限内函数单调递减且以两坐标轴为渐近线在方法上，我们应注意从特殊到一般地去进行类比研究幂函数的性质，并注意与指数函数进行对比学习 2 / 16 将幂函数限定为五个具体函数，通过研究它们来了解幂函数的性质其中，学生在初中已经学习了 y x， y x2， y x 1 等三个简单 的幂函数，对它们的图象和性质已经有了一定的感性认识现在明确提出幂函数的概念，有助于学生形成完整的知识结构学生已经了解了函数的基本概念、性质和图象，研究了两个特殊函数：指数函数和对数函数，对研究函数已经有了基本思路和方法因此，教材安排学习幂函数，除内容本身外，掌握研究函数的一般思想方法是另一目的，另外，应让学生了解利用信息技术来探索函数图象及性质是一个重要途径 学习中学生容易将幂函数和指数函数混淆，因此在引出幂函数的概念之后，可以组织学生对两类不同函数的表达式进行辨析 三维目标 1通过生活实 例引出幂函数的概念，会画幂函数的图象，通过观察图象，了解幂函数图象的变化情况和性质，加深学生对研究函数性质的基本方法和流程的经验，培养学生的概括抽象和识图能力，使学生体会到生活中处处有数学，激发学生的学习兴趣 2了解几个常见的幂函数的性质，通过这几个幂函数的性质，总结幂函数的性质，通过画图比较，使学生进一步体会数形结合的思想，利用计算机等工具，了解幂函数和指数函3 / 16 数的本质差别，使学生充分认识到现代技术在人们认识世界的过程中的作用，从而激发学生的学习欲望 3应用幂函数的图象和性质解决有关简单问题，培 养学生观察分析归纳能力，了解类比法在研究问题中的作用，渗透辩证唯物主义观点和方法论，培养学生运用具体问题具体分析的方法去分析和解决问题的能力 重点难点 教学重点：从五个具体的幂函数中认识幂函数的概念和性质 教学难点：根据幂函数的单调性比较两个同指数的指数式的大小 课时安排 1 课时 教学过程 导入新课 思路 1 1如果张红购买了每千克 1 元的水果 w 千克，那么她需要付的钱数 p(元 )和购买的水果量 w(千克 )之间有何关系？根据函数的定义可知，这里 p 是 w 的函数 2如果正方形的边长为 a，那么 正方形的面积 S a2，这里S 是 a 的函数 3如果正方体的边长为 a，那么正方体的体积 V a3，这里4 / 16 V 是 a 的函数 4如果正方形场地面积为 S，那么正方形的边长 a，这里a 是 S 的函数 5如果某人 ts 内骑车行进了 1km，那么他骑车的速度 v t 1km/s，这里 v 是 t 的函数 以上是我们生活中经常遇到的几个数学模型，你能发现以上几个函数解析式有什么共同点吗？ (右边指数式，且底数都是变量 ) (适当引导：从自变量所处的位置这个角度 )(引入新课，书写课题：幂函数 ) 思路 2我们前面学习了三类具体的初 等函数：二次函数、指数函数和对数函数，这一节课我们再学习一种新的函数 幂函数，教师板书课题：幂函数 推进新课 新知探究 提出问题 (1)给出下列函数： y x， y， y x2， y x 1， y x3，考察这些解析式的特点，总结出来，是否为指数函数？ (2)根据 (1)，如果让我们起一个名字的话，你将会给他们起个什么名字呢？请给出一个一般性的结论 (3)我们前面学习指对数函数的性质时，用了什么样的思路？研究幂函数的性质呢？ 5 / 16 (4)画出 y x， y， y x2， y x 1， y x3 五个函数图象，完成 下列表格 . (5)通过对以上五个函数图象的观察，哪个象限一定有幂函数的图象？哪个象限一定没有幂函数的图象？哪个象限可能有幂函数的图象，这时可以通过什么途径来判断？ (6)通过对以上五个函数图象的观察和填表，你能类比出一般的幂函数的性质吗？ 活动：考虑到学生已经学习了指数函数与对数函数，对函数的学习、研究有了一定的经验和基本方法，所以教学流程又分两条线，一条以内容为明线，另一条以研究函数的基本内容和方法为暗线，教学过程中同时展开，学生相互讨论，必要时，教师将解析式写成指数幂形式，以启发学生归纳，学生 作图，教师巡视，学生小组讨论，得到结论，必要时，教师利用几何画板演示 讨论结果： (1)通过观察发现这些函数的变量在底数位置，解析式右边都是幂，因为它们的变量都在底数位置上，不符合指数函数的定义，所以都不是指数函数 (2)由于函数的指数是一个常数，底数是变量，类似于我们学过的幂的形式，因此我们称这种类型的函数为幂函数，如果我们用字母 来表示函数的指数，就能得到一般的式子，6 / 16 即幂函数的定义：一般地，形如 y x 的函数称为幂函数，其中 x 是自变量， 是常数 如 y x2， y， y x3 等都是幂函数，幂函 数与指数函数、对数函数一样，都是基本初等函数 (3)我们研究指数、对数函数时，根据图象研究函数的性质，由具体到一般；一般要考虑函数的定义域、值域、单调性、奇偶性；有时也通过画函数图象，从图象的变化情况来看函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等性质，研究幂函数的性质也应如此 (4)学生用描点法，也可应用函数的性质，如奇偶性、定义域等，画出函数图象利用描点法，在同一坐标系中画出函数 y x， y， y x2， y x3， y x 1 的图象 列表： x 3 2 10123 y x 3 2 10123 y y x29410149 y x3 27 8 101827 y x 1 13 12 1112 7 / 16 13 描点、连线画出以上五个函数的图象如图 1. 图 1 让学生通过观察图象，分组讨论，探究幂函数的性质和图象的变化规律，教师注意引导学生用类比研究指数函数、对数函数的方法研究幂函数的性质 通过观察图象，完成表格 . (5)第一象限一定有幂函数的图象；第四象限一定没有幂函数的图象；而第二、三象限可能有，也可能没有图象，这时可以通过幂函数的定义域和奇偶 性来判断 (6)幂函数 y x 的性质 所有的幂函数在 (0， ) 上都有定义，并且图象都过点(1,1)(原因： 1x 1)； 当 0 时，幂函数的图象都通过原点，并且在 0， )上是增函数 (从左往右看，函数图象逐渐上升 ) 特别地，当 1 时， x(0,1) ， y x 的图象都在 y x图象的下方，形状向下凸， 越大，下凸的程度越大 当 0 1 时， x(0,1) ， y x 的图象都在 y x 的图象上方，形状向上凸， 越小，上凸的程度越大 8 / 16 当 0 时，幂函数的图象在区间 (0， ) 上是减函数 思路 1 应用示例 例 1 判断下列函数哪些是幂函数 y ； y x 3； y x 2； y . 活动：学生独立思考，讨论回答，教师巡视引导，及时评价学生的回答根据幂函数的定义判别，形如 y x 的函数称为幂函数，变量 x 的系数为 1，指数 是一个常数，严格按这个标准来判断 解： y 的底数是，因此不是幂函数； y x 3 的底数是变量，指数是常数，因此是幂函数； y x 2 的底数是变量，指数是常数，因此是幂函数； y 的底数是变量，指数是常数，因此是幂函数 点评：判断函数是否是幂 函数要严格按定义来判断 . 变式训练 判别下列函数中有几个幂函数？ ； y 2x2； ； y x2 x； y x3. 解： 的底数是变量，指数是常数，因此 是幂函数； 的变量 x2 的系数为 2，因此不是幂函数； 的变量是和的形式，因此也不是幂函数； 的变量 x3 的系数为 1，因此不是幂函数 . 例 2 求下列幂函数的定义域，并指出其奇偶性、单调性 9 / 16 (1)； (2)； (3)y x 2. 活动：学生思考，小组讨论，教师引导，学生展示思维过程，教师评价根据你的学习经历，回顾求一个函数的定义域 的方法，判断函数奇偶性、单调性的方法判断函数奇偶性、单调性的方法，一般用定义法解决有关函数求定义域的问题时，可以从以下几个方面来考虑：列出相应不等式或不等式组，解不等式或不等式组即可得到所求函数的定义域 解： (1)要使函数有意义，只需 y 3x2 有意义，即 xR. 所以函数的定义域是 xR. 又 f( x) f(x)，所以函数是偶函数，它在 ( ， 0上是减函数，在 0， ) 上是增函数 (2)要使函数有意义，只需 y 12x3 有意义，即 xR ，所以函数的定义域是 R，由于函数的定义域不关于原点对称，所以函数是非奇非偶函数，它在 (0， ) 上是减函数 (3)要使函数 y x 2 有意义，只需 y 1x2 有意义，即 x0 ，所以函数 y x 2 的定义域是 x0 ，又 f( x) f(x)，所以函数 y x 2 是偶函数，它在 ( ， 0)上是增函数，在(0， ) 上是减函数 点评：在函数解析式中含有分数指数时，可以把它们的解析式化成根式，根据 “ 偶次根号下非负 ” 这一条件来求出对应函数的定义域；当函数解析式的幂指数为负数时，根据负指数幂的意义将其转化为分式形式，根据分式的分母不能为 0这 一限制条件来求出对应函数的定义域，求函数的定义域的10 / 16 本质是解不等式或不等式组 例 3 证明幂函数 f(x) x 在 0， ) 上是增函数 活动：学生先思考或讨论，再回答，教师根据实际，可以提示引导证明函数的单调性一般用定义法，有时利用复合函数的单调性 证明：任取 x1， x20 ， ) ，且 x1 x2，则 f(x1) f(x2) x1 x2 (x1 x2)(x1 x2)x1 x2 x1 x2x1 x2，因为x1 x2 0， x1 x2 0，所以 x1 x2x1 x2 0.所以 f(x1) f(x2)，即 f(x) x 在 0， ) 上是增函数 点评：证明函数的单调性要严格按步骤和格式书写，利用作商的方法比较大小， f(x1)与 f(x2)的符号要一致 思路 2 例 1 函数 y的定义域是 ( ) A x|x0 ，或 x2B ( ， 0)(2 ， ) c ( ， 02 ， )D (0,2) 解析：函数 y化为 y 1x2 2x，要使函数有意义需 x22x 0，即 x 2 或 x 0，所以函数的定义域为 x|x 2，或x 0 答案： B 变式训练 函数 y的值域是 ( ) A 0， )B (0,1c (0,1)D 0,1 11 / 16 活动：学生独立解题，先思考，然后上黑板板演，教师巡视指导函数的值域要根据函数的定义域来求函数可化为根式形式，偶次方根号的被开方数大于零，转化为等式或不等式来解，可得定义域，这是复合函数求值域问题，利用换元法 分析：令 t 1 x2，则 y t， 因为函数的定义域是 x| 1x1 ，所以 0t1. 所以0y1. 答案： D 点评：注意换元法在解题中的应用 . 例 2 比较下列各组数的大小： (1),； (2) ,； (3), 活动：学生先思考或回忆，然后讨论交流 ，教师适时提示点拨比较数的大小，常借助于函数的单调性对 (1)(2)可直接利用幂函数的单调性对 (3)只利用幂函数的单调性是不够的，还要利用指数函数的单调性，事实上，这里可作为中间量 解： (1)由于要比较的数的指数相同，所以利用幂函数的单调性，考察函数 y的单调性，在第一象限内函数单调递增，又因为，所以 (2)由于要比较的数的指数相同，所以利用幂函数的单调性，考察函数 y x的单调性，在第一象限内函数单调递减，又12 / 16 因为，所以 (3)首先比较指数相同的两个数的大小，考察函数 y的单调性，在 第一象限内函数单调递增，又因为，所以 再比较同底数的两个数的大小，考察函数 y的单调性，在定义域内函数单调递减，又因为，所以所以 另外，本题还有图象法，计算结果等方法，留作同学们自己完成 点评：指数相同的幂的大小比较可以利用幂函数的单调性；底数相同的幂的大小比较可以利用指数函数的单调性 知能训练 1下列函数中，是幂函数的是 ( ) A y 2xB y 2x3c y 1xD y 2x 2下列结论正确的是 ( ) A幂函数的图象一定过原点 B当 0 时，幂函数 y x 是 减函数 c当 0 时，幂函数 y x 是增函数 D函数 y x2 既是二次函数，也是幂函数 3下列函数中，在 ( ， 0)是增函数的是 ( ) A y x3B y x2c y 1xD 4已知某幂函数的图象经过点 (2， 2)，则这个函数的解析式为 _ 答案： 1 c 2 D 3 A 4 13 / 16 拓展提升 分别在同一坐标系中作出下列函数的图象，通过图象说明它们之间的关系 y x 1， y x 2， y x 3； ，； y x， y x2， y x3； ， . 活动：学生思考或交流，探 讨作图的方法，教师及时提示，必要时，利用几何画板演示 解：利用描点法，在同一坐标系中画出上述四组函数的图象如图 2、图 3，图 4、图 5. 图 2 图 3 图 4 图 5 观察图 2 得到： 函数 y x 1、 y x 2、 y x 3 的图象都过点 (1,1)，且在第一象限随 x 的增大而下降，函数在区间 (0， ) 上是单调减函数，且向右无限接近 x 轴，向上无限接近 y 轴，指数越小，向右无限接近 x 轴的图象在下方，向上离 y 轴越远 观察图 3 得到： 函数、的图象都过点 (1,1)，且在第一象限随 x 的增大而下降，函数在区间 (0， ) 上是单调减函数，且向右无限接近 x 轴，向上无限接近 y 轴，指数越小，向右无限接近 x 轴14 / 16 的图象在下方，向上离 y 轴越远 观察图 4 得到： 函数 y x、 y x2、 y x3 的图象过点 (1,1)、 (0,0)，且在第一象限随 x 的增大而上升，函数在区间 0， ) 上是单调增函数，指数越大图象下凸越大，从第一象限来看，图象向上离 y 轴近，向下离 x 轴近 观察图 5 得到： 函数、的图象过点 (1,1)、 (0,0)，且在第一象限随 x 的增大而上升，函数在区间 0， ) 上是单调增函数，指数越小图象上凸越 大，从第一象限来看，图象在点 (1,1)的左边离 y轴近，在点 (1,1)的右边离 x 轴近 根据上述规律可以判断函数图象的分布情况 课堂小结 1幂函数的概念 2幂函数的性质 3幂函数的性质的应用 作业 课本习题 1,2,3. 设计感想 幂函数作为一类重要的函数模型，是学生在系统地学习了指数函数、对数函数之后研究的又一类基本的初等函数，课本内容较少，但高考内容不少，应适当引申，所以设计了一些15 / 16 课本上没有的题目类型，以扩展同学们的视野，同时由于作图的内容较多，建议抓住关键点作图，要会熟练 地运用计算机或计算器作图，强化对知识的理解 备课资料 历史上数学计算方面的三大发明 你知道数学计算方面的三大发明吗？这就是阿拉伯数字、十进制和对数 研究自然数遇到的第一个问题是计数法和进位制的问题，我们采用的十进制是中国人的一大发明在商代中期的甲