平面向量教案

1 / 11 平面向量教案 莲山课 件 k 二、复习要求 1、向量的概念 ; 2、向量的线性运算 :即向量的加减法 ,实数与向量的乘积 ,两个向量的数量积等的定义 ,运算律 ; 3、向量运算的运用 三、学习指导 1、向量是数形结合的典范。向量的几何表示法 -有向线段表示法是运用几何性质解决向量问题的基础。在向量的运算过程中 ,借助于图形性质不仅可以给抽象运算以直观解释 ,有时甚至更简捷。 向量运算中的基本图形 : 向量加减法则 :三角形或平行四边形 ; 实数与向量乘积的几何意义 -共线 ; 定比分点基本图形 -起点相同的三个向 量终点共线等。 2、向量的三种线性运算及运算的三种形式。 向量的加减法 ,实数与向量的乘积 ,两个向量的数量积都称为向量的线性运算 ,前两者的结果是向量 ,两个向量数量积的结果是数量。每一种运算都可以有三种表现形式 :图形、符号、坐标语言。 主要内容列表如下 : 2 / 11 运算图形语言符号语言坐标语言 加法与减法 = -= 记 =(x1,y1),=(x1,y2) 则 =(x1x2,y1y2) -=(x2-x1,y2-y1)= 实数与向量 的乘积 = R 记 =(x,y) 则 =(x,y) 两个向量 的数量积 =| cos 记 =(x1,y1),=(x2,y2) 则 =x1x2y1y2 3、运算律 加法 :=,()=() 实数与向量的乘积 :()=;()=,()= () 两 个 向 量 的 数 量3 / 11 积 :=;()=()=(),()= 说明 :根据向量运算律可知 ,两个向量之间的线性运算满足实数多项式乘积的运算法则 ,正确迁移实数的运算性质可以简化向量的运算 ,例如 ()2= 4、重要定理、公式 (1)平面向量基本定理 ;如果是同一平面内的两 个不共线向量 ,那么对于该平面内任一向量 ,有且只有一对数数 1,2,满足 =12, 称 12 为 ,的线性组合。 根据平面向量基本定理 ,任一向量与有序数对 (1,2) 一一对应 ,称 (1,2) 为在基底 ,下的坐标 ,当取 ,为单位正交基底 ,时定义 (1,2) 为向量的平面直角坐标。 向量坐标与点坐标的关系 :当向量起点在原点时 ,定义向量坐标为终点坐标 ,即若 A(x,y),则 =(x,y);当向量起点不在原点时 , 向量坐标为终点坐标减去起点坐标 , 即若A(x1,y1),B(x2,y2),则 =(x2-x1,y2-y1) (2)两个向量平行的充要条件 符号语言 :若 , 则 = 坐 标 语 言 为 : 设 =(x1,y1),=(x2,y2), 则(x1,y1)=(x2,y2), 即 ,或 x1y2-x2y1=0 在这里 ,实数 是唯一存在的 ,当与同向时 ,0; 当与异向时 ,0,0 则 = |=| =1 =|,=| oEc 中 ,E=600,ocE=750, 由得 : 说明 :用若干个向量的线性组合表示一个向量 ,是向量中的基本而又重要的问题 ,通常通过构造平行四边形来处理 例 2、已知 ABc 中 ,A(2,-1),B(3,2),c(-3,-1),Bc 边上的高为 AD,求点 D 和向量坐标。 分析 : 用解方程组思想 设 D(x,y),则 =(x-2,y1) =( -6,-3),=0 -6(x-2)-3(y1)=0,即 2xy-3=0 =(x -3,y-2), -6(y-2)=-3(x-3),即 x-2y1=0 由 得 : D(1,1),=( -1,2) 例 3、求与向量 =,-1)和 =(1,)夹角相等 ,且模为的向量的坐标。 7 / 11 分析 : 用解方程组思想 法一 :设 =(x,y),则 =x -y,=xy = &nb 即 又 |= x2y2=2 由 得或 (舍 ) = 法二 :从分析形的特征着手 |=|=2 =0 AoB 为等腰直角三角 形 ,如图 |=,Aoc=Boc c 为 AB中点 c() 说明 :数形结合是学好向量的重要思想方法 ,分析图中的几何性质可以简化计算。 例 4、在 oAB 的边 oA、 oB 上分别取点 m、 N,使|=13,|=14, 设线段 AN与 Bm交于点 P,记 =,=,8 / 11 用 ,表示向量。 分析 : B 、 P、 m 共线 记 =s 同理 ,记 = , 不共线 由 得解之得 : 说明 :从点共线转化为向量共线 ,进而引入参数 (如 s,t)是常用技巧之一。平面向量基本定理是向量重要定理之一 ,利用该定理唯一性的性质得到关于 s,t 的方程。 例 5、已知长方形 ABcD,AB=3,Bc=2,E 为 Bc 中点 ,P 为 AB 上一点 (1)利用向量知识判定点 P 在什么位置时 ,PED=450; (2)若 PED=450, 求证 :P、 D、 c、 E 四点共圆。 分析 : 利用坐标系可以确定点 P 位置 如图 ,建立平面直角坐标系 则 c(2,0),D(2,3),E(1,0) 设 P(0,y) 9 / 11 =(1,3),=( -1,y) =3y -1 代入 cos450= 解之得 (舍 ),或 y=2 点 P 为靠近点 A 的 AB三等 分处 (3)当 PED=450 时 ,由 (1)知 P(0,2) =(2,1),=( -1,2) =0 DPE=900 又 DcE=900 D 、 P、 E、 c 四点共圆 说明 :利用向量处理几何问题一步要骤为 : 建立平面直角坐标系 ; 设点的坐标 ; 求出有关向量的坐标 ; 利用向量的运算计算结果 ; 得到结论。 同步练习 (一 )选择题 1、平面内三点 A(0,-3),B(3,3),c(x,-1),若 , 则 x的值为 : A、 -5B、 -1c、 1D、 5 2、平面上 A(-2,1),B(1,4),D(4,-3),c点满足 ,连 Dc并延长至 E,使 |=|,则点 E 坐标为 : A、 (-8,)B、 ()c、 (0,1)D、 (0,1)或 (2,) 10 / 11 2、点 (2,-1)沿向量平移到 (-2,1),则点 (-2,1)沿平移到 : 3、 A、 (2,-1)B、 (-2,1)c、 (6,-3)D、 (-6,3) 4、 ABc 中 ,2cosBsinc=sinA, 则此三角形是 : A、直角三角形 B、等腰三角形 c、等边三角形 D、以上均有可能 5、设 ,是任意的非零平面向量 ,且相互不共线 ,则 : () -()=0 | -|-| () -() 不与垂直 (32)(3 -2)=9|2-4|2中 , 真命题是 : A、 B 、 c 、 D 、 6、 ABc 中 ,若 a4b4c4=2c2(a2b2),则 c 度数是 : A、 600B、 450或 1350c、 1200D、 300 7、 oAB 中 ,=,=,=,若 =,tR, 则点 P 在 A、 AoB 平分线所在直线上 B、线段 AB中垂线上 c、 AB边所在直线上 D、 AB边的中线上 8、正方形 PQRS 对角线交点为 m,坐标原点 o 不在正方形内部 ,且 =(0,3),=(4,0),则 = A、 ()B、 ()c、 (7,4)D、 () (二 )填空题 9、已知 ,|是平面上一个基底 ,若 =,= -2 -,若 ,共线 ,则11 / 11 =_ 。 10、已知 |=,|=1,= -9,则与的夹角是 _。 11、设 ,是两个单位向量 ,它们夹角为 600, 则 (2-)( -32)=_。 12、把函数 y=cosx 图象沿平移 ,得到函数 _的图象。 (三 )解答题 13、设 =(3,1),=(-1,2), 试求满足 =的的坐 14、若 =(2,-8),-=(-8,16),求、及与夹角 的余弦