平面向量的实际背景及基本概念

1 / 14 平面向量的实际背景及基本概念 本资料为 WoRD 文档，请点击下载地址下载全文下载地址 平面向量的实际背景及基本概念 教材分析： 向量这一概念是由物理学和工程技术抽象出来的，反过来，向量的理论和方法，又成为解决物理学和工程技术的重要工具，向量之所以有用，关键是它具有一套良好的运算性质，通过向量可把空间图形的性质转化为向量的运算，这样通过向量就能较容易地研究空间的直线和平面的各种有关问题。 向量不同于数量，它是一种新的量，关于数量的代数运算在向量范围内不都适用。因此，本章在介绍向量概念时， 重点说明了向量与数量的区别，然后又重新给出了向量代数的部分运算法则，包括加法、减法、实数与向量的积、向量的数量积的运算法则等。之后，又将向量与坐标联系起来，把关于向量的代数运算与数量 (向量的坐标 )的代数运算联系起来，这就为研究和解决有关几何问题又提供了两种方法 向量法和坐标法。 本章共分五大节。第一节是 “ 平面向量的实际背景及基本概念 ” ，内容包括向量的物理背景与概念、向量的几何表示、相等向量与共线向量。 本节从物理学中的位移、力这些既有大小又有方向的量出发，抽象出向量的概念，并重点说明了向量与数量的区别 ，2 / 14 然后介绍了向量的几何表示、向量的长度、零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量等基本概念。 在 “ 向量的物理背景与概念 ” 中介绍向量的定义；在 “ 向量的几何表示 ” 中，主要介绍有向线段、有向线段的三个要素、向量的表示、向量与有向线段的区别与联系、向量的长度、零向量、单位向量、平行向量；在 “ 相等向量与共线向量 ”中，主要介绍相等向量，共线向量定义等。 教学目标： 1、了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；并会区分平行向量 、相等向量和共线向量 . 2、通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别 . 3、通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力 . 教学重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量 . 教学难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系 . 学法：本节是本章的入门课，概念较多，但难度不大 .学生可根据在原有的位移、力等物理概念来学习向量的概念，结合图形实物区分平行向量、相等向量、共线向量等概念 . 3 / 14 教具：多媒体或实物投影仪，尺 规 授课类型：新授课 教学过程： 一、情景设置： 如图，老鼠由 A 向西北逃窜，猫在 B 处向东追去，设问：猫能否追到老鼠？（画图） 结论：猫的速度再快也没用，因为方向错了 . 分析：老鼠逃窜的路线 Ac、猫追逐的路线 BD 实际上都是有方向、有长短的量 . 引言：请同学指出哪些量既有大小又有方向？哪些量只有大小没有方向？ 二、新课学习： （一）向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量 （二）请同学阅读课本后回答：（可制作成幻灯片） 1、数量与向量有何区别？ 2、如何表示向量？ 3、有向线段和线 段有何区别和联系？分别可以表示向量的什么？ 4、长度为零的向量叫什么向量？长度为 1 的向量叫什么向量？ 5、满足什么条件的两个向量是相等向量？单位向量是相等向量吗？ 4 / 14 6、有一组向量，它们的方向相同或相反，这组向量有什么关系？ 7、如果把一组平行向量的起点全部移到一点 o，这是它们是不是平行向量？这时各向量的终点之间有什么关系？ （三）探究学习 1、数量与向量的区别： 数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小； 向量有方向，大小，双重性，不能比较大小 . 2.向量的表示方法： 用 有向线段表示； 用字母、 （黑体，印刷用）等表示； 用有向线段的起点与终点字母：； 向量的大小 长度称为向量的模，记作 |. 3.有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素：起点、方向、长度 . 向量与有向线段的区别： （ 1）向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量； （ 2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段 . 5 / 14 4、零向量、单位向量概念： 长度为 0 的向量叫零向量，记作的方向是 任意的 . 注意 0 与 0 的含义与书写区别 . 长度为 1 个单位长度的向量，叫单位向量 . 说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小 . 5、平行向量定义： 方向相同或相反的非零向量叫平行向量； 我们规定 0 与任一向量平行 . 说明：（ 1）综合 、 才是平行向量的完整定义；（ 2）向量、平行，记作 . 6、相等向量定义： 长度相等且方向相同的向量叫相等向量 . 说明：（ 1）向量与相等，记作；（ 2）零向量与零向量相等； （ 3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示， 并且与有向线段的起点无关 . 7、共线向量与平行向量关系： 平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的起点无关） . 说明：（ 1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；（ 2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系 . 6 / 14 （四）理解和巩固： 例 1 书本 86 页例 1. 例 2 判断： （ 1）平行向量是否一定方向相同？（不一定） （ 2）不相等的向量是否一定不平行？（不一定） （ 3）与零向量相等的向量必定是什么向量？（零向量） （ 4）与任意向 量都平行的向量是什么向量？（零向量） （ 5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？（平行向量） （ 6）两个非零向量相等的当且仅当什么？（长度相等且方向相同） （ 7）共线向量一定在同一直线上吗？（不一定） 例 3 下列命题正确的是（） A.与共线，与共线，则与 c 也共线 B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形 的四顶点 c.向量与不共线，则与都是非零向量 D.有相同起点的两个非零向量不平行 解：由于零向量与任一向量都共线，所以 A 不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，根本不可能是一个平行四边形的四个顶点，所以 B 不正确；向量的平行只要方7 / 14 向相同或相反即可，与起点是否相同无关，所以不正确；对于 c，其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题来入手考虑，假若与不都是非零向量，即与至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线，可有与共线，不符合已知条件，所以有与都是非零向量，所以应选 c. 例 4 如图，设 o 是正六边形 ABcDEF 的中心，分别写出图中与向量、相等的向量 . 变式一：与向量长度相等的向量有多少个？（ 11 个） 变式二：是否存在与向量长度相等、方向相反的向量？（存在） 变式三：与向量共线的向量有哪些？（） 课堂练习： 1判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由 . 向量与是共线向量，则 A、 B、 c、 D 四点必在一直线上； 单位向量都相等； 任一向量与它的相反向量不相等； 四边形 ABcD 是平行四边形当且仅当 一个向量方向不确定当且仅当模为 0； 共线的向量，若起点不同，则终点一定不同 . 解： 不正确 .共线向量即平行向量，只要求 方向相同或相反即可，并不要求两个向量、在同一直线上 . 8 / 14 不正确 .单位向量模均相等且为 1，但方向并不确定 . 不正确 .零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的 . 、 正确 . 不正确 .如图与共线，虽起点不同，但其终点却相同 . 2书本 88 页练习 三、小结： 1、描述向量的两个指标：模和方向 . 2、平行向量不是平面几何中的平行线段的简单类比 . 3、向量的图示，要标上箭头和始点、终点 . 四、课后作业： 书本 88 页习题第 3、 5 题 平面向量的实际背景及基本概念 课前预习学案 一、预习目标 通过阅读教材初步了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量 . 二、预习内容 （一）、情景设置： 如图，老鼠由 A 向西北逃窜，猫在 B 处向东追去，设问：猫9 / 14 能否追到老鼠？（画图） 结论：猫的速度再快也没用，因为方向错了 . 分析：老鼠逃窜的路线 Ac、猫追逐的路线 BD 实际上都是有方向、有长短的量 . 引言：请同学指出哪些量既有大小又有方向？哪些量只有大小没有方向？ （二） 、新课预习： 1、向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量 2、请同学阅读课本后回答：（可制作成幻灯片） 1)数量与向量有何区别？ 2)如何表示向量？ 3)有向线段和线段有何区别和联系？分别可以表示向量的什么？ 4)长度为零的向量叫什么向量？长度为 1 的向量叫什么向量？ 5)满足什么条件的两个向量是相等向量？单位向量是相等向量吗？ 6)有一组向量，它们的方向相同或相反，这组向量有什么关系？ 7)如果把一组平行向量的起点全部移到一点 o，这是它们是不是平行向量？这时各 向量的终点之间有什么 关系？ 10 / 14 三、提出疑惑 同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中 疑惑点疑惑内容 课内探究学案 一、学习目标 1、通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别 . 2、通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力 . 二、学习过程 1、数量与向量的区别？ - 2.向量的表示方法？ 向量的大小 长度称为向量的模，记作。 3.有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素：。 向量与有向线段的区别： （ 1）。 11 / 14 （ 2）。 4、零向量、单位向量概念： 叫零向量，记作的方向是任意的 . 注意 0 与 0 的含义与书写区别 . 叫单位向量 . 说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小 . 5、平行向量定义： 叫平行向量； 我们规定 0 与平行 . 说明：（ 1）综合 、 才是平行向量的完整定义；（ 2）向量、平行，记作 . 6、相等向量定义：叫相等向量。 说明：（ 1）向量与相等，记作；（ 2）零向量与零向量相等； （ 3）任意两个相等的非零向量，都可用 同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关 . 7、共线向量与平行向量关系： 平行向量就是共线向量，这是因为（与有向线段的起点无关） . 说明：（ 1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；（ 2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系 . 三、理解和巩固： 例 1 书本 86 页例 1. 12 / 14 例 2 判断： （ 1）平行向量是否一定方向相同？ （ 2）不相等的向量是否一定不平行？ （ 3）与零向量相等的向量必定是什么向量？ （ 4）与任意向量都平行的向量是什 么向量？ （ 5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？ （ 6）两个非零向量相等的当且仅当什么？ （ 7）共线向量一定在同一直线上吗？ 例 3 下列命题正确的是（） A.与共线，与共线，则与 c 也共线 B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形 的四顶点 c.向量与不共线，则与都是非零向量 D.有相同起点的两个非零向量不平行 例 4 如图，设 o 是正六边形 ABcDEF 的中心，分别写出图中与向量、相等的向量 . 变式一：与向量长度相等的向量有多少个？ 变式二：是否存在与向量长度相等、方向相反的向量？ 变式三：与向量共线的向量有哪些？ 课堂练习： 1判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由 . 13 / 14 向量与是共线向量，则 A、 B、 c、 D 四点必在一直线上； 单位向量都相等； 任一向量与它的相反向量不相等； 四边形 ABcD 是平行四边形当且仅当 一个向量方向不确定当且仅当模为 0； 共线的向量，若起点不同，则终点一定不同 . 2书本 88 页练习 课后练习与提高 1下列各量中不是向量的是（） A.浮力 B.风速 c.位移 D.密度 2.下列说法中错误的是（） A.零向量是没有方向的 B.零向量的长度为 0 c.零向量与任一向量平行 D.零向量的方向是任意的 3把平面上一切单位向量的始点放在同一点 ,那么这些向量的终点所构成的图形是（） A.一条线段 B.一段圆弧 c.圆上一群孤立点 D.一个单位圆 4已知非零向量 ,若非零向量，则与必定 . 5已知、是