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1 / 4 平面向量的正交分解和坐标表示及运算 平面向量的正交分解和坐标表示及运算 教学目的: ( 1)理解平面向量的坐标的概念; ( 2)掌握平面向量的坐标运算; ( 3)会根据向量的坐标,判断向量是否共线 . 教学重点:平面向量的坐标运算 教学难点:向量的坐标表示的理解及运算的准确性 . 授课类型:新授课 教具:多媒体、实物投影仪 教学过程: 一、复习引入: 1平面向量基本定理:如果,是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量,有且只有一对实数1 , 2 使 =1+2 (1)我们把不共线向量、叫做表示这一平面内所有向量的一组基底; (2)基底不惟一,关键是不共线; (3)由定理可将任一向量在给出基底、的条件下进行分解; (4)基底给定时,分解形式惟一 .1 , 2 是被,唯一确定的数量 2 / 4 二、讲解新课: 1平面向量的坐标表示 如图,在直角坐标系内,我们分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底 .任作一个向量,由平面向量基本定理知,有且只有一对实数、,使得 1 我们把叫做向量的(直角)坐标,记作 2 其中叫做在轴上的 坐标,叫做在轴上的坐标, 2 式叫做向量的坐标表示 .与相等的向量的坐标也为 . 特别地, . 如图,在直角坐标平面内,以原点 o 为起点作,则点的位置由唯一确定 . 设,则向量的坐标就是点的坐标;反过来,点的坐标也就是向量的坐标 .因此,在平面直角坐标系内,每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示 . 2平面向量的坐标运算 ( 1)若,则, 两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差 . 设基底为、,则 即,同理可得 3 / 4 ( 2)若,则 一个向量的坐标等 于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标 . =(x2, y2)(x1, y1)=(x2x1,y2y1) ( 3)若和实数,则 . 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标 . 设基底为、,则,即 三、讲解范例: 例 1 已知 A(x1, y1), B(x2, y2),求的坐标 . 例 2 已知 =(2, 1), =(-3, 4),求 +, -, 3+4的坐标 . 例 3 已知平面上三点的坐标分别为 A(2, 1),B(1, 3), c(3, 4),求点 D 的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点 . 解:当平行四边形为 ABcD时,由得 D1=(2, 2) 当平行四边形为 AcDB 时,得 D2=(4, 6),当平行四边形为DAcB时,得 D3=(6, 0) 例 4 已知三个力 (3, 4), (2, 5), (x, y)的合力 +=,求的坐标 . 解:由题设 +=得: (3, 4)+(2, 5)+(x, y)=(0, 0) 即: (5 , 1) 4 / 4 四、课堂练习: 1若 m(3, -2)N(-5, -1)且,求 P 点的坐 标 2若 A(0, 1), B(1, 2), c(3, 4),则 2=. 3已知:四点 A(5, 1), B(3, 4), c(1
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