高一必修一数学函数总结

1 / 62 高一必修一数学函数总结 二、函数的有关概念 1函数的概念：设 A、 B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B中都有唯一确定的数 f(x)和它对应，那么就称 f： AB 为从集合 A到集合 B的一个函数记作： y=f(x)， xA 其中，x 叫做自变量， x 的取值范围 A 叫做函数的定义域；与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值，函数值的集合 f(x)| xA 叫做函数的值域 注意： 1定义域：能使函数式有意义的实数 x 的集合称为函数的定义域。 求函数的定义域时列不等式组的主要依据是： (1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零； (3)对数式的真数必须大于零； (4)指数、对数式的底必须大于零且不等于 1. 2 / 62 (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的 .那么，它的定义域是使各部分都有意义的 x的值组成的集合 . (6)指数为零底不可以等于零， (7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义 . ? ； 定义域一致 (两点必须同时具备 ) (见课本 21页相关例 2) 2值域 : 先考虑其定义域 (1)观察法 (2)配方法 (3)代换法 3. 函数图象知识归纳 (1)定义：在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x) , (xA)中的 x为横坐标，函数值 y为纵坐标的点 P(x， y)的集合 C，叫做函数 y=f(x),(x A) 的图象 C 上每一点的坐标 (x， y)均满足函数关系 y=f(x)，反过来，以满足 y=f(x)的每一组有序实数对 x、 y 为坐标的点 (x， y)，均在 C 上 . (2) 画法 A、 描点法： B、 图象变换法 常用变换方法有 三种 1) 平移变换 2) 伸缩变换 3) 对称变换 4区间的概念 区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间 无穷区间 3 / 62 区间的数轴表示 5映射 一般地，设 A、 B 是两 个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则 f，使对于集合 A 中的任意一个元素 x，在集合 B中都有唯一确定的元素 y 与之对应，那么就称对应 f： A?B为从集合 A 到集合 B 的一个映射。记作 “f ： A?B” 对于映射 f： AB 来说，则应满足： (1)集合 A 中的每一个元素，在集合 B 中都有象，并且象是唯一的； (2)集合 A 中不同的元素，在集合 B 中对应的象可以是同一个； (3)不要求集合 B中的每一个元素在集合 A中都有原象。 6.分段函数 (1)在定义域的不同部分上 有不同的解析表达式的函数。 (2)各部分的自变量的取值情况 (3)分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集 补充：复合函数 4 / 62 如果 y=f(u)(uM),u=g(x)(xA), 则 y=fg(x)=F(x)(xA) 称为 f、 g 的复合函数。 二函数的性质 1.函数的单调性 (局部性质 ) 增函数 设函数 y=f(x)的定义域为 I，如果对于定义域 I内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x1， x2，当 x1 如果对于区间 D上的任意两个自变量的值 x1， x2，当 x1 如果函数 y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数 y=f(x)在这一区间上具有 (严格的 )单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的 . (3).函数单调区间与单调性的判定方法 (A) 定义法： 1 任取 x， xD ，且 x 2 作差 f(x) f(x)； 3 变形； 4 定号； 5 下结论 5 / 62 1 2 1 2 1 2 1 2 (B)图象法 (从图象上看升降 ) (C)复合函数的单调性 复合函数 fg(x)的单调性与构成它的函数 u=g(x)， y=f(u)的单调性密切相关，其规律： “ 同增异减 ” 6 / 62 注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集 . 8函数的奇偶性 偶函数 一般地，对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x，都有 f(x)=f(x)，那么 f(x)就叫做偶函数 奇函数 一般地，对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x，都有 f( x)= f(x)，那么 f(x)就叫做奇函数 具有奇偶性的函数的图象的特征 偶函数的图象关于 y 轴对称；奇函数的图象关于原点对称 利用定义判断函数奇偶性的步骤： 1 首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称； 2 确定 f( x)与 f(x)的关系； 3 作出相应结论：若 f( x) = f(x) 或 f( x) f(x) = 0，则 f(x)是偶函数；若 f( x) = f(x) 或 f( x) f(x) = 0，则 f(x)是奇函数 7 / 62 注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数 .若对称， (1)再根据定义判定 ; (2)由 f(-x)f(x)=0 或 f(x) f(-x)=1 来判定 ; (3)利用定理，或借助函数的图象判定 . 9、函数的解析表达式 .函数的解析式是函 数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域 . 求函数的解析式的主要方法有： 1) 凑配法 2) 待定系数法 3) 换元法 4) 消参法 10函数最大值 1 利用二次函数的性质求函数的最大值 2 利用图象求函数的最大值 3 利用函数单调性的判断函数的最大值： 如果函数 y=f(x)在区间 a， b上单调递增，在区间 b， c上单调递减则函数 y=f(x)在 x=b处有最大值 f(b)； 8 / 62 如果函数 y=f(x)在区间 a， b上单调递减，在区间 b， c上单调递增则函数 y=f(x)在 x=b处有最小值 f(b)； 例题： 1.求下列函数的定义域： y? y?2.设函数 f(x)的定义域为 0， 1，则函数 f(x2)的定义域为 _ _ 3.若函数 f(x?1)的定义域为 ?2， 3，则函数 f(2x?1)的定义域是 ?x?2(x?1) ?4. 函数 ，若 f(x)?3 ，则 x= f(x)?x2(?1?x?2) ?2x(x?2)? 9 / 62 5.求下列函数的值域： y?x2?2x?3 (x?R) y?x2?2x?3 x?1,2 (3) y?x y6.已知函数 f(x?1)?x2?4x，求函数 7.已知函数 f(x)， f(2x?1)的解析式 f(x)满足 2f(x)?f(?x)?3x?4，则 f(x)= 。 8.设 f(x)是 R 上的奇函数，且当 x?0,?)时 ,f(x)?x(1,则当 x?(?,0)时 f(x)在 R 上的解析式为 9.求下列函数的单调区间： y?x2?2x?3 10 / 62 yf(x)= y?x2?6x?1 10.判断函数 y?x3?1 的单调性并证明你的结论 11.设函数 f(x)? 1?x2判断它的奇偶性并且求证： 1 f()?f(x) 2 1?xx 第三章 基本初等函数 一、指数函数 指数与指数幂的运算 1根式的概念：一般地，如果 x?a，那么 x 叫做 a的 n 次方根，其中 n1，且 nN 11 / 62 * n ? 负数没有偶次方根； 0的任何次方根都是 0，记作 0?0。 当 n 是奇数时， an?a，当 n 是偶数时， an?|a|?2分数指数幂 正数的分数指数幂的意义，规定： ?a(a?0) ?a(a?0) a?a(a?0,m,n?N,n?1)， a mn 12 / 62 m* ? mn ? 1a mn ? 1 am (a?0,m,n?N*,n?1) ? 0 的正分数指数幂等于 0， 0 的负分数指数幂没有意义 3实数指数幂的运算性质 a a?a 13 / 62 r r r?s (a?0,r,s?R)； rsrs(a)?a r r s (a?0,r,s?R)； (ab)?aa 指数函数及其性质 (a?0,r,s?R) 14 / 62 x 1、指数函数的概念：一般地，函数 y?a(a?0,且 a?1)叫做指数函数，其中 x是自变量，函数的定义域为 R 注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1 2 注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出： 在 a， b上， f(x)?ax(a?0 且 a?1)值域是 f(a),f(b)或f(b),f(a)； 若 x?0，则 f(x)?1； f(x)取遍所有正数当且仅当 x?R； 对于指数函数 f(x)?ax(a?0 且 a?1)，总有 f(1)?a； 二、对数函数 对数 x 1对数 的概念：一般地，如果 a?N(a?0,a?1)，那么数 x 叫做以 a为底 N 的对数，记作： 15 / 62 x?logaN 说明： 1 注意底数的限制 a?0，且 a?1； 2 ax?N?logaN?x； 3 注意对数的书写格式 两个重要对数： 1 常用对数：以 10为底的对数 lgN； 2 自然对数：以无理数 e?为底的对数的对数 lnN ? 指数式与对数式的互化 幂值 真数 ab N? 对数 的运算性质 16 / 62 如果 a?0，且 a?1， M?0， N?0，那么： 1 loga(M N)?logaM logaN； M ?logaM logaN； N 3 logaMn?nlogaM (n?R) 2 loga 注意：换底公式 高中数学 必修 1知识点 第一章 集合与函数概念 【】集合的含义与表示 集合的概念 集合中的元素具有确定性、互异性和无序性 . 常用数集及其17 / 62 记法 N 表示自然数集， N ?或 N?表 示正整数集， Z 表示整数集， Q 表示有理数集， R表示实数集 . 集合与元素间的关系 对象 a与集合 M的关系是 a?M，或者 a?M，两者必居其一 . 集合的表示法 自然语言法：用文字 叙述的形式来描述集合 . 列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合 . 描述法： x|x 具有的性质 ，其中 x 为集合的代表元素 . 图示法：用数轴或韦恩图来表示集合 . 集合的分类 含有有限个元素的集合叫做有限集 . 含有无限个元素的集合叫做无限集 . 不含有任何元素的集合 叫做空集 (?). 18 / 62 【】集合间的基本关系 子集、真子集、集合相等 已知集合它有 2 n A 有 n(n?1)个元素，则它有 2n个子集，它有 2n?1个真子集，它有 2n?1个非空子集， ?2非空真子集 . 【】集合的基本运算 交集、并集、补集 【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法 含绝对值的不等式的解法 一元二次不等式的解法 19 / 62 函数及其表示 【】函数的概念 函数的概念 设 A、 B是两个非空的数集，如果按照某种对应法则 f ，对于集合 A 中任何一个数 x，在集合 B ） 中都有唯一确定的 数叫做集合 那么这样的对应区间的概念及表示法 设 a,b 是两个实数，且 a ?b，满足 a?x?b 的实数 x 的集合叫做闭区间，记做20 / 62 a,b；满足 a?x?b的实数 x的集合叫做开区间，记做 (a,b)；满足 a?x?b，或 a?x?b 的实数 x 的 集合叫做半开半闭区间，分别记做 a,b)， (a,b；满足 x?a,x合分别记做 a,?),(a,?),(?,b,(?,b) 注意：对于集合 x|a? ?a,x?b,x?b 的实数 x的集 x?b与区间 (a,b)，前者 a 可以大于或等于 b，而后者必须 a?b 求函数的 定义域时，一般遵循以下原则： f(x)是整式时，定义域是全体实数 f(x)是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数 21 / 62 f(x)是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合 对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于 1 y?tanx 中， x?k? ? 2 (k?Z) 零指数幂的底数不能为零 若 f(x)是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数 的定义域的交集 22 / 62 对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知的定义域应由不等式 a? f(x)的定义域为 a,b，其复合函数 fg(x) g(x)?b 解出 对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论 由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义 求函数的值域或最值 求函数最值的常用方法和求 函数值域的方法基本上是相同的事实上，如果在函数的值域中存在一个最小数，这个数就是函数的最小值因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同求函数值域与最值的常用方法： 观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值 配方法：将函数解析式化成含有 自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值 23 / 62 判别式法：若函数 y?f(x)可以化成一个系数含有 y的关于 x 的二次方程 a(y)x2?b(y)x?c(y)?0，则在 a(y)?0 时，由于 x,y为实数，故必须有 ?b2(y)?4a(y)?c(y)?0，从而确定函 数的值域或最值 不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值 换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为 三角函数的最 值问题 反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值 数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值 函数的单调性法 【】函数的表 示法 函数的表示方法 24 / 62 表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种 解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系列表法：就是列出表格来表示两个变量之间 的对应关系图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系 映射的概念 设 A、 B是两个集合，如果按照某种对应法则 f ，对于集合 A 中任何一个元素，在集合 B中都 ）叫做集合 有唯一的元素和它对应，那么这样的对应值 函数的单调性 25 / 62 定义及判定方法 在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数 对于复合函数 y?fg(x)，令 u?g(x) ，若 y?f(u) 为增， u?g(x) 为增，则 y?fg(x)为增；若 y?f(u)为减， u?g(x)为减，则 y?fg(x)为增；若 y?f(u)为 26 / 62 增， u ?g(x)为减，则 y?fg(x)为减；若 y?f(u)为减， u?g(x)为增，则 y y?fg(x)为减 打 “” 函数 f(x)?x? a (a?0)的图象与性质 x o x f(x)分别在 (?,、 ?)上为增函数，分别在 、上为减函数 27 / 62 最大值定义 一般地，设函数 y?f(x)的定义域为 I f(x)?M ； ，如果存在实数 M 满足： 对于任意的 x?I，都有 存在 x0?I，使得 f(x0)?M那么，我们称 M 是函数 f(x) 的最大值，记作 函数 ?映射定义：设 A， B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系，使对于集合 A 中的任意一个元素 x， ? 在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应，那么就称对应f： ?B为从集合 A 到集合 B 的一个映射 ?传统定义：如果在某变化中有两个变量 x,y,并且对28 / 62 于 x 在某个范围内的每一个确定的值， ? ?定义 按照某个对应关系 f,y都有唯一确定的值和它对应。那么 y就是 x的 函数。记作 y?f(x).? 近代定义：函数是从一个数集到另一个数集的映射。 ? 定义域 ?函数及其表示函数的三要素值域 ? ? ?对应法则 ? ? ?解析法 ? ? 29 / 62 ?函数的表示方法 ?列表法 ?图象法 ?传统定义：在区间 ?a,b?上，若 a?x1?x2?b,如f(x1)?f(x2)，则 f(x)在 ?a,b?上递增 ,?a,b?是 ? ? 递增区间；如 f(x1)?f(x2)，则 f(x)在 ?a,b?上递减 ,?a,b?是的递减区间。 ?单调性 ? 导数定义：在区间 ?a,b?上，若 f(x)?0，则 f(x)在 ?a,b?上递增 ,?a,b?是递增区间；如 f(x)?0? ?a,b?是的递减区间。 ? 则 f(x)在 ?a,b?上递减 ,? ? ?最大值：设函数 y?f(x)的定义域为 I，如果存在实数 M 满足：对于任意的 x?I，都有 f(x)?M； ?函数 30 / 62 ? 函数的基本性质 ? 最值 ? 存在 x0?I，使得 f(x0)?M。则称 M是函数 y?f(x)的最大值 最小值：设函数 y?f(x)的定义域为 I，如果存在实数 N 满足：对于任意的 x?I，都有 f(x)?N； ? ? 存在 x0?I，使得f(x0)?N。则称 N是函数 y?f(x)的最小值 ? ?(1)f(?x)?f(x),x?定义域 D，则 f(x)叫做奇函数，其图象关于原点对称。 ? ?奇偶性 ?(2)f(?x)?f(x),x?定义域 D，则 f(x)叫做偶函数，其图象关于 y 轴对称。 ? 奇偶函数的定义域关于原点对称 ? 周期性：在函数 f(x) 的定义域上恒有f(x?T)?f(x)(T?0 的常数 )则 f(x)叫做周期函数 ， T 为周期； ? ? T 的最小正值叫做 f(x)的最小正周期，简称31 / 62 周期 ?描点连线法：列表、描点、连线 ?向左平移 ?个单位：y1?y,x1?a?x?y?f(x?a) ?向右平移 a个单位： y?y,x?a?x?y?f(x?a) 11?平移变换 ? 向上平移 b 个单位： x?x,y11?b?y?y?b?f(x)?向下平移 b 个单位： x1?x,y1?b?y?y?b?f(x) ?横坐标变换：把各点的横坐标 x1缩短或伸长 ? 到原来的 1/w 倍，即 x?wx?y?f(wx) 1?伸缩变换 ? 纵坐标变换：把各点的纵坐标 y伸长， 即 y1?y/A?y?f(x)? 变换法 ? 关于点 (x,y) 对称： ?2y0?y?f(2x0?x)?00?y?y1?2y0?y1?2y0?y? 32 / 62 ? 关 于 直 线 x?x0 对称：x?x1?2x0?x1?2x0?x?y?f(2x0?x)?y?y1y1?y? 对 称 变换 ? x?x1x?x? 关 于 直 线 y?y0 对称： ?1?2y0?y?f(x)?y?y?2yy1?2y0?y10? ?x?x1?1?y?f(x)? 关 于 直 线 y?x 对称：y?y1? ? ? 一、函数的定义域的常用求法： 1、分式的分母不等于零； 2、偶次方根的被开方数大于等于零； 3、对数的真数大于零； 4、指数函数和对数函数的底数大于零且不等于 1； 5、三角函数正切函数 y?tanx中 x?k? 33 / 62 ? 2 (k?Z)；余切函数 y?cotx 中； 6、如果函数是由实际意义确定的解析式，应 依据自变量的实际意义确 定其取值范围。 二、函数的解析式的常用求法： 1、定义法； 2、换元法； 3、待定系数法； 4、函数方程法；5、参数法； 6、配方法 三、函数的值域的常用求法： 1、换元法； 2、配方法； 3、判别式法； 4、几何法； 5、不等式法； 6、单调性法； 7、直接法 四、函数的最值的常用求法： 1、配方法； 2、换元法； 3、不等式法； 4、几何法； 5、单调性法 五、函数单调性的常用结论： 34 / 62 1、若 f(x),g(x)均为某区间上的增函数，则 f(x)?g(x)在这个区间上也为增函数 2、若 f(x)为增函数，则 ?f(x)为减函数 3、若 f(x)与 g(x)的单调性相同，则 y?fg(x)是增函数；若 f(x)与 g(x)的单调性不同，则 y?fg(x)是减函数。 4、奇函数在对称区间上的单调性相同，偶函数在对称区间上的单调性相反。 5、常用函数的单调性解答：比较大小、求值域、求最值、解不等式、证不等式、作函数图象。 六、函数奇偶性的常用结论： 1、如果一个奇函数在 x?0 处有定义，则 f(0)?0，如果一个函数 y?f(x)既是奇函数又是偶函数，则 f(x)?0 2、两个奇函数之和为奇函数；之积为偶函数。 3、一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数。 35 / 62 4、两个函数 y?f(u)和 u?g(x)复合而成的函数，只要其 中有一个是偶函数，那么该复合函数就是偶函数；当两个函数都是奇函数时，该复合函数是奇函数。 5、若函数 f(x)的定义域关于原点对称，则 f(x)可以表示为 f(x)? 12 f(x)?f(?x)? 12 f(x)?f(?x)，该式的特点是：右端为一个奇函数和 一个偶函数的和。 ?根式 n 为根指数， a 为被开方数 ?n?a? ?分数指数幂 ? 36 / 62 ?aras?ar?s(a?0,r,s?Q)?指数的运算 ? ?rsrs 指数函数 ?性质 ?(a)?a(a?0,r,s?Q) ? ?rrs?(ab)?ab(a?0,b?0,r?Q)? ?定义：一般地把函数 y?ax(a?0 且 a?1)叫做指数函数。 ?指数函数 ?性质：见表 1? ? ?对数： x?logaN,a 为底数， N为真数 ? ? ?loga(M?N)?logaM?logaN;?基本初等函数 ?M ?log?logaM?logaN;?a?.N?对数的运算 ? 37 / 62 性质 ?n?logaM?nlogaM;(a?0,a?1,M?0,N?0) ?对数函数 ? ?logcb? logab?(a,c?0 且 a,c?1,b?0)?换底公式： ?loga?c? ? ?对数函数 ?定义：一般地把函数 y?logax(a?0且 a?1)叫做对数 函数 ?性质：见表 1? ? ? ?幂函数定义：一般地，函数 y?x 叫做幂函数， x 是自变量， ?是常数。 ? 38 / 62 ?性质：见表 2? 函数 ?映射定义：设 A， B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系，使对于集合 A 中的任意一个元素 x， ? 在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应，那么就称对应f： ?B为从集合 A 到集合 B 的一个映射 ?传统定义：如果在某变化中有两个变量 x,y,并且对于 x 在某个范围内的每一个确定的值， ? ?定义 按照某个对应关系 f,y都有唯一确定的值和它对应。那么 y就是 x的函数。记作 y?f(x).? 近代定义：函数是从一个数集到另一个数集的映射。 ?定义域 ?函数及其表示函数 的三要素值域 ?对应法则 ?解析法 ?函数的表示方法 ?列表法 39 / 62 ?图象法 ?传统定义：在区间 ?a,b?上，若 a?x1?x2?b,如f(x1)?f(x2)， 则 f(x)在 ?a,b?上递增 ,?a,b?是 ? ? 递增区间；如 f(x1)?f(x2)，则 f(x)在 ?a,b?上递减 ,?a,b?是的递减区间。 ?单调性 ?导数定义：在区间 a,b上，若 f(x)?0，则 f(x)在 ?a,b?上递增 ,?a,b?是递增区间；如 f(x)?0? ?a,b?是的递减区间。 ? 则 f(x)在 ?a,b?上递减 ,? ?最大值：设函数 y?f(x)的定义域为 I，如果存在实数 M 满足：对于任意的 x?I，都有 f(x)?M； ?函数 ? 存在 x0?I，使得 f(x0)?M。则称 M是函数 y?f(x)的最大值函数的基本性质 ?最值 ?最小值：设函数 y?f(x)的定义域为 I，如果存在实数 N满足 ：对于任意的 x?I，都有 f(x)?N； ? 存在 x0?I，使得 f(x0)?N。则称 N是函数 y?f(x)的最小值 ? ?(1)f(?x)?f(x),x?定义域 D，则 f(x)叫做奇函40 / 62 数，其图象关于原点对称。 ?奇偶性 ?(2)f(?x)?f(x),x?定义域 D，则 f(x)叫做偶函数，其图象关于 y 轴对称。 ? 奇偶函数的定义域关于原点对称 ? 周期性：在函数 f(x) 的定义域上恒有f(x?T)?f(x)(T?0 的常数 )则 f(x)叫做周期函数， T 为周期； ? T 的最小正值叫做 f(x)的最小正周期，简称周期 ?描点连线法：列表、描点、连线 ?向左平移 ?个单位： y1?y,x1?a?x?y?f(x?a) ?向右平移 a个单位： y?y,x?a?x?y?f(x?a) ? 平 移 变 换 ? 向 上 平 移 b 个 单 位 ：x1?x,y1?b?y?y?b?f(x) 11?向下平移 b 个单位： x?x,y?11?b?y?y?b?f(x) ?横坐标变换：把各点的横坐标 x1缩短或伸长 41 / 62 ? 到原来的 1/w 倍，即 x1?wx?y?f(wx) ?伸缩变换 ?纵坐标变换：把各点的纵坐标 y 伸长， 即 y1?y/A?y?f(x)?变换法 ?2y0?y?f(2x0?x)?关于点(x0,y0)对称： ?y?y1?2y0?y1?2y0?y ?x?x1?2x0x1?2x0?x? 关 于 直 线 x?x0 对称： ?y?f(2x0?x)?y?yy?y?11?对称变换 ? x?x1x?x? 关 于 直 线 y?y0 对称： ?1?2y0?y?f(x)?y1?y?2y0y1?2y0?y?x?x1?关于直线 y?x 对称： ?y?f?1(x)?y?y1? ? ? ? 一、函数的定义域的常用求法： 1、分式的分母不等于零； 2、偶次方根的被开方数大于等于42 / 62 零； 3、对数的真数大于零； 4、指数函数和对数函数的底数大于零且不等于 1； 5、三角函数正切函数 y?tanx中 x?k? ? 2 (k?Z)；余切函数 y?cotx 中； 6、如果函数是由实际意义确定的解析式，应 依据自变量的实际意义确定其取值范围。 二、函数的解析式的常用求法： 1、定义法； 2、换元法； 3、待定系数法； 4、函数方程法；5、参数法； 6、配方法 三、函数的值域的常用求法： 1、换元法； 2、配方法； 3、判别式法； 4、几何法； 5、不等式法； 6、单调性法； 7、直接法 四、函数的最值的常用求法： 43 / 62 1、配方法； 2、换元法； 3、不等式法； 4、几何法； 5、单调性法 五、函数单调性的常用结论： 1、若 f(x),g(x)均为某区间上的增函数，则 f(x)?g(x)在这个区间上也为增函数 2、若 f(x)为增函数，则 ?f(x)为减函数 3、若 f(x)与 g(x)的单调性相同，则 y?fg(x)是增函数；若 f(x)与 g(x)的单调性不同，则 y?fg(x)是减函数。 4、奇函数在对称区间上的单调性相同，偶函数在对称区间上的单调性相反。 5、常用函数的单调性解答：比较大小、求值域、求最值、解不等式、证不等式、作函数图象。 六、函数奇偶性的常用结论： 1、如果一个奇函数在 x?0 处有定义，则 f(0)?0，如果一个函数 y?f(x)既是奇函数又是偶函数，则 f(x)?0 44 / 62 2、两个奇函数之和为奇函数；之积为偶函数。 3、一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数。 4、两个函数 y?f(u)和 u?g(x)复合而成的函数，只要其中有一个是偶函数，那么该复合函数就是偶函数；当两个函数都是奇函数时，该复合函数是奇函数。 5、若函数 f(x)的定义域关于原点对称，则 f(x)可以 表示为 11 f(x)?f(x)?f(?x)?f(x)?f(?x)，该式的特点是：右端为一个奇函数和 22 一个偶函数的和。 mn 为 根指数， a 为被 开方数 ?a? 分 数指数幂 ?rsr?s?aa?a(a?0,r,s?Q)?指数的运算 ? ?指数函数 rsrs 45 / 62 ?性质 ?(a)?a(a?0,r,s?Q)? ?(ab)r?arbs(a?0,b?0,r?Q)? ? ?x? ?指数函数 ?定义：一般地把函数 y?a(a?0 且 a?1)叫做指数函数。 ?性质：见表 1? ? ?对数： x?logaN,a 为底数， N为真数 ? ? ?loga(M?N)?logaM?logaN;?基本初等函数 ? ?logaM?logaM?logaN;?.N?对数的运算 ?性质 ? 46 / 62 ?n? ?logaM?nlogaM;(a?0,a?1,M?0,N?0)?对数函数 ? ?logcb? logab?(a,c?0 且 a,c?1,b?0)?换底公式： ?loga?c? ? ?对数函数 ?定义：一般地把函数 y?logax(a?0且 a?1)叫 做对数函数 ?性质：见表 1? ? 定义：一般地，函数 y?x?叫做幂函数， x 是自变量， ?是常数。 ?幂函数 ? 47 / 62 ?性质：见表 2? 二、函数的有关概念 1函数的概念：设 A、 B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B中都有唯一确 定的数 f(x)和它对应，那么就称 f： AB 为从集合 A到集合 B的一个函数记作： y=f(x)， xA 其中，x 叫做自变量， x 的取值范围 A 叫做函数的定义域；与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值，函数值的集合 f(x)| xA 叫做函数的值域 注意： 1定义域：能使函数式有意义的实数 x 的集合称为函数的定义域。 求函数的定义域时列不等式组的主要依据是： (1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零； (3)对数式的真数必须大于零； (4)指数、对数式的底必须大于零且不等于 1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的 .48 / 62 那么，它的定义 域是使各部分都有意义的 x的值组成的集合 . (6)指数为零底不可以等于零， (7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义 . ? ； 定义域一致 (两点必须同时具备 ) (见课本 21页相关例 2) 2值域 : 先考虑其定义域 (1)观察法 (2)配方法 (3)代换法 3. 函数图象知识归纳 (1)定义：在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x) , (xA)中的 x为横坐标，函数值 y为纵坐标的点 P(x， y)的集合 C，叫做函数 y=f(x),(x A) 的图象 C 上每一点的坐标 (x， y)均满足函数关系 y=f(x)，反过来，以满足 y=f(x)的每一组有序实数对 x、 y 为坐标的点 (x， y)，均在 C 上 . (2) 画法 A、 描点法： B、 图象变换法 常用变换方法有三种 1) 平移变换 2) 伸缩变换 3) 对称变换 4区间的概念 区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间 无穷区间 区间的数轴表示 5映射 49 / 62 一般地，设 A、 B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则 f，使对于集合 A 中的任意一个元素 x，在集合 B中都有唯一确定的元素 y 与之对应，那么就称对应 f： A?B为从集合 A 到集合 B 的一个映射。记作 “f ： A?B” 对于映射 f： AB 来说，则应满足： (1)集合 A 中的每一个元素，在集合 B 中都有象，并且象是唯一的； (2)集合 A 中不同的元素，在集合 B 中对应的象可以是同一个； (3)不要求集合 B中的每一个元素在集合 A中都有原象。 6.分段函数 (1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。 (2)各部分的自变量的取值情况 (3)分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集 补充：复合函数 如果 y=f(u)(uM),u=g(x)(xA), 则 y=fg(x)=F(x)(xA) 称为 f、 g 的复合函数。 50 / 62 二函数的性质 1.函数的单调性 (局部性质 ) 增函数 设函数 y=f(x)的定义域为 I，如果对于定义域 I内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x1， x2，当 x1 如果对于区间 D上的任意两个自变量的值 x1， x2，当 x1 如果函数 y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数 y=f(x)在这一区间上具有 (严格的 )单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的 . (3).函数单调区间与单调性的判定方法 (A) 定义法： 1 任取 x， xD ，且 x 2 作差 f(x) f(x)； 3 变形； 4 定号； 5 下结论 1 51 / 62 2 1 2 1 2 1 2 (B)图象法 (从图象上看升降 ) (C)复合函数的单调性 复合函数 fg(x)的单调性与构成它的函数 u=g(x)， y=f(u)的单调性密切相关，其规律： “ 同增异减 ” 注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集 . 52 / 62 8函数的奇偶性 偶函数 一般地，对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x，都有 f(x)=f(x)，那么 f(x)就叫做偶函数 奇函数 一般地，对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x，都有 f( x)= f(x)，那么 f(x)就叫做奇函数 具有奇偶性的函数的图象的特征 偶函数的图象关于 y 轴对称；奇函数的图象关于原点对称 利用定义判断函数奇偶性的步骤： 1 首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称； 2 确定 f( x)与 f(x)的关系； 3 作出相应结论：若 f( x) = f(x) 或 f( x) f(x) = 0，则 f(x)是偶函数；若 f( x) = f(x) 或 f( x) f(x) = 0，则 f(x)是奇函数 注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件首先看函数的定义域是否关于 原点对称，若不对称则函53 / 62 数是非奇非偶函数 .若对称， (1)再根据定义判定 ; (2)由 f(-x)f(x)=0 或 f(x) f(-x)=1 来判定 ; (3)利用定理，或借助函数的图象判定 . 9、函数的解析表达式 .函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域 . 求函数的解析式的主要方法有： 1) 凑配法 2) 待定系数法 3) 换元法 4) 消参法 10函数最大值 1 利用二次函数的性质求函数的最大值 2 利用图象求函数的最大值 3 利用函数单调性的判断函数的最大值： 如果函数 y=f(x)在区间 a，