高中数学复数专题知识点整理和总结人教版

1 / 30 高中数学复数专题知识点整理和总结人教版 专题二 复数 一基本知识 【 1】复数的基本概念 形如 a + bi 的数叫做复数；复数的单位为 i，它的平方等于 1，即 i2?1.其中 a叫做复数的实部， b 叫做虚部 实数：当 b = 0时复数 a + bi 为实数 虚数：当 b?0 时的复数 a + bi为虚数； 纯虚数：当 a = 0 且 b?0时的复数 a + bi为纯虚数 两个复数相等的定义： a?bi?c?di?a?c 且 b?d特别地 a?bi?0?a?b?0 共轭复数： z?a?bi 的共轭记作 ?a?bi； 2 / 30 复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫复平面；z?a?bi，对应点坐标为 p?a,b?； 复数的模：对于复数 z?a? bi，把 z?z 的模； 【 2】复数的基本运算 设 z1?a1?b1i，z2?a2?b2i 加 法 ： z1?z2?a1?a2?b1?b2?i ； 减 法 ：z1?z2?a1?a2?b1?b2?i； 乘法： z1?z2?a1a2?b1b2?a2b1?a1b2?i 特别 z?a2?b2。 123564 幂运算： i?ii?1i?ii?1i?ii?1? 【 3】复数的化简 c?diz?；的化简就是通过分母实数 化的方法将分母 a?bi化为实数： z? 3 / 30 c?dic?dia?bi?ac?bd?ad?bc?i ?22 a?bia?bia?bia?b 对于 z? c?dicd ?a?b?0?，当 ?时 z 为实数；当 z 为纯虚数是 z 可设为 a?biabc?diz?xi 进一步建立方程求解 a?bi 二 例 题分析 【例 1】已知 z?a?1?b?4?i，求 当 a,b为何值时 z 为实数 当 a,b为何值时 z 为纯虚数 当 a,b 为何值时 z 为虚数 4 / 30 当 a,b满足什么条件时 z 对应的点在复平面内的第二象限。 【变式 1】若复数 z?(x2?1)?(x?1)i 为纯虚数，则实数 x 的值为 A ?1 B 0 C1 D ?1 或 1 【例 2】已知 z1?3?4i； z2?a?3?b?4?i，求当 a,b 为何值时 z1=z2 【例 3】已知 z?1?i，求， z?； 【变式 1】复数 z 满足 z? 2?i ，则求 z的共轭 1?i 【变式 2】 已知复数 z? A. 5 / 30 ，则 z?z= 11 B. 42 【例 4】已知 z1?2?i， z2?3?2i 求 z1?z2 的值； 求 z1?z2的值； 求 z1?z2. 【变式 1】已知复数 z满足 ?z?2?i?1?i，求 z 的模 . 【变式 2】若复数 ?1?ai?是纯虚数，求复数 1?ai的模 . 【例 5】下面是关于复数 z?的真命题为 2 的四个命题：其中 ?1?i 2 p1:z?2p2:z2?2ip3:z 的共轭复数为 1?ip4:z 的虚部为 ?1 (A)p2,p3(B)p1,p2(C)p?,p? 6 / 30 (D)p?,p? a?3i ， ?a?R? 1?2i 若 z 为实数，求 a 的值 当 z为纯虚，求 a的值 . a1?i?【变式 1】设 a 是实数，且是实数，求 a的值 . 1?i2 y?3i 【 变式 2 】若 z?x,y?R?是 实数， 则实数 xy 的值是 . 1?xi 【例 7】复数 z?cos3?isin3 对应的点位于第 象限 7 / 30 【例 6】若复数 z? 【变式 1】 i 是虚数单位 ,(A i 【变式 2】已知 Z =2+i,则复数 z=1 i 1?i4 )等于 ( ) 1-i B -i C 1 D -1 -1+3i (B)1-3i (C)3+i (D)3-i 【变式 3】 i 是虚数单位，若 1?7i 8 / 30 ?a?bi(a,b?R)，则乘积 ab的值是 2?i 15 3 3 15 【例 8】复数 z? 7?i 3?i = 2?i 2?i ?2?i ?2?i 【变式 4】已知 i 是虚数单位， 2i3 1?i ? 1?i ?1?i 1?i ?1?i 【变式 5】 .已知 i 是虚数单位，复数 1?3i 1?i 9 / 30 = 已知 i 是虚数单位， 复数 ?1?3i 1?2i ?已知 i是虚数单位，则 i3?i?1?i?1 ? ） ） 【 1】复数的基本概念 形如 a + bi 的数叫做复数；复数的单位为 i，它的平方等于 1，即 i2?1.其中 a叫做复数的实 部， b 叫做虚部 实数：当 b = 0时复数 a + bi为实数 虚数：当 b?0时的复数 a + bi为虚数； 纯虚数：当 a = 0 且 b?0时的复数 a + bi为纯虚数 10 / 30 两个复数相等的定义： a?bi?c?di?a?c 且 b?d特别地 a?bi?0?a?b?0 共轭复数： z?a?bi 的共轭记作 ?a?bi； 复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫复平面；z?a?bi，对应点坐标为 p?a,b?； 复数的模：对于复数 z?a? bi，把 z?z的模； 【 2】复数的基本运算 设 z1?a1?b1i， z2?a2?b2i 加法： z1?z2?a1?a2?b1?b2?i； 减法： z1?z2?a1?a2?b1?b2?i； 11 / 30 乘法： z1?z2?a1a2?b1b2?a2b1?a1b2?i 特别 z?a2?b2。 幂运算： i1?ii2?1i3?ii4?1i5?ii6?1? 【 3】复数的化简 c?di；的化简就是通过分母实数化的方法将分母 z?a?bi c?dic?dia?bi?ac?bd?ad?bc?i 化 为 实 数 ：z? ?a?bia?bia?bia2?b2 对于 z?c?dicd?a?b?0?，当 ?时 z为实数；当 z为纯虚数是 z可设为 a?biab c?diz?xi 进一步建立方程求解 a?bi z?a?3i?a?R?1?2i， 【例 4】 若复数 (1)若 z为实数，求 a 的值 (2)当 z 为纯虚，求 a 的值 . a1?i【变式 1】设 a 是实数，且是实数，求 a的值 . ?1?i2 12 / 30 y?3i【变式 2】若 z?x,y?R?是实数，则实数 xy 的值是 . 1?xi 【例 7】复数 z?cos3?isin3 对应的点位于第 象限 【变式 1】 i 是虚数单位 ,( A i 【变式 2】已知 1?i4)等于 ( ) 1-iB -i C 1 Z=2+i,则复数 z=1 i D -1 -1+3i (B)1-3i (C)3+i (D)3-i 【变式 3】 i 是虚数单位，若 1?7i?a?bi(a,b?R)，则乘积 ab的值是 2?i 15 3 3 157?i【例 8】复数 z?= 3?i 2?i 2?i ?2?i ?2?i 13 / 30 2i3 【变 式 4】已知 i 是虚数单位， ? 1?i 1?i ?1?i 1?i ?1?i 【变式 5】 .已知 i 是虚数单位，复数 A2?iB2?iC?1?2iD?1?2i 【变式 6】 已知 i 是虚数单位，复数 (A)1 i (B)5 5i (C)-5-5i (D)-1 i i3?i?1? 【变式 7】 .已知 i是虚数单位，则 i?1?1?3i? 1?2i1?3i= 1?i (A)?1 (B)1 (C)?i (D)i 专题二 复数 一基本知识 14 / 30 【 1】复数的基本概念 形如 a + bi 的数叫做复数；复数的单位为 i，它的平方等于 1，即 i2?1.其中 a叫做复数的实部， b 叫做虚部 实数：当 b = 0时复数 a + bi为实数 虚数：当 b?0时的复数 a + bi为虚数； 纯虚数：当 a = 0 且 b?0时的复数 a + bi为纯虚数 两个复数相等的定义： a?bi?c?di?a?c 且 b?d特别地 a?bi?0?a?b?0 共轭复数： z?a?bi 的共轭记作 ?a?bi； 复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫复平面；z?a?bi，对应点坐标为 p?a,b?； 复数的模：对于复数 z?a? 15 / 30 bi，把 z?z的模； 【 2】复数的基本运算 设 z1?a1?b1i， z2?a2?b2i 加法： z1?z2?a1?a2?b1?b2?i； 减法： z1?z2?a1?a2?b1?b2?i； 乘法： z1?z2?a1a2?b1b2?a2b1?a1b2?i 特别 z?a2?b2。 123456 幂运算： i?ii?1i?ii?1i?ii?1? 【 3】复数的化简 c?diz?；的化简就是通过分母实数化的方法将分母 a?bi 化为实数：z?c?dic?dia?bi?ac?bd?ad?bc?i ?22a?bia?bia?bia?b 16 / 30 对于 z?c?dicd?a?b?0?，当 ?时 z为实数；当 z为纯虚数是 z可设为 a?biab c?di?xi进一步建立方程求解 a?bi 二 例题分析 z? 【例 1】已知 z?a?1?b?4?i，求 当 a,b为何值时 z 为实数 当 a,b为何值时 z 为纯虚数 当 a,b为何值时 z 为虚数 当 a,b满足什么条件时 z 对应的点在复平面内的第二象限。 【变式 1】若复数 z?(x2?1)?(x?1)i 为纯虚数，则实数 x 的值为 A ?1 B 0 C1 D ?1或 1 17 / 30 【例 2】已知 z1?3?4i； z2?a?3?b?4?i，求当 a,b 为何值时 z1=z2 【例 3】已知 z?1?i，求， z?； 【变式 1】复数 z 满足 z?2?i，则求 z 的共轭 1?i 【变式 2】 已知复数 z? A. ，则 z?z= 11 B. 42 【例 4】已知 z1?2?i， z2?3?2i 求 z1?z2 的值； 求 z1?z2 的值； 求 z1?z2. 18 / 30 【变式 1】已知复数 z满足 ?z?2?i?1?i，求 z 的模 . 【变式 2】若复数 ?1?ai?是纯虚数，求复数 1?ai的模 . a?3i， ?a?R?1?2i 若 z 为实数，求 a 的值 当 z 为纯虚，求 a 的值 . a1?i?【变式 1】设 a 是实数，且是实数，求 a的值 . 1?i2 y?3i【变式 2】若 z?x,y?R?是实数，则实数 xy 的值是 . 1?xi 【例 7】复数 z?cos3?isin3 对应的点位于第 象限 2【例 6】若复数 z? 【变式 1】 i 是虚数单位 ,( A i 19 / 30 【变式 2】已知 Z=2+i,则复数 z=1 i1?i4)等于 ( ) 1-iB -i C 1 D -1 -1+3i (B)1-3i (C)3+i (D)3-i 1?7i?a?bi(a,b?R)，则乘积 ab的值是 2?i 15 3 3 15 【变式 3】 i 是虚数单位，若 7?i= 3?i 2?i 2?i ?2?i ?2?i 【例 8】复数 z? 2i3 ? 【变式 4】已知 i是虚数单位， 1?i 1?i ?1?i 1?i ?1?i 20 / 30 1?3i【变式 5】已知 i是虚数单位，复数 = 1?i ?i ?i C.?1?2i D.?1?2i ?1?3i? 【变式 6】已知 i 是虚数单位，复数 1?2i (A)1 i (B)5 5i (C)-5-5i (D)-1 i i3?i?1? 【变式 7】已知 i是虚数单位，则 i?1 (A)?1 (B)1 (C)?i (D)i 专题二 复数 【 1】复数的基本概念 形如 a + bi 的数叫做复数；复数的单位为 i，它的平方等于 1，即 i2?1.其中 a叫做复数的实部， b 叫做虚部 实数：当 b = 0时复数 a + bi为实数 21 / 30 虚数：当 b?0时的复数 a + bi为虚数； 纯虚数：当 a = 0 且 b?0时的复数 a + bi为纯虚数 两个复数相等的定义： a?bi?c?di?a?c 且 b?d特别地 a?bi?0?a?b?0 共轭复数： z?a?bi 的共轭记作 ?a?bi； 复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫复平面；z?a?bi，对应点坐标为 p?a,b?； 复数的模：对于复数 z?a? bi，把 z?z的模； 【 2】复数的基本运算 设 z1?a1?b1i， z2?a2?b2i 加法： z1?z2?a1?a2?b1?b2?i； 22 / 30 减法： z1?z2?a1?a2?b1?b2?i； 乘法： z1?z2?a1a2?b1b2?a2b1?a1b2?i 特别 z?a2?b2。 123456 幂运算： i?ii?1i?ii?1i?ii?1? 【 3】复数的化简 c?diz?；的化简就是通过分母实数化的方法将分母 a?bi 化为实数：z?c?dic?dia?bi?ac?bd?ad?bc?i ?22a?bia?bia?bia?b c?dicd?a?b?0?，当 ?时 z为实数；当 z 为纯虚数是 z 可设为a?biab c?diz?xi 进一步建立方程求解 a?bi 对于 z? 数 学 知 识 点 总 结 23 / 30 引言 1.课程内容： 必修课程由 5个模块组成： 必修 1：集合、函数概念与基本初等函数 必修 2：立体几何初步、平面解析几何初步。 必修 3：算法初步、统计、概率。 必修 4：基本初等函数、平面向量、三角恒等变换。 必修 5：解三角形、数列、不等式。 以上是每一个高中学生所必须学习的。 上述内容覆盖了高中阶段传统的数学基础知识和基本 技能的主要部分，其中包括集合、函数、数列、不等式、解三角形、立体几何初步、平面解析几何初步等。不同的是在保证打好基础的同时，进一步强调了这些知识的发生、发展过程和实际应用，而不在技巧与难度上做过高的要求。 此外，基础内容还增加了向量、算法、概率、统计等内容。 选修课程有 4 个系列： 系列 1：由 2个模块组成。 24 / 30 选修 1 1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、导数及其应用。 选修 1 2：统计案例、推理 与证明、数系的扩充与复数、框图 系列 2：由 3个模块组成。 选修 2 1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、 空间向量与立体几何。 选修 2 2：导数及其应用，推理与证明、数系的扩 充与复数 选修 2 3：计数原理、随机变量及其分布列，统计案例。 系列 3：由 6个专题组成。 选修 3 1：数学史选讲。 选修 3 2：信息安全与密码。 选修 3 3：球面上的几何。 选修 3 4：对称与群。 选修 3 5：欧拉公式与闭曲面分类。 选修 3 6：三等分角与数域扩充。 系列 4：由 10 个专题组成。 选修 4 1：几何证明选讲。 选修 4 2：矩阵与变换。 选修 4 3：数列与差分。 选修 4 4：坐标系与参数方程。 选修 4 5：不等式选讲。 选修 4 6：初等数论初步。 25 / 30 选修 4 7：优选法与试验设计初步。 选修 4 8：统筹法与图论初步。 选修 4 9：风险与决策。 选修 4 10：开关电路与布尔代数。 2重难点及考点： 重点：函数，数列，三角函数，平面向量，圆锥曲线，立体几何，导数 难点：函数、圆锥曲线 高考相关考点： 集合与简易逻辑 :集合的概念与运算、简易逻辑、充要条件 函数：映射与函数、函数解析式与定义域、值域与最值、反函数、三大性质、函数图象、指数与 指数函数、对数与对数函数、函数的应用 数列：数列的有关概念、等差数列、等比数列、数列求和、数列的应用 26 / 30 三角函数：有关概念、同角关系与诱导公式、和、差、倍、半公式、求值、化简、证明、三角函 数的图象与性质、三角函数的应用 平面向量：有关概念与初等运算、坐标运算、数量积及其应用 不等式：概念与性质、均值不等式、不等式的证明、不等式的解法、绝对值不等式、不等式的应 用 直线和圆的方程：直线的方程、两直线的位置关系、线性规划、圆、直线与圆的位置关系 圆锥曲线方程：椭圆、双曲线、抛物线、直线与圆锥曲线的位置关系、轨迹问题、圆锥曲线的应 用 27 / 30 直线、平面、简单几何体：空间直线、直线与平面、平面与平面、棱柱、棱锥、球、空间向量 排列、组合和概率：排列、组合应用题、二项式定理及其应用 概率与统计：概率、分布列、期望、方差、抽样、正态分布 导数：导数的概念、求导、导数的应用 复数：复数的概念与运算 高中数学 必修 1知识点 第一章 集合与函数概念 集合 【】集合的含义与表示 集合的概念 集合中的元素具有确定性、互异性和无序性 . 常用数集及其记法 N 表示自然数集， N?或 N?表示正整数集， Z 表示整数集， Q表示有理数集， R 表示实数集 . 集合与元素间的