高数下册中期总结

1 / 60 高数下册中期总结 高数小结 一、微分方程复习要点 解微分方程时，先要判断一下方程是属于什么类型，然后按所属类型的相应解法 求出其通解 . 一阶微分方程的解法小结： 二阶微分方程的解法小结： ? 非齐次方程 y?py?qy?f(x)的特解 y 的形式为： 2 / 60 主要 : 一阶 1、可分离变量方程、线性微分方程的求解； 2、二阶常系数齐次线性微分方程的求解； 3、二阶常系数非齐次线性微分方程的特解 二、多元函数微分学复习要点 一、偏导数的求法 1、显函数的偏导数的求法 在求 ?z?z 时，应将 y 看作常量，对 x 求导，在求时，应将 x 看作常量，对 y 求导，所运 ?x?y 用的是一元函数的求导法则与求导公式 . 2、复合函数的偏导数的求法 设 z?f?u,v?， u?x,y?， v?x,y?，则 ?z?z?u?z?v?z?z?u?z?v 3 / 60 ?， ? ?x?u?x?v?x?y?u?y?v?y 几种特殊情况： 1） z?f?u,v?， u?x?， v?x?，则 2） z?f dzdz?u?zdv? dxdu?x?vdx?f?v ?x,v?， v?x,y?，则 ?x?x?v?x， ?z?f ?z?f?v? ?y?u?y 3） z?f?u?， u?x,y?则 3、隐函数求偏导数的求法 1）一个方程的情况 ?zdz?u?zdz?u?， ?xdu?x?ydu?y 设 z?z?x,y?是由方程 F?x,y,z?0 唯一确定的隐函数，则 F?z 4 / 60 ?x ?xFz ?Fz ?z ?0?， ? ?y FyFz ?Fz ?0? 或者视 z?z?x,y?，由方程 F?x,y,z?0 两边同时对 x(或 y)求导解出 5 / 60 2）方程组的情况 由方程组 ? ?z?z(或 ). ?x?y ?F?x,y,u,v?0?z?z 两边同时对 x(或 y)求导解出 (或 )即可 . ?x?y?G?x,y,u,v?0 二、全微分的求法 方法 1：利用公式 du? ?u?u?u dx?dy?dz ?x?y?z 方法 2：直接两边同时求微分，解出 du 即可 .其中要注意应用微分形式的不变性： ?z?z du?dv?v?u 6 / 60 dz? ?z?z?dx?dy ?y?x 三、空间曲线的切线及空间曲面的法平面的求法 ?x?t? ? 1）设空间曲线 的参数方程为 ?y?t?，则当 t?t0时，在曲线上对应点 ?z?t? ? P0?x0,y0,z0? 处 的 切 线 方 向 向 量 为T?t0?,?t0?,?t0?，切线方程为 7 / 60 ? x?x0y?y0z?z0 ? ?t0?t0?t0 法 平 面 方 程为 ?t0?x?x0?t0?y?y0?t0?z?z0?0 2）若曲面 ?的方程为 F?x,y,z?0，则在点 P0?x0,y0,z0?处的法向量 ? n?Fx,Fy,Fz? P0 ，切平面方程为 Fx?x0,y0,z0?x?x0?Fy?x0,y0,z0?y?y0?Fz?x0,y0,z0?8 / 60 z?z0?0 法线方程为 x?x0y?y0z?z0 ? Fxx0,y0,z0Fyx0,y0,z0Fzx0,y0,z0 若曲面 ?的方程为 z?f?x,y?，则在点 P0?x0,y0,z0?处的法向量 ? n?fx?x0,y0?,fy?x0,y0?,?1?，切平面方程为 fx?x0,y0?x?x0?fy?x0,y0?y?y0?z?z0?0 法线方程为 x?x0y?y0z?z0 ? fxx0,y0fyx0,y0?1 9 / 60 四、多元函数极值的求法 1 无条件极值的求法 设函数 z?f?x,y?在点 P0?x0,y0?的某邻域内具有二阶连续偏导数，由 fx?x,y?0， fy?x,y?0，解出驻点 ?x0,y0? ，记 A?fxx?x0,y0?， B?fxy?x0,y0?， C?fyy?x0,y0?. C?B1）若 A 时有极小值 . 2） 若 AC?B2?0，则 f?x,y?在点 ?x0,y0?处无极值 . 3） 若 AC?B?0，不能判定 f?x,y?在点 ?x0,y0?处是否取得极值 . 2 10 / 60 2 ?0，则 f?x,y?在点 ?x0,y0?处取得极值，且当 A?0时有极大值， 当 A?0 2 条件极值的求法 函数 z?f?x,y?在满足条件 ?x,y?0 下极值的方法如下： 1）化为无条件极值：若能从条件 ?x,y?0解出 y代入 f?x,y?中，则 使函数 z?z(x,y)成为一元函数无条件的极值问题 . 2）拉格朗日乘数法 作辅助函数 F?x,y?f?x,y?x,y?，其中 ?为参数，解方程组 高数小结 一、微分方程复习要点 11 / 60 解微分方程时，先要判断一下方程是属于什么类型，然后按所属类型的相应解法 求出其通解 . 一阶微分方程的解法小结： 二阶微分方程的解法小结： 非齐次方程 y?py?qy?f(x)的特解 y? 的形式为： 主要 : 一阶 1、可分离变量方程、线性微分方程的求解； 2、二阶常系数齐次线性微分方程的求解； 3、二阶常系数非齐次线性微分方程的特解 二、多元函数微分学复习要点 一、偏导数的求法 1、显函数的偏导数的求法 在求 12 / 60 ?z?x 时，应将 y看作常量，对 x求导，在求 ?z?y 时，应将 x看作常量，对 y求导，所运 用的是一元函数的求导法则与求导公式 . 2、复合函数的偏导数的求法 设 z?f?u,v?， u?x,y?， v?x,y?，则 ?z?x ?z?u ?u?x ?z?v 13 / 60 ?v?x ?， ?z?y ? ?z?u ? ?u?y ? ?z?v ? ?v?y 14 / 60 几种特殊情况： 1） z?f?u,v?， u?x?， v?x?，则 2） z?f?x,v?， v?x,y?，则 ?z?x dzdx?f?vdzdu?u?x ?z?v ?dvdx ?v?y ? ?f?x ?v?x 15 / 60 ， ?z?y ? ?f?u ? 3） z?f?u?， u?x,y?则 3、隐函数求偏导数的求法 1）一个方程的情况 ?z?x ? dzdu ? ?u?x 16 / 60 ， ?z?y ? dzdu ? ?u?y 设 z?z?x,y?是由方程 F?x,y,z?0 唯一确定的隐函数，则 ?z?x FxFz ? ?Fz 17 / 60 ?0?， ?z?y ? FyFz ?Fz ?0? 或者视 z?z?x,y?，由方程 F?x,y,z?0 两边同时对 x(或 y)求导解出 2）方程组的情况 ?z?x (或 18 / 60 ?z?y ). ?F?x,y,u,v?0?z?z )即可 . 由方程组 ?两边同时对 x(或 y)求导解出 (或 ?x?y?Gx,y,u,v?0? 二、全微分的求法 方法 1：利用公式 du? ?u?x dx? ?u?y dy? ?u?z 19 / 60 dz 方法 2：直接两边同时求微分，解出 du 即可 .其中要注意应用微分形式的不变性： ?z du?u? dz? ?z?dx?x? ?z?v?z?y dv dy 三、空间曲线的切线及空间曲面的法平面的求法 20 / 60 ?x?t? ? 1）设空间曲线 的参数方程为 ?y?t?，则当 t?t0时，在曲线上对应点 ?z?t?P0?x0,y0 ? ,z0?处的切线方向向量为 T?t0?,? ? ?t0?,?t0?，切线方程为 x?x0 ?t0? 21 / 60 ? y?y0 ? ?t0? ? z?z0 ? ?t0? 22 / 60 法平面方程为 ?t0?x?x0?t0?y?y0?t0?z?z0?0 2）若曲面 ?的方程为 F?x,y,z?0，则在点 P0?x0,y0,z0?处的法向量 ?n? ?F x ,Fy,Fz ? P0 ，切平面方程为 23 / 60 Fx?x0,y0,z0?x?x0?Fy?x0,y0,z0?y?y0?Fz?x0,y0,z0?z?z0?0 法线方程为 x?x0 Fx?x0,y0,z0? ? y?y0 Fy?x0,y0,z0? ? z?z0 Fz?x0,y0,z0? 若曲面 ?的方程为 z?f?x,y?，则在点 P0?x0,y0,z0?处的法向量 24 / 60 ? n?fx?x0,y0?,fy?x0,y0?,?1?，切平面方程为 fx?x0,y0?x?x0?fy?x0,y0?y?y0?z?z0?0 法线方程为 x?x0fx?x0,y0? ? y?y0fy?x0,y0? ?z?z0?1 四、多元函数极值的求法 1 无条件极值的求法 设函数 z?f?x,y?在点 P0?x0,y0?的某邻域内具有二阶连续偏导数，由 fx?x,y?0， fy 25 / 60 ?x,y?0，解出驻点 ? x0,y0 ?，记 A?fxx ?x0 ,y0 ?， B?fxy ?x0 ,y0 ?， 26 / 60 C?fyy ?x0,y0?. 2 C?B1）若 A?0，则 f ?x ,y?在点 ?x0,y0?处取得极值，且当 A?0 时有极大值，当 A?0 时有极小值 . 2） 若 AC?B2?0，则 f?x,y?在点 ?x0,y0?处无极值 . 3） 若AC?B 2 ?0，不能判定 f 27 / 60 ?x ,y?在点 ?x0,y0?处是否取得极值 . 2 条件极值的求法 函数 z?f?x,y?在满足条件 ?x,y?0 下极值的方法如下： 1）化为无条件极值：若能从条件 ?x,y?0解出 y代入 f?x,y?中，则使函数 z?z(x,y)成为一元函数无条件的极值问题 . 2）拉格朗日乘数法 作辅助函数 F?x,y?f?x,y?x,y?，其中 ?为参数，解方程组 小学二年级数学下册中期考试和半期工作总结 本次数学中期考试试题紧密联系课本基础知识而比课本知识深入了一层，而且试题贴近实际生活，尤其是让学生用所学知识解决实际生活中的问题较好。本次试题灵活性特强，这也正是适应了当前素质教学的要求。回顾半期教学工作和28 / 60 期中考试，我总结以下几点： 卷面和成绩分析 从试卷卷面情况来看，考查的知识面较广，类型比较多样灵活，同时紧扣课本、贴近生活。既考查了学生对基础知识把握的程度，又考查了学生的实际应用、计算、思维以及解决问题的能力，不仅顾及了各个层次学生的水平，又有所侧重。这份试题尤其注重对基础知识的检测，以及学生综合运用知识的能力。总的来讲，该份试题比较浅显，学生对所考的知识点都基本掌握。题目难度适中并偏向容易。 全班 23 人参加考试，平均分 72 5 分，优秀人数是 7 人、及格人数是 17人、不及格 6人。 哪些地方错误多？为什么？ 1，比较大小错误多，原因在单位没有统一就比较。 2：按从小到大的顺序排错误多，这些题目如果是单个单个的出现，那学生完成起来的正确率远远高于试卷中的题目。原因在学生对知识的整合能力比较弱。 29 / 60 3，选择题错误多，原因在学生判断能力差。 4，计算的错误率高，部分学生达一半。原因在不细心，不检查。 有的比较马虎，看错符号，忘记进位等。 5，解决问题错误多，部分学生错误的原因在于没审清楚题目的意思，还有学生计算错误多，如李浪和王敏两名同学 4道算式对计算错。审题不清是学生自 主审题过程中，容易犯的错误。 ，哪些地方教学需改进？采取措施。 ，不仅要加强学生对基本知识的掌握，而且要加强训练学生对基本知识的灵活运用。 2，注重口算，提高口算能力。 要采用多种形式进行练习。 .孩子们的计算能力要提高。 3，学生的审题能力需要提高和加强。二年级学生理解能力30 / 60 尚有待提高。考试已不再读题，但还有一部分学生需要适当点播。今后教学中要进行有针对性地训练。 4，检查对错的习惯需要培养。大部分孩子还不能自己主动检查，平时的教学重要多提醒，多练习。 培养做完后检查错误的好习惯。 5，加强个别辅导，对学困生不放弃，勤提点。 通过这次考试，我也找到了自己的不足之处，所以在今后的工作中，我会更加努力搞好教学工作，让学生的整体水平更进一步。 第四讲 向量代数、多元函数微分与空间解析几何 一、理论要求 1.向量代数 理解向量的概念 了解两个向量平行、垂直的条件 向量计算的几何意义与坐标表示 理解二元函数的几何意义、连续、极限概念，闭域性质 理解偏导数、全微分概念 能熟练求偏导数、全微分 熟练掌握复合函数与隐函数求导法 31 / 60 理解多元函数极值的求法，会用 Lagrange乘数法求极值 掌握曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线的求法 会求平面、直线方程与点线距离、点面距离 2.多元函数微分 3.多元微分应用 4.空间解析几何 二、题型与解法 A.求偏导、全微分 (x)有二阶连续偏导， z?f(exsiny)满足 zxx?zyy?ez， 求 2x f(x) 解： f?f?0?f(u)?c1eu?c2e?u 1?f(xy)?y?(x?y)，求 x?x?y 32 / 60 ?y(x),z?z(x)由 z?xf(x?y),F(x,y,z)?0 决定，求dz/dx B.空间几 何问题 4.求和。 解： x/ 2 x?y?z?a上任意点的切平面与三个坐标轴的截距之 x0?y/y0?z/z0?a?d?a 2 2 5.曲面 x?2y?3z?21 在点 (1,?2,2)处的法线方程。 C.极值问题 33 / 60 222 6.设 z?z(x,y)是由 x?6xy?10y?2yz?z?18?0 确定的函数， 求 z?z(x,y)的极值点与极值。 三、补充习题 xy?2z ?f(xy,)?g(),求 yx?x?y ?f(xy, xy?z?g(),求 yx?x ?u,u?lnx?y,?arctan ?22 34 / 60 y ,求 dz x 第五讲 多元函数的积分 一、理论要求 1.重积分 2.曲线积分 3.曲面积分 二、题型与解法 A.重积分计算 熟悉二、三重积分的计算方法 ?b2(x)? f(x,y)dxdy?adx?yy1(x) f(x,y)dy D 35 / 60 ? ?2?r2(?) ?1d?r1(?)f(r,?)rdr? by2? ?(x)z2(x,y) adx?y1(x)dy?z1(x,y)f(x,y,z)dz? f(x,y,z)dxdydz? ?V ?z2z1dz?2(z)r2(z,?)?1(z)d?r1(z,?) f(r,?,z)rdr ? 36 / 60 ?2(?)r2(?,?) ,?)r2 ?d?1(?)d?r1(?,?)f(r,?sin?dr 会用重积分解决简单几何物理问题 z?f(x,y)?A? ?z22 D x?zydxdy 理解两类曲线积分的概念、性质、关系，掌握两类曲线积分的计算方法 ?L:y?y(x)?b f(x,y(x)?y2? axdx? 37 / 60 L f(x,y)dl?L:? ?x?x(t) ?y?y(t)? f(x(t),y(t)x2t?y2tdt ? L:r?r(?)?f(rcos?,rsin?)r2?r2d? 熟悉 Green公式，会用平面曲线积分与路径无关的条件 理解两类曲面积分的概念、关系 熟悉 Gauss与 Stokes公式，会计算两类曲面积分 ? 38 / 60 S:z?z(x,y)f(x,y,z)dS?f(x,y,z(x,y)?z22 x?zydxdyGauss:?Dxy? SE?dS?EdV(通量，散度） Stokes:?V ?LF?dr?S (?F? )?dS(旋度） 2 2 ? (x?y)dV,?为平面曲线 ?2z 39 / 60 绕 z 轴旋转一周与 z=8 ?x?的围域。 解： I? ? 8 22 82?2z dz?x2 ?y2?2z (x?y)dxdy?0 dz?0 d? 40 / 60 r2rdr? 1024? 3 ? ? x2?y24a2?x2?y2 2 D dxdy,D 为 y?a?a2?x2(a?0)与 y?x围域。 Taylor 与 Maclaulin 展开 41 / 60 了解 Fourier 级数概念与 Dirichlet 收敛定理 会求 ?l,l的 Fourier级数与 0,l正余弦级数 序言：除了级数与三重积分高数下的知识基本都在这里了，而且都是考试必备知识，所 以哪个知识点没弄懂一定要针对性地找点题目弄懂！ 第八章向量代数与空间解析几何 ? 1.平面的点法式方程：设平面过 P,法向量 n?A,B,C?，则平面方程为： A?x?x0?B?y?y0?C?z?z0?0 ? 2.平面法向量一般求法：一般法向量 n 与俩向量n1?x1,y1,z1?， n2?x2,y2,z2?，则 42 / 60 ?ij?n?n1?0n?n?nxyz ?，如果不会用行列式就用高中方法求法向量即由求 ?12111 n?n?0?2 x2y2z 第九章多元函数微分学 1.二元函数： f(x,y)?0 2.二元函数的极限： x?x0, y?y0 limf(x,y) 求法与一元基本一致，下判断其存在性： 一般找俩条特殊路线，若二者极限不相等则二重极限不存在，即常取 y?kx， y?kx2等简单路线，若结果与 K 有关则极限不存在 例 .判断下列二重极限是否存在，存在并求其值 x 43 / 60 x2yx2y1x?y lim lim(1?) limx?0x2?y2x?0x4?y2x?xy?0y?0y?0 2 kx2k =解：取 y?kx，则原式 =lim，与 K 有 关，故极限不存在 x?0(1?k2)x21?k2kx4k 取 y?kx。则原式=lim=，与 K 有关，故极限不存在 x?0(1?k2)x41?k2 2 此题无法利用上述方法判断其是否存在，故直接求 44 / 60 1?x(?1)1?xx?y lim(1?) 原式 = lim(1?)= x?=e?1 xx?xy?0y?0 3.二元函数连续性： f(x,y)在 p0(x0,y0)连续等价于 x?x0 y?y0 ?x limf(x,y)?f(x0,y0) 4.偏导数求法：对 x 求则把 y看成常数，反之亦然 例 . z?ecosy 45 / 60 2x ?z?z?2z?2z, ?x?y?x?y?x?y ?z?z2x ?e2xsiny ?2ecosy 解 . ?y?x ?z )2 ?(2e2xcosy) ?z ?2e2xsiny ?x?y?y?y ?( 5.全微分几个概念间关系 46 / 60 可微函数一定连续 可微则偏导一定存在且 dz? 函数有一阶连续偏导则函数一定可微 偏导不存在一定不可微 ?z?z dx?dy(全微分公式 ) ?x?y ?x2y2 ?63 例 .讨论函数 f(x,y)?x?y ?0? ,x2?y2?0,x2?y2?0 在 (0,0)是否可微 解 . 思路：求其在 (0,0)点极限是否存在，判断其连续性从而判断其是否可微 47 / 60 x2y21kx6 limxy,)在 (0,0) 取 y?kx， = = 取决于 k，则 x?06故 f(lim33x?0x6?k3x6x?y1?ky?0 2 点极限不存在，故 f(x,y) 在 (0,0)点不连续，故函数在(0,0)不可微 6.复合函数求导法则：分道相加，连线相乘 中 间 函 数 为 一 元 ： u?u(x),v?v(x),z?f?u(x),v(x)? z ? u?v? x 则 48 / 60 dz?fdu?fdv?f? 其中 可用 f 表示 1dx?udx?vdx?u?f 可用 f 表示，这样就避免了 u、 v 在最后结果中出现了 2?v 同理 例 .z?xtanx ， 求 dz dx 解 .z?f(u,v)?uv， u?x， v?tanx 则 dz?fdu?fdv ?f?f?sec2x 49 / 60 12dx?udx?vdx 中间函数为二元： u?u(x ，y),v?v(x,y),z?f?u(x,y),v(x,y)? z ? ? u?x v?y ?z?f?u?f?v?z?f?u?f?v ? 下面举一个特别重要的例子 ? 则 ?x?u?x?v?x?y?u?y?v?y?2z 例 .f具有二阶连续偏导， z?f(x?y,xy)，求 50 / 60 ?x?y 2 2 解 .z?f(u,v)， u?x2?y2， v?xy 则 ?z?f?u?f?v ? ?f?2x?f?y 12?x?u?x?v?x ?z )?f1?u?f1?v?f2?u?f2?v? ?z?2x?f2?y? 51 / 60 ?x?y?y?u?y?v?y?u?y?v?y? 2 ?( 2y?f12x?f2?y?f21?2y?f22x? ?2x?f11? 由于 f具有二阶连续偏导，故 f12?f21 22 故原式 ?4xyf11?2x?yf12?f2?xyf22 这种题一定要弄懂！ ? 7.隐函数微分法 一个方程情形： 52 / 60 ?zfx?zfydyfx ?,?f(x,y)?0 则 ) 则 0 ， f(x,y,z? dxfy?xfz?yfz 例 . e?xy?2z?ez?0 求全微分 dz 解 .令 f?x?e ?xy ?zfxye?xy?zfyxe?xy ?2z?e 则 ?z?z ， ?xfze?2?yfze?2 z ?z?zye?xyxe?xy dx?dy?zdx?zdy 故 dz?x?ye?2e?2 53 / 60 方程组情形 方法：对方程两边同时对 x或 y或其他变量求导即可 ?x?y?z?0 例 ?222 x?y?z?1? 22 ?xy?u?v?0dxdy 求 u2?v2?0?2 2 dzdz?x?y?uv?0 求 54 / 60 ?u?v ?x?x 解 .方程组两边同时对 z求导得： dxdy? ?1?0?dzdz ? ?2xdx?2ydy?2z?0?dz?dz ?dxz?y ?dz?y?x? 解得 ? dyz?x?dzx?y 55 / 60 方程两边同时对 x 求偏导得： ?u?v? y?2u?2v?0?x?x ? ?2x?v?u?u?v?0?x?x? 8.方向