高数知识总结

1 / 115 高数知识总结 高等数学知识点总结 导数公式： 2 (tanx)?secx(ctanx)?cscx(secx)?secx?tanx(cscx)?cscx?cotx(a)?alna(log ax x 2 (arcsinx)?(arccosx)?(arctanx)? 1?x 2 / 115 2 1?x1 2 1?x 2 x)? 1xlna (arccotx)? 11?x 2 基本积分表： 3 / 115 三角函数的有理式积分： ?tan?sec?a?x?a? xdx?lncosx?C ?cotxdx?lnsinx?C xdx?lnsecx?tanx?C ?cos?sin dx 2 xx ? ?sec?csc 4 / 115 2 xdx?tanx?Cxdx?cotx?C dx 2 2 ?cscxdx?lncscx?cotx?C dx 2 ?sec x x?tanxdx?secx?C 5 / 115 xdx?cscx?C x ?xdx?adx?xdx 2 2 ? 1a1 arctanlnln xa ?C?C?C ?cscx?cot?a 6 / 115 dx? a x?ax?aa?xa?xxa lna ?C 22 2a12a ?shxdx?chxdx? ? 2 ?chx?C?shx?C 7 / 115 ?ln(x? x?a)?C 2 2 22 a?x 2 ?arcsin?C dxx?a 2 2 8 / 115 ? 2 In? ?sin 02 n xdx?cos n xdx? 2 n?1naaa 9 / 115 2 In?2 x?a)?Cx?axa?C 2 2 2 2 ? sinx? 2u1?u x?adx?x?adx?a?xdx? 10 / 115 2 2 2 2 2 x2x2x2 x?a?x?a?a?x? 2 2 2 2 11 / 115 2 2 2 ln(x?lnx?arcsin 2 2 ?C 2 ， cosx?2 1?u1?u 2 12 / 115 ， u?tan2 x2 ， dx? 2du1?u 2 一些初等函数： 两个重要极限： e?e 2e?e 2shxchx 2x ?x 13 / 115 x ?x 双曲正弦 :shx? 双曲余弦 :chx? 双曲正切 :thx?arshx?ln(x?archx?ln(x?arthx? 12ln1?x1?x lim sin x(1? x1x x?0 ?1) x 14 / 115 lim e?ee?e xx ?x?x x? ?e ? x?1） x?1) 2 三角函数公式： 诱导公式： 15 / 115 和差角公式： 和差化积公式： sin(?)?sin?cos?cos?sin?cos(?)?cos?cos?sin?sin?tan(?)?cot(?)? tan?tan?1?tan?tan?cot?cot?1cot?cot? sin?sin?2sinsin?sin?2cos ?2 cossin ?2 ?2 ?2 16 / 115 cos?cos?2coscos?cos?2sin ?2 cossin ?2 ?2 ?2 倍角公式： sin2?2sin?cos? cos2?2cos?1?1?2sin?cos?sin?cot2?tan2? cot?12cot?2tan?1?tan? 222 17 / 115 2 2 2 sin3?3sin?4sin?cos3?4cos?3cos?tan3? 3tan?tan?1?3tan? 2 3 3 3 半角公式： sintan 18 / 115 ? 2 ? ?cos? 21?cos?1?cos? asinA 1?cos?sin?bsinB ? cos cot ? 2 19 / 115 ? 1?cos? 2 ? 2 1?cos?sin? 2 ? 2 ?c sin?1?cos? 20 / 115 ? 2 ? 1?cos?1?cos? 2 ? sin?1?cos? 正弦定理： ? sinC ?2R 余弦定理： c?a?b?2abcosC 21 / 115 反三角函数性质： arcsinx? ? 2 ?arccosx arctanx? ? 2 ?arccotx 高阶导数公式 莱布尼兹公式： n (uv)?u (n) 22 / 115 ? ?C k?0 kn u (n?k) v (k) (n) v?nu (n?1) 23 / 115 v? n(n?1)2! u (n?2) v? n(n?1)?(n?k?1) k! u (n?k) v (k) 24 / 115 ?uv (n) 中值定理与导数应用： 拉格朗日中值定理：柯西中值定理： f(b)?f(a)?f?(?)(b?a) ?f?(?)F?(?) 拉格朗日中值定理。 f(b)?f(a)F(b)?F(a) 当 F(x)?x时，柯西中值定理就是 曲率： 弧微分公式：平均曲率： K? 25 / 115 ds?s ?y?dx,其中 y?tg? ?:从 M点到 M?点，切线斜率的倾角变 ?s d?ds y?(1?y?) 2 3 2 化量； ?s： MM?弧长。 M 点的曲率：直线： K?0; 26 / 115 K?lim ?s?0 ?. 半径为 a 的圆： K? 1a . 定积分的近似计算： b 矩形法： ?f(x)? ab b?an 27 / 115 (y0?y1?yn?1) 梯形法： ?f(x)? a b b?a1 (y0?yn)?y1?yn?1n2b?a3n (y0?yn)?2(y2?y4?yn?2)?4(y1?y3?yn?1) 抛物线法： ?f(x)? a 定积分应用相关公式： 功： W?F?s 水压力： F?p?A 引力： F?k 28 / 115 m1m2r 2 ,k为引力系数 函数的平均值： y? 1b?a b ?b?a a 1 b f(x)dx 29 / 115 均方根： ? a f(t)dt 2 空间解析几何和向量代数： 空间 2点的距离：向量在轴上的投影： d?M1M 2 ? (x2?x1)?(y2?y1)?(z2?z1) 30 / 115 222 PrjuAB?cos?,?是 AB与 u轴的夹角。 ? Prju(a1?a2)?Prja1?Prja2? a?b?a?bcos?axbx?ayby?azbz,是一个数量两向量之间的夹角： cos?k , axbx?ayby?azbz ax?ay?az?bx?by?bz 2 31 / 115 2 2 2 2 2 i? c?a?b?ax bx jayby ? az,c?a?bsin?.例：线速度： bz 32 / 115 aybycy azbzcz ?v?w?r. ax ? 向量的混合积： abc?(a?b)?c?bx cx 代表平行六面体的体积 。 ? ?a?b?ccos?,?为锐角时， 33 / 115 平面的方程： 1、点法式： ? A(x?x0)?B(y?y0)?C(z?z0)?0 ，其中n?A,B,C,M0(x0,y0,z0)Ax?By?Cz?D?0xa?yb?zc?1 d? Ax0?By0?Cz0?D A?B?C 空间直线的方程： 2 2 2 2、一般方程： 3、截距世方程： 34 / 115 平面外任意一点到该平面的距离： ?x?x0?mt x?x0y?y0z?z0? ?t, 其中 s?m,n,p; 参 数 方程： ?y?y0?ntmnp?z?z?pt 0? 22 22 二次曲面： 1、椭球面： 2、抛物面： 3、双曲面：单叶双曲面：双叶双曲面： xaxa 2222 35 / 115 xa 222 ? yb ? 2 zc ?1 xy 2p2q ?z 36 / 115 ? ybyb 2222 ? zczc 2222 ?1 ?1 多元函数微分法及应用 全微分： dz? ?z?xdx? ?z?y 37 / 115 dy du? ?u?xdx? ?u?ydy? ?u?zdz 全微分的近似计算：多元复合函数的求导法 ?z?dz?fx(x,y)?x?fy(x,y)?y： dz?z?u?z?v z?fu(t),v(t)? dt?u?t?v?t?z?z?u?z?v z?fu(x,y),v(x,y)? ?x?u?x?v?x 当 u?u(x,y)， v?v(x,y)时， du? 38 / 115 ?u?xdx? ?u?y dy dv? ?v?xdx? ?v?ydy 隐函数的求导公式： FFFdydy?dy 隐函数 F(x,y)?0?x2?(?x) (?x)? dxFy?xFy?yFydxdxFyFx?z?z 隐函数 F(x,y,z)?0? ?xFz?yFz 39 / 115 2 高数重点知识总结 1、基本初等函数：反函数 (y=arctanx)，对数函数 (y=lnx)，幂函数 (y=x)，指数函数 (y?ax)，三角函数 (y=sinx)，常数函数 (y=c) 2、分段函数不是初等函数。 x2?xx ?lim?1 3、无穷小：高阶 +低阶 =低阶 例如： lim x?0x?0xx sinx 4、两个重要极限： (1)lim?1 x?0x (2)lim?1?x?e 40 / 115 x?0 1 x ?1? lim?1?e x? ?x? g(x) x 经验公式：当 x?x0,f(x)?0,g(x)?， lim?1?f(x)? x?x0 ?e 41 / 115 x?x0 limf(x)g(x) 例如： lim?1?3x?e x?0 1 x x?0? ?3x?lim? x? ?e?3 5、可导必定连续，连续未必可导。例如： y?|x|连续但不可42 / 115 导。 6、导数的定义： lim ?x?0 f(x?x)?f(x) ?f(x) ?x x?x0 lim f(x)?f(x0) ?f?x0? x?x0 7、复合函数求导： 43 / 115 df?g(x)?f?g(x)?g(x) dx 例如： y?x?x,y? 2x?2x?1 2x?x4x2?xx 1? 1 8、隐函数求导： (1)直接求导法； (2)方程两边同时微分，再求出 dy/dx x2?y2?1 例如：解：法 (1),左右两边同时求导 ,2x?2yy?0?y? x ydyx 法 (2),左右两边同时微分 ,2xdx?2ydy? 44 / 115 dxy 9、由参数方程所确定的函数求导：若 ? ?y?g(t)dydy/dtg(t)? ， 则 ， 其 二 阶 导 数 ：dxdx/dth(t)?x?h(t) d(dy/dx)d?g(t)/h(t)? dyd?dy/dx? 2dxdxdx/dth(t) 2 10、微分的近似计算： f(x0?x)?f(x0)?x?f(x0) 例如：计算 sin31? 11、函数间断点的类型： (1)第一类：可去间断点和跳跃间断点；例如： y? sinx 45 / 115 ， y?sgn(x)(2)第二类：振荡间断点和无穷 间断点；例如： f(x)?sin?， y?断点） 12、渐近线： 水平渐近线： y?limf(x)?c x? ?1?x? 1 19、改变凹凸性的点： f(x0)?0， f(x0)不存在 20、可导函数 f(x)的极值 点必定是驻点，但函数的驻点不一定是极值点。 21、中值定理： (1)罗尔定理： f(x)在 a,b上连续， (a,b)内可导，则至少存在一点 ?，使得 f(?)?0 (2)拉格朗日中值定理： f(x)46 / 115 在 a,b上连续， (a,b)内可导，则至少存在一点 ?，使得 f(b)?f(a)?(b?a)f(?) (3)积分中值定理： f(x)在区间 a,b上可积，至少存在一点 ?，使得 b ?f(x)dx?(b?a)f(?) a 22、常用的等价无穷小代换： xsinxarcsinxarctanxtanxex?12(?x?1)ln(1?x)1?cosx 12x2111 tanx?sinxx3,x?sinxx3,tanx?xx3 47 / 115 263 23、对数求导法：例如， y?xx，解： lny?xlnx? 1 y?lnx?1?y?xx?lnx?1? y 24、洛必达法则：适用于 “ 0?” 型， “” 型， “0?” 型等。当 0? x?x0,f(x)?0/?,g(x)?0/?， f(x),g(x)皆存在，且 g(x)?0，则 f(x)f(x)ex?sinx?10ex?cosx0ex?sinx1 lim?lim 例 如 ， limlimlim? 2x?x0g(x)x?x0g(x)x?0x?0x?0x2x22 25、无穷大：高阶 +低阶 =高阶 例如， 26、不定积分的求法 48 / 115 (1)公式法 (2)第一类换元法 (3)第二类换元法：哪里复杂换哪里，常用的换元： 1)三角换元： 23 ?x?1?2x?3?lim? x? 2x5 x2?2x?lim?4 x?2x5 3 49 / 115 a2?x2，可令 x?asint； x2?a2，可令 x?atant； x2?a2，可令 x?asect 2)当有理分式函数 中分母的阶较高时，常采用倒代换 x? 1 t 27、分部积分法： udv?uv?vdu，选取 u的规则 “ 反对幂指三 ” ，剩下的作 v。分部积 x3 分出现循环形式的情况，例如： ecosxdx,secxdx ? ? 50 / 115 28、有理函数的积分： 例如： 3x?22(x?1)?x11 dx?2dx?x(x?1)3?x(x?1)3?x(x?1)2?x?13dx 11x?1?xx?1?x1dx?需要进行拆分，令 ?x(x?1)2 x(x?1)2x(x?1)2x(x?1)(x?1)2 其中，前部分 ? 111? 2xx?1(x?1) 29、定积分的定义： ?f(?)?x ?f(x)dx?lim? 51 / 115 a ?0 i i i?1 b n 30、定积分的性质： b (1)当 a=b时， ?f(x)dx?0； 52 / 115 ab a (2)当 ab时， ?f(x)dx?f(x)dx a b a?aa (3)当 f(x)是奇函数， ?f(x)dx?0,a?0 a (4)当 f(x)是偶函数， 53 / 115 b ?a ?f(x)dx?2?f(x)dx cb (5)可 加性： ?f(x)dx?f(x)dx?f(x)dx a a c x x 54 / 115 d 31、变上限积分： ?(x)?f(t)dt?(x)?f(t)dt?f(x) ?dxaa d 推广： dx u(x) ?f(t)dt?f?u(x)?u(x) a b 32、定积分的计算： b 55 / 115 b ?f(x)dx?F(b)?F(a) a 33、定积分的分部积分法： udv?uv?vdu 例如： xlnxdx ? a b a ? a ? 56 / 115 ?b b? 34、反常积分： (1)无穷限的反常积分： ?f(x)dx?lim?f(x)dx a a b bt?a? (2)无界函数的反常积分： 35、平面图形的面积： (1)A? ?f(x)dx?lim?f(x)dx 57 / 115 a t d ?f(x)?f(x)?dx (2)A?(y)?(y)?dy 2 1 2 1 a c 2 58 / 115 (2)绕 y轴旋转， ?f(x)dxV?(y)dy ? 2 a c b d b 36、旋转体的体积： (1)绕 x轴旋转， V? 高数知识点总结 函数： 绝对值得性质： 59 / 115 (1)|a+b|?|a|+|b| (2)|a-b|?|a|-|b| (3)|ab|=|a|b| a|a|(b?0)(4)|b|=|b| 函数的表示方 法： 表格法 图示法 函数的几种性质： 函数的有界性函数的单调性 函数的奇偶性函数的周期性 反函数： 公式法 ?1 y?f(x)y?f(x)存在，且是单定理：如果函数在区间 a,b上是单调的，则它的反函数 值、单调的。 60 / 115 基本初等函数： 幂函数 对数函数 反三角函数 复合函数的应用 极限与连续性： 数列的极限： 指数函数 三角函数 定义：设 ?xn?是一个数列， a 是一个定数。如果对于任意给定的正数 ?， 总存在正整数 N，使得对于 nN的一切 xn，不等式 limxn ?xn极限，或称数列收敛于 a，记做 n? ?a xn?a? 都成立，则称数 a 是数列 ?xn?的 ，或 xn?a 61 / 115 收敛数列的有界性： 定理 ：如果数列 ?xn?收敛，则数列 ?xn?一定有界 推论：无界一定发散收敛一定有界有界命题不一定收敛 函数的极限： 定义及几何定义 函数极限的性质： limf(x)?Ax?x0 同号性定理：如果，而且 A0(或 A 如果 x?x0 limf(x)?A ，且在 x0 的某一邻域内，恒有 f(x)?0， 则 A?0。 limf(x)limf(x) 62 / 115 如果 x?x0 存在，则极限值是唯一的 如果存在，则在 f(x)在点 x0的某一邻域内是有界的。 无穷小与无穷大： 注意 ：无穷小不是一个很小的数，而是一个以零位极限的变量。但是零是可作为无穷小 x?x0 f(x)?的唯一的常数，因为如果 f(x)?0 则对任给的 ?0，总有，即常数零满足无穷小的定义。除此之外，任何无论多么小的数，都不满足无穷小的定义，都不是无穷小。 无穷小与无穷大之间的关系： 1 如果函数 f(x)为无穷大，则 f(x)为无穷小 1 63 / 115 如果函数 f(x)为无穷小，且 f(x)?0，则 f(x)为无穷大 具有极限的函数与无穷小的关系： 具有极限的函数等于极限值与一个无穷小的和 如果函数可表为常数与无穷小的和，则该常数就是函数的极限 关于无穷小的几个性质： 定理： 有限个无穷小的代数和也是无穷小 有界函数 f(x)与无穷小 a 的乘积是无穷小 推论： 常数与无穷小的乘积是无穷小 有限个无穷小的乘积是无穷小 极限的四则运算法则： 定理：两个函数 f(x)、 g(x)的代数和的极限等于它们的极限的代数和 两个函数 f(x)、 g(x)乘积的极限等于它们的极限的乘积 极限存在准则与两个重要极限： 准则一 64 / 115 设函数 f(x)、 g(x)、 h(x)在 x?x0的某个邻域内满足条件： g(x)?f(x)?h(x) x?x0 x?x0 limg(x)?A ， x?x0 limh(x)?A 则 准则二 单调有界数列必有极限 定理：如果单调数列有界，则它的极限必存在 limf(x)?A 重要极限： 65 / 115 sinx ?1 x?0x lim 1?cosx1 ?2x?02 x lim 1 1x lim(1?)?elim(1?x)x?e xx?或 x?0 66 / 115 无穷小阶的定义： 设 ?、 ?为同一过程的两个无穷小。 lim 如果 ? ?0?，则称 ?是比 ?高阶的无穷小，记做 ?o(?) ?，则称 ?是比 ?低阶的无穷小 如果 lim 如果 lim 67 / 115 ? ?c(c?0,c?1)?，则称 ?与 ?是同阶无穷小 ?1?，则称 ?与 ?是等阶无穷小，记做 ? 如果 lim 几种等价无穷小： 对数函数中常用的等价无穷小： x?0时， ln(1?x)x(x?0) loga(1?x) 1 x(x?0)lna 三角函数及反三角函数中常用的等价无穷小： 68 / 115 x?0时， sinxxtanxx 1?cosx 12 x 2arcsinxxarctanxx 指数函数中常用的等价无穷小： x?0时， ex?1xax?1?exlna?1lna xn 二项式中常用的等价无穷小： x?0时， (1?x)?1ax a 69 / 115 ?x?1 函数在某一点处连续的条件： limf(x)?f(x0)x?x0 由连续定义可知，函数 f(x)在点 x0 处连续必须同时满足下列三个条件： f(x)在点 x0处有定义 limf(x)x?xf(x)x?x00 当时，的极限存在 极限值等于函数 f(x)在点 x0处的函数值 f(x0) 如果函数 f(x)在点 x0处连续，由连续定义可知，当 x?x0时，f(x)的极限一定存在，反 极限与连续的关系： 之，则不一定成立 70 / 115 函数的间断点： 分类：第一类间断点 (左右极限都存在 ) 第二类间断点 (有一个极限不存在 ) 连续函数的和、差、积、商的连续性： 定理：如果函数 f(x)、 g(x)在点 x0 处连续，则他们的和、差、积、商在 点 x0也连续 反函数的连续性： 定理：如果函数 y?f(x)在某区间上是单调增的连续函数，则它的反函数 x?(y)也在对应的区间上是单调增的连续函数 最大值与最小值定理： 值 推论：如果函数 f(x)在闭区间 ?a,b?上连续，则 f(x)在 ?a,b?上有界 定理：设函数 f(x)在闭区间 ?a,b?上连续，两端点处的函数值分别为 71 / 115 f(a)?A,f(b)?B(A?B)，而 ?是介于 A 与 B 之间的任一值，则在开区间 (a,b)内至少有一点 定理：设函数 f(x)在闭区间 ?a,b?上连续，则函数 f(x)在闭区间 ?a,b?上必有最大值和最小 介值定理： ?，使得 f(?)? (a?b) 推论：在闭区间上连续函数必能取得介于最大值与最小值之间的任何值 推论：设函数 f(x)在闭区间 ?a,b?上连续，且 f(a)?f(b)?0(两端点的函数值异号 )， 则在 (a,b)的内部，至少存在一点 ?，使 f(?)?0 72 / 115 导数与微分 导数： 定义： y?lim ?x?0 f(x?x)?f(x) ?x 导数的几何定义：函数在图形上表示为切线的斜率 函数可导性与连续性之间的表示： 如果函数在 x 处可导，则在点 x 处连续，也即函数在点 x 处连续 一个数在某一点连续，它却不一定在该点可导 据导数的定义求导： y|x?x0?lim 73 / 115 f(x0?x)?f(x0)?y ?lim ?x?0?x?x?0?x y|x?x0?lim x?x0 f(x)?f(x0) x?x0 f(x?x)?f(x) ?x y|x?x0?lim 74 / 115 ?x?0 基本初等函数的导数公式： 常数导数为零 (c)?0 nn?1(x)?nx 幂函数的导数公式 三角函数的导数公式 (sinx)?cosx (cosx)?sinx 1 (cotx)?csc2x2(secx)?secxtanx sinx (cscx)?cscxcotx (tanx)? 1 ?sec2x2 cosx 75 / 115 对数函数的导数公式： 指数函数的导数公式： xx (e)?e (logax)? 11 logae?xxlna (ax)?axlna 反三角函数的导数公式： ?x2 1 76 / 115 (arctanx)? 1?x2 (arcsinx)? 1 (arccosx)? 1 ?x2 1 (arccotx)? 1?x2 考研数学讲座 考好数学的基点 “ 木桶原理 ” 已经广为人所知晓。但真要在做件事时找到自身的短处，下意识地有针对性地采取措施，77 / 115 以求得满意的结果。实在是一件不容易的事。 非数学专业的本科学生与数学专业的学生的最基本差别，在于概念意识。 数学科学从最严密的定义出发，在准确的概念与严密的逻辑基础上层层叠叠，不断在深度与广度上发展。形成一棵参天大树。 在高等数学中，出发点处就有函数，极限，连续，可导，可微等重要概念。 在线性代数的第一知识板块中，最核心的概念是矩阵的秩。而第二知识板块中，则是矩阵的特征值与特征向量。 在概率统计中，第一重要的概念是分布函数。不过，概率不是第一层次基础课程。学习概率需要学生有较好的高等数学基础。 非数学专业的本科学生大多没有概念意识，记不住概 念。更不会从概念出发分析解决问题。基础层次的概念不熟，下一层次就云里雾里了。这是感到数学难学的关键。 大学数学教学目的，通常只是为了满足相关本科专业的需78 / 115 要。教师们在授课时往往不会太重视，而且也没时间来进行概念训练。 考研数学目的在于选拔，考题中基本概念与基本方法并重。这正好击中考生的 软肋。在考研指导课上，往往会有学生莫名惊诧， “ 大一那会儿学的不一样。 ” 原因就在于学过的概念早忘完了。 做考研数学复习，首先要在基本概念与基本运算上下足功夫。 按考试时间与分值来匹配，一个 4 分的选择题平均只有 5 分钟时间。而这些选择题却分别来自三门数学课程，每个题又至少有两个概念。你可以 由此体验选拔考试要求你对概念的熟悉程度。 从牛顿在硕士生二年级的第一篇论文算起，微积分有近四百年历史。文献浩如烟海，知识千锤百炼。非数学专业的本科生们所接触的，只是初等微积分的一少部分。方法十分经典，概念非常重要。学生们要做的是接受，理解，记忆，学会简单推理。当你面对一个题目时，你的自然反应是， “ 这个题目涉及的概念是 - - -” ，而非 “ 在哪儿做过这道题 ” ，才79 / 115 能算是有点入门了。 你要考得满意吗？基点不在于你看了多少难题，关键在于你是否对基本概念与基本运算非常熟悉。 阳春三月风光好，抓好基础正当时。 考研数学讲座笔下生花花自红 在爱搞运动的那些年代里，数学工作者们经常受到这样的指责， “ 一支笔，一张纸，一杯茶，鬼画桃符，脱离实际。 ” 发难者不懂基础研究的特点，不懂得考虑数学问题时 “ 写 ”与 “ 思 ” 同步的重要性。 也许是计算机广泛应用的影 响，今天的学生们学习数学时，也不太懂得 “ 写 ” 的重要性。 考研的学生们，往往拿着一本厚厚的考研数学指导资料，看题看解看答案或看题想解翻答案。 动笔的时间很少。 数学书不比小说。看数学书和照镜子差80 / 115 不多，镜子一拿走，印象就模糊。 科学的思维是分层次的思维。求解一个数学问题时，你不能企图一眼看清全路程。你只能踏踏实实地考虑如何 迈出第一步。 或 “ 依据已知条件，我首先能得到什么？ ” ； 或 “ 要证明这个结论，就是要证明什么？ ” 。 在很多情形下，写出第一步与不写的感觉是完全不同的。下面是一个简单的例。 “ 连续函数与不连续函数的和会怎样？ ” 写成 “ 连续 A + 不连续 B = ？ ” 后就可能想到，只有两个答案，分别填出来再说。 如果， “ 连续 A + 不连续 B = 连续 C” 移项，则 “ 连续C 连续 A = 不连续 B” 81 / 115 这与定理矛盾。所以有结论： 连续函数与不连续函数的和一定不连续。 有相当一些数学定义，比如 “ 函数在一点可导 ” ，其中包含有计算式。能否掌握并运用这些定义，关键就在于 是否把定义算式写得滚瓜烂熟。比如， 题面上有已知条件 f (1) 0，概念深，写得熟的人立刻就会先写出 h 趋于 0时， lim( f(1+h) f(1） )/h 0 然后由此自然会联想到，下一步该运用极限的性质来推理。而写不出的人就抓瞎了。 又比如线性代数中特征值与特征向量有定义式 A= ， 0 ，要是移项写成 = 0 ， 0 ， 这就表示 是齐次线性方程组 X = 0 的非零解，进而由理82 / 115 论得到算法。 数学思维的特点之一是 “ 发散性 ” 。一个数学表达式可能有几个转换方式，也许从其中一个方式会得到一个 新的解释，这个解释将导引我们迈出下一步。 车到山前自有路，你得把车先推到山前啊。望山跑死马。 思考一步写一步，观测分析迈下步。路只能一 步步走。陈景润那篇名扬世界的 “1+2” 论文中有 28个 “ 引理 ” ，那就是他艰难地走向辉煌的 28步。 对于很多考生来说，不熟悉基本计算是他们思考问题的又一大障碍。 高等数学感觉不好的考生，第一原因多半是不会或不熟悉求导运算。求导运算差，讨论函数的图形特征， 积分，解微分方程等，反应必然都慢。 线性代数中矩阵的乘法与矩阵乘积的多种分块表达形83 / 115 式，那是学好线性代数的诀窍。好些看似很难的问题， 选择一个分块变形就明白了。 概率统计中，要熟练地运用二重积分来计算二维连续型随机变量的各类问题。对于考数学三的同学来说， 二重积分又是高等数学部分年年必考的内容。掌握了二重积分，就能 在两类大题上得分。 要考研吗，要去听指导课吗，一定要自己先动笔，尽可能地把基本计算练一练。 我一直向考生建议，临近考试的一段时间里，不仿多自我模拟考试。在限定的考试时间内作某年研考的全巻。中途不翻书，不查阅，凭已有能力做到底。看看成绩多少。不要以为你已经看过这些试卷了。就算你知道题该 怎么做， 你一写出来也可能会面目全非。 多动笔啊， “ 写 ”“ 思 ” 同步步履轻，笔下生花花自红。 84 / 115 考研数学讲座极限概念要体 极限概念是微积分的起点。说起极限概念的历史，学数学的都多少颇为伤感。 很久很久以前，西出阳关无踪影的老子就体验到， “ 一尺之竿， 日取其半，万世不竭。 ” 近两千年前，祖氏父子分别用园的内接正 6n 边形周长替带园周长以计算园周率；用分割曲边梯形为 n个窄曲边梯形，进而把窄曲边梯形看成矩形来计算其面积。他们都体验到，“ 割而又割，即将 n 取得越来越大，就能得到越来越精确的园周率值或面积。 ” 国人朴实的体验延续了一千多年，最 终没有思维升华得到极限概念。而牛顿就在这一点上率先突破。 极限概念起自于对 “ 过程 ” 的观察。极限概念显示着过程中两个变量发展趋势的关联。自变量的变化趋势分为两类，一类是 x x0 ；一类是 x ， “ 当自变量有一个特定的发展趋势时，相应的函数值是否无85 / 115 限接近于一个确定的数 a ？ ” 如果是 ，则称数 a为函数的极限。 “ 无限接近 ” 还不是严密的数学语言。但这是理解极限定义的第一步，最直观的一步。 学习极限概念，首先要学会观察，了解过程中的变量有无一定的发展趋势。学习体验相应的发展趋势。其次才是计算或讨论极限值。 自然数列有无限增大的变化趋势。按照游戏规则，我们还是说自然数列没有极限。 自然数 n 趋于无穷时，数列 1/n的极限是 0； x趋于无穷时，函数 1/x 的极限是 0； 回顾我们最熟悉的基本初等函数，最直观的体验判断是， x 趋于正无穷时，正指数的幂函数都与自然数列一样，无限增大，没有极限。 x 趋于正无穷时，底数大于 1 的指数函数都无限增大，没有86 / 115 极限。 x 0+ 时，对数函数 lnx 趋于 ； x 趋于正无穷时， lnx无限增大，没有极限。 x 时，正弦 sinx与余弦 conx 都周而复始，没有极限。在物理学中，正弦 y = sinx的图形是典型的波动。 我国高等数学教科书上普遍都选用了 “ 震荡因子 ”sin 。当 x 趋于 0 时它没有极限的原因是震荡。具体想来，当 x由变为时，只向中心点 x = 0 靠近了一点点，而正弦 sinu却完成了 140多个周期。函数的图形在 +1与 1 之间上下波动 140多次。在 x = 0 的邻近，函数 各周期的图形紧紧地 “ 挤 ” 在一起，就好象是 “ 电子云 ” 。 当年我研究美国各大学的高等数学教材时，曾看到有的教材竟然把函数 y = sin 的值整整印了一大页，他们就是要让学生更具体地体验它的数值变化。 x 趋于 0 时 sin 不是无穷大，直观地说就是函数值震荡而没有确定的发展趋势。 1/x 为虎作 伥，让震荡要多疯狂有多疯狂。 87 / 115 更深入一步，你就得体验，在同一个过程中，如果有多个变量趋于 0，就可能有的函数趋于 0 时 “ 跑得更快 ” 。这就是高阶，低阶概念。 考研数学还要要求学生对极限有更深刻的体验。 多少代人的千锤百炼，给微积分铸就了自己的倚天剑。这就是一套精密的极限语言，。没有这套语言，我们没有办法给出极限定义，也无法严密证明任何一个极限问题。但是，这套语言是高等微积分的内容，非数学专业的本科学生很难搞懂。数十年来，考研试卷上都没有出现过要运用 语言的题目。 研究生入学考题中，考试中心往往用更深刻的体验来考查极限概念。这就是 “ 若 x趋于 时，相应函数值 f有正的 极限 总有 f 0 ” *“ 若 x 趋于 x0 时，相应函数值 f 有正的极限，则在 x0 的一个适当小的去心邻域内， f恒正 ” 这是已知函数的极限而回头观察。逆向思维总是更加困难。88 / 115 不过，这 不正和 “ 近朱者赤，近墨者黑 ” 一个道理吗。 除了上述苻号体验外，能掌握下边简单的数值体验则更好。 若 x 趋于无穷时，函数的极限为 0，则 x 的绝对值充分大时，(你不仿设定一点 x0，当 x x0 时， ) 函数的绝对值恒小于 1 ，则当 x 充分大时， (你不仿设定一点 x0，当 x x0时， ) 若 x 趋于无穷时，函数为无穷大，则 x的绝对值充分大时，( 你不仿设定一点 x0 ， 当 x x0时， ) 函数的绝对值全大于 1 *若 x 趋于 0 时，函数的极限为 0，则在 0的某个适当小的去心邻域内，或 x的绝对值充分小时，函数的绝对值全小于 1 没有什么好解释的了，你得反复领会极限概念中 “ 无限接近 ” 的意义。 你可以试着理解那些客观存在，可以自由设定的点 x0，或充分小的数 0，并利用它们。 考研数学讲座 “ 存在 ” 与否全面看 89 / 115 定义，是数学的基本游戏规则。所有的定义条件都是充分必要条件。 即便有了定义，为了方便起见，数学工作者们通常会不遗余力地去寻觅既与定义等价，又更好运用的描述方式。讨论极限的存在性，就有如下三个常用的等价条件。 1 海涅定理 观察 x 趋于 x0 的过程时，我们并不追溯 x 从哪里出发；也没有考虑它究竟以怎样的方式无限靠近 ；我们总是向未来，看发展。因而最直观的等价条件就是海涅定理： 定理 极限存在 的充分必要条件是，无论 x 以何种方式趋于x0 ，相应的函数值总有相同的极限 A 存在。 这个定理条件的 “ 充分性 ” 没有实用价值。事实上我们不可能穷尽 x 逼近 x0 的所有方式。很多教科书都没有点出这一定理，只是把它的 “ 必要性 ” 独立成为极限的一条重要性质。即唯一性定理： “ 如果函数有极限存在，则极限唯一。 ” 90 / 115 唯一性定理的基本应用之一，是证明某个极限不存在。 2用左右极限来描述的等价条件 用 语言可以证得一个最好用也最常用的等价条件： 定理 极限存在的充分 必要条件为左、右极限存在且相等。 这是在三类考研试题中出现概率都为 1的考点。考研数学年年考连续定义，导数定义。本质上就是考查极限存在性。这是因为 函数在一点连续，等价于函数在此点左连续，右连续。 函数在一点可导，等价于函数在此点的左、右导数存在且相等。 由于初等函数有较好的分析性质。考题往往会落实到分段函数的定义分界点或特殊定义点上。考生一定要对分段函数敏感，一定要学会在特殊点的两側分别考察函数的左右极限。 突出极限值的等价条件 91 / 115 考数学一，二的考生，还要知道另一个等价条件： 定理 函数 f在某一过程中有极限 A存在的充分必要条件是，f A为无穷小。 从 “ 距离 ” 的角度来理解，在某一过程中函数 f与数 A无限接近，自然等价于函数 值 f与数 A 的距离 f A 无限接近于 0 如果记 = f A，在定理条件下得到一个很有用的描述形式转换： f= A + 考研题目经常以下面三个特殊的 “ 不存在 ” 为素材。 “ 存在 ” 与否全面看。有利于我们理解前述等价条件。我 用 exp表示以 e 为底数的指数函数，内填指数。 例 1 x 趋于 0时，函数 exp 不存在极限。 分析 在原点 x = 0 的左侧， x恒负，在原点右侧， x 恒正。92 / 115 所以 x 从左侧趋于 0 时，指数 1/x 始终是负数，故左极限 f= 0 ， x 从右侧趋于 0 时，函数趋向 + ， 由定理，函数不存在 极限。也不能说， x 趋于 0 时， exp是无穷大 但是，在这种情形下，函数图形在点 x = 0有竖直渐近线 x = 0 例 2 x 趋于 0时， “ 震荡因子 ”sin 不存在极限。俗称震荡不存在。 分析 用海涅定理证明其等价问题， “x 趋于 + 时， sinx 不存在极限。 ” 分别取 x = n 及 x = 2n 两个数列， n 趋于 + 时，它们都趋于 + ，相应的两列正弦函数值却分别有极限 0 与 1，不满足唯一性定理）。故 sinx不存在极限。 93 / 115 例 3 x 趋于 时，函数 y = arctgx 不存在极限。 分析 把 视为一个虚拟点，用定理。由三角函数知识得， x 趋于 + 时，函数极限为 /2 ， x 趋于 时，函数极 限为 /2 ， 故，函数 y = arctgx 不存在极限。 请注意，证明过程表明，函数 y = arctgx 的图形有两条水平渐近线。即 方向有水平渐近线 y = /2 ； + 方向则有 有 y =/2 例 4 当 x 1 时， 函数 f (x) = (exp (1/(x 1) )( x平方 1)(x 1) 的极限 等于 2 等于 0 为 不存在但不为 分析 考查 x 1 时函数的极限 ，通常认为 x 不取 1 ；94 / 115 而 x1 时，可以约去分母 = 0 ， x 从右侧趋于 1 时，函数趋向 + ， ） 例 5 f=） ） + sinx x , 求 x趋于 0 时函数的极限。 分析 绝对值函数 y = | x | 是典型的分段函数。 x = 0 是其定义分界点。一看就知道必须分左右计算。如果很熟悉 “ 典型不存在 1” ，这个 5 分题用 6 分钟足够了。实际上 x 0- 时， lim f=/ 1 = 1 x 0+ 时， exp + ，前项的分子分母同除以 exp 再取极限 lim f=/+1 = 1 由定理得 x 0 时 ， lim f= 1 例 6 曲线 y = exp(1/x 平方 ) arctg(x 1)(x+2）的渐近线共有 95 / 115 1 条 2 条。 3条。 4 条。 选 分析 先观察 x趋于 时函数的状态，考查曲线有无水平渐近线；再注意函数结构中，各个因式的分母共有三个零点。即 0， 1 和 2；对于每个零点 x0 ，直线 x = x0 都可能是曲线的竖直渐近线，要逐个取极限来判断。实际上有 x 时， lim y =/4 ， 曲线有水平渐近线 y =/4 其中， x 时， lim exp(1/x 平方 ) = 1 lim(x 1)(x+2） = 1 考查 “ 嫌疑点 ” 1 和 2时，注意运用 “ 典型不存在 3” ， f= e/2 ； f= e/2 ， x = 1 不是曲线的竖直渐近线。 类似可以算得 x = 2 不是曲线的竖直渐近线。 x 0 时，前因式趋向 + ；后因式有极限 arctg， x = 0 是96 / 115 曲线的竖直渐近线。 啊，要想判断准而快，熟记 “ 三个不存在 ” 。看了上面几例，你有体会吗？ 一、 函数、极限、连续 函数 1、 分段函数 讨论 y=f 在分段点处的极限、连续、导数等问题时，必须分别先讨论左、右极限，左、右连续性和左、右导数，需要强调：分段函数不是初等函数 ，不能用初等函数在定义域内皆连续这个定理。 Eg： f(x)=|x|; 和符号函数 f(x)=sgn x; 两个都是分段函数。 2、 隐函数 由方程 F=0确定 y=y称为隐函数，有些隐函数可以化为显函数，有的不可以化。 3、