涉及q-差分微分多项式的亚纯函数的唯一性.pdf

第4 7 卷第1 2 期 2 0 1 7 年1 2 月 中国海洋大学学报 P E R I O D I C A LO FO C E A NU N I V E R S I T YO FC H I N A 4 7 ( 1 2 ) ：1 3 7 1 4 4 D e c，2 0 1 7 涉及q 一差分微分多项式的亚纯函数的唯一性+ 李效敏1 ，刘雪峰1 ，徐会彩2 ，孙银龙1 ( 1 中国海洋大学数学科学学院，山东青岛2 6 6 1 0 0 ；2 中国人民大学信息学院，北京1 0 0 8 7 2 ) 摘要；本文研究亚纯函数及其( 1 - 差分算子或差分算子的1 类非线性多项式的导函数分担1 个非零公共值的亚纯函数 的唯一性问题，这些问题涉及2 0 0 9 年方明亮提出的1 个涉及微分多项式的亚纯函数的唯一性问题。本文结果推广了方明 亮等人的有关结果。 关键词：q 一差分多项式；微分多项式；零级亚纯函数；唯一性定理 中图法分类号； 0 1 7 4 5 2 文献标志码；A文章编号； 1 6 7 2 - 5 1 7 4 ( 2 0 1 7 ) 1 2 - 1 3 7 - 0 8 D O I ：1 0 1 6 4 4 1 j cn k ih d x b 2 0 1 4 0 2 8 0 引用格式；李效敏，刘雪峰，徐会彩，等涉及q i差分微分多项式的亚纯函数的唯一性 J 中国海洋大学学报( 自然科学 版) ，2 0 1 7 ，4 7 ( 1 2 ) ：1 3 7 1 4 4 L IX ia o - M in ，L I UX u e - F e n g ，X UH u i- C a i，e ta 1 U n iq u e n e s sr e s u lt sco n ce r n in gd if f e r e n t ia lp o ly n o m ia lsa n dq - d if f e r e n ce p o ly n o m ia lso fm e r o m o r p h icf u n ct io n s - J P e r io d ica lo fO ce a nU n iv e r s it yo fC h in a ，2 0 1 7 ，4 7 ( 1 2 ) ；1 3 7 1 4 4 本文所提到的亚纯函数是指在整个复平面上的亚 纯函数。设厂与g 是复平面内2 个非常数的亚纯函 数。并假定读者熟悉N e v a n lin n a 理论的基本概念 1 ， 例如T ( r ，p ，m ( r ，厂) ，N ( r ，厂) ，N ( r ，f ) 等等。用E c ( o ，。) 表示线性测度有穷的集合，每次出现时可以不 同。余项S ( r ，厂) 表示满足S ( r ，f ) 一0 ( T ( r ，p ) ( r 一 ，r 睡E ) 的量。设口是一个有穷复数，如果厂一盘与 g 一口具有相同的零点且每个这样的公共零点的重数相 同，则称厂与g C M 分担a ，如果厂一盘与g 一盘具有相 1 同的零点而不计重数，则称厂与g I M 分担盘；如果专与 111 土。C M 分担0 ，则称厂与g C M 分担；如果专与删 5J5 分担0 ，就称厂与g I M 分担C , O 2 。另外还需要下述定 义： 定义1 3 设声是1 个正整数，并且a C U 。) 。以 1 下用M ) ( r ，亡) 表示在lz I 1 ，那么厂一g 或者f “g 一1 。 1 9 9 7 年，I L a h ir i提出了下述问题： 问题4 s 3 如果2 个非常数的亚纯函数的非线性微分 多项式C M 分担1 ，那么这2 个亚纯函数的关系如何? 1 9 9 7 年，杨重骏和华歆厚研究了问题4 ，证明了下 述定理： * 基金项目：国家自然科学基金项目( 1 1 4 6 1 0 4 2 ，1 1 1 7 1 1 8 4 ) ；山东省自然科学基金项目( Z R 2 0 1 4 A M 0 1 1 ) ；中国人民大学科学研究基金项目 ( 1 6 X N H ll7 ) 资助 S u p p o t e db yt h eN a t io n a lS cie n ceF o u n d a t io no fC h in a ( 1 1 4 6 1 0 4 2 ，1 1 1 7 1 1 8 4 ) ；t h eN a t io n a lS cie n ceF o u n d a t io no fS h a n d o n gP r o v in ce ， C h in a ( Z R 2 0 1 4 A M 0 1 1 ) ；t h eR e s e a chF u n d so fR e n m inU n iv e r s it yo fC h in a ( 1 6 X N H ll7 ) 收稿日期：2 0 1 4 一0 9 1 2 ；修订日期：2 0 1 5 - 0 5 0 5 作者简介：李效敏( 1 9 6 7 一) ，男，教授。E - m a il：lix ia o m in O U C e d u cn 中国海洋大学学报 定理5 7 假设厂与g 是2 个非常数的亚纯函数，竹是 1 个正整数且满足佗 1 1 。如果广厂7 与g ”g7 C M 分担 1 ，那么厂与g 满足下述2 种情形之一：( i) 厂一g ，其中t 是一个常数，且满足一1 ；( ii) 厂一c1 酽，g C 2 e 一，其 中c纳和c2 是非零常数，且满足( clc2 ) 卅1 c2 一- - 1 。 2 0 0 2 年，方明亮证明了下述结果，在整函数条件下 研究了问题4 ，证明了下述定理： 定理6 E 8 假设厂与g 是2 个非常数的整函数，挖与是 是2 个正整数且满足n 2 k + 8 。如果( 广( 厂一1 ) ) 与 ( g ”( g 一1 ) ) 弛C M 分担1 ，那么厂一g 。 2 0 0 9 年，方明亮在华东师范大学复分析会议上提 出了下述问题： 问题7 假设厂与g 是2 个非常数的亚纯函数，祝，k 是 2 个正整数且满足祀 3 忍+ 1 1 。如果( 户( 厂一1 ) ) 与 ( 旷( g 一1 ) ) 幢C M 分担1 ，那么是否有厂一g ? 截止到目前，问题7 还没有得到彻底解决。近几 年来H a lb u r d - K o r h o n e n L 9 以及冯绍继与蒋翼迈 1 0 分 别建立了差分N e v a n lin n a 理论，L a in e - Y a n g L ll 得到了 涉及差分多项式的C lu n ie 定理。应用这些理论，一些 芬兰学者和中国学者开始了差分唯一性理论的研 究 1 2 川。本文将利用q 一差分N e v a n lin n a 理论，结合微 分多项式具有一个非零公共值的亚纯函数唯一性问题 的研究方法，研究1 类q - 差分微分多项式具有一个非 零公共值的亚纯函数的唯一性问题，具体说来，本文将 研究下述几个问题： 问题8 假设厂是1 个非常数的零级亚纯函数，f ( q z ) 是厂( z ) 的q 一移动算子，其中q = = o 是1 个复数。如果 ( 广( z ) ( 厂( z ) 一1 ) ) 蛐与( ；f ( z ) ( 。f ( z ) 一1 ) ) DC M 分担1 ，那么竹，k 在满足什么条件下，有结论厂( z ) 一 f ( q z ) 。 问题9 假设厂是1 个非常数的零级亚纯函数，厶厂( z ) 一 f ( q z ) - - f ( z ) 是厂( z ) 的q 一差分算子，其中q 0 是1 个 非零复数。如果( 户( z ) ( 厂( z ) 一1 ) ) 与( ；厂( z ) ( A q f ( z ) 一1 ) ) C M 分担1 ，那么祀，五在满足什么条件下， 有结论，( z ) 一。厂( z ) 。 问题1 0 在问题8 中，如果( 户( z ) ( 厂( z ) 一1 ) ) 娆与( 户 ( q z ) ( f ( q z ) 一1 ) ) u I M 分担1 ，其它条件不变，那么竹， k 在满足什么条件下，有结论厂( z ) 一厂( z + 移。 问题1 1在问题9 中，如果( 户( z ) ( 厂( z ) 一1 ) ) 强与 ( 越厂( z ) ( z 5 。厂( z ) 一1 ) ) I M 分担1 ，其它条件不变，那 么竹，k 在满足什么条件下，有结论f ( 5 ) 一J ( z ) 。 本文将研究问题8 一问题1 1 ，并首先证明下述两个 定理： 定理1 2 假设厂( z ) 是1 个非常数的零级亚纯函数， f ( q z ) 是厂( z ) 的q 移动算子，其中q 是一个非零复数， 如果( 广( z ) ( 厂( z ) 一1 ) ) 与( 广( q z ) ( 厂( q 2 ) 一1 ) ) 啦 C M 分担1 ，其中咒，k 是两个正整数且满足挖 3 忍+ 1 1 ， 3 手R 2 挖 2 n ，那么厂( z ) 一。厂( z ) 。 用证明定理1 2 和定理1 3 的类似方法和本文引理 1 1 可得下述两个定理： 定理1 4 假设厂是1 个非常数的零级亚纯函数，f ( q z ) 是厂( z ) 的q 移动算子，其中q 是1 个非零复数。如果 ( 尸( z ) ( 厂( z ) 一1 ) ) 。与( 广( q z ) ( 厂( q z ) 一1 ) ) I M 分 担1 ，其中孢和忍是2 个正整数且满足孢 9 k + 2 0 ，和 ( 。，厂) 寺，那么厂( 2 ) 一厂( q z ) 。 定理1 5 假设厂是1 个非常数的零级亚纯函数，。厂 ( z ) 一厂( q z ) - - f ( z ) 是厂( z ) 的q 一差分算子，其中q 是 一个非零复数。假设( 广( z ) ( 厂( z ) 一1 ) ) 与( ( 厶f ( z ) ) ”( 。厂( z ) 一1 ) ) I M 分担1 ，其中竹，尼是2 个正整 数且满足n 9 k + 2 0 。如果 ( 。，厂) 寺，那么厂( z ) 一 。厂( z ) 。 1 几个引理 引理1 1 ，n 8 。删 2 1 假设，是1 个非常数的亚纯函数，k 是1 个正整数，c：= o 是1 个有限值，那么 T ( r ，厂) N ( r ，厂) + N ( r ，) + N ( r 赤) 一 N ( r ，高) + S ( r ，厂) N ( r ，p + M + 1 ( r ，) + N ( r ，赤) 一 N o ( r ，高) + S ( r ，厂) 。 引理2 1 5 3 假设F 一器，其中 a k ) 和 岛 均为复数， 并且O p o ，b 。o 。P ( 厂) 一吼f 和Q ( 厂) 一岛尸 为两个互素的多项式，那么 T ( r ，F ) 一m a x P ，q ) T ( r ，3 0 + O ( 1 ) 。 引理3 c1 6 ，引班珊证明3假设F 是1 个非常数的亚纯函 数，愚与P 是2 个非常数的正整数，那么 M ( r ，南) 是N ( r ，F ) + M + ( r ，寺) + s ( r ，F ) 。 引理4 假设厂与g 是2 个非常数的亚纯函数，祀和k 是2 个正整数且满足n 3 k + 1 1 。如果( 广( 厂一1 ) ) 强 1 2 期李效敏，等：涉及q - 差分微分多项式的亚纯函数的唯一性 与( 旷( g - 1 ) ) 6 C M 分担1 ，那么( 广( f - 1 ) ) ( 旷( g 一1 ) ) 一1 或者( 广( 厂一1 ) ) 一( g ”( g - - 1 ) ) 。 证明置 H 一器岩黼一鬣鹾一 鼠( g d - 1 ) 黼+ 畿( g 鹱- - 1 ) 。 ( 旷) + 1 l( 旷 ) 妨一1 。 u7 情形1 假设H 不恒等于零。 设z 。是( 广( z ) ( ，( z ) 一1 ) ) 与( 旷( z ) ( g ( z ) 一 1 ) ) 4 的一个公共单零点。将( 户( z ) ( 厂( z ) 一1 ) ) 4 与 ( 旷( z ) ( g ( z ) - 1 ) ) 在点的T a y lo r 展示代入( 1 ) 可 知，是H 的零点。于是再由( 1 ) 及引理4 的条件可 得 _ 1 ) ( r ，丽F 1 研q ) 一I ) ( r ，西F 蠢q ) N ( r ，奇j T ( r ，H ) + O ( 1 ) N ( r ，H ) + m ( r ，H ) + O ( 1 ) N ( r ，厂) + N ( r ，专) + N ( r ，吉) + N o ( n 石i巧 斋+ N ，g ) + N o ，言+ 丙击) + N 0 可F b 丽) + S ( r ，力+ S ( r ，g ) ， ( 2 ) 其中N o ( r ，可可F 扔) 表示在 3 k + 1 1 矛 盾。 情形2 假设H = 0 。由( 1 ) 可得 ( I 二1 22 竺：竺一至I I 二1 22 竺：! 一 ( 广( f - - 1 ) ) 计1 ( 广( 厂一1 ) ) 妨- - 1 鼠蓦黼一畿( g 蹉- - 1 ) 。 ( 矿( g 一1 ) ) + 1 ( 旷 ) 一1 。 w 7 由( 8 ) 连续积分两次可得 讯( f 南- - 1 )一笔嬖( g - - 鬻1 ) ，( 9 ) ( 尸 ) 一1 ( 旷 ) 一1 u 。 其中口和b 是两个常数，并目盘0 。分三种子情 形讨论如下： 子情形2 1 假设a = b 。如果6 一一1 ，由( 9 ) 可得( 广( 厂一1 ) ) ( 旷( g 一1 ) ) - - - - 1 ， 于是引理4 的结论成立。 如果易一1 ，那么( 9 ) 可变为 丽( f 击- 驴一矸麓嬖( g - - 翳1 ) 毛- - 1 。( 1 0 )( 广 1 ) ) ( 1 + 易) ( 矿 ) 。w 由( 1 0 ) 可得 N ( r ，而两) 一丙( r ，面孤瓦1 丽) 。 ( 1 1 ) 由( 1 1 ) 和引理1 ，引理2 和引理3 可得 ( 记+ 1 ) T ( r ，g ) 一T ( r ，g ”( g - 1 ) ) + O ( 1 ) 丙( r ，g ) + ( 是+ 1 ) 丙( r ，专) + N ( r ，击) + 丙( r ，面丽承 丽巧) + 1 s ( r ，g ) 丙( r ，g ) + ( 是+ 1 ) 丙( r ，吉) + N ( r ，虿与) + 丙( r ，万搔) + s g ) 丙( r ，g ) + ( 是+ 1 ) 丙( r ，吉) + N ( r ，虿与) + N ：t + ，( r ，7 巧墨面) + 丙( r ，P ( f 一1 ) ) + s ( r ，g ) 丙( r ，g ) + ( 忍+ 1 ) 丙( r ，专) + N ( r ，i与) + ( 愚+ 1 ) N ( r ，) + N ( r ，了与) + N ( r ，力+ 1 s ( r ，g ) 。 ( 1 2 ) I N 理可得 ( 佗+ 1 ) T ( r ，厂) 霄( r ，厂) + ( 忍+ 1 ) 丙( r ，) + N ( r ，南) + ( ) _ ( 砖) + N ( r ，虿与) + N ( r ，g ) + s ( r ，力。 ( 1 3 由( 1 2 ) 和( 1 3 ) 可得 n ( T ( r ，厂) + T ( r ，g ) ) 2 ( N ( r ，厂) + N ( r ，g ) ) + 2 ( 五+ 1 ) ( 丙( r ，) + N ( r ，土) ) + S ( r ，f ) + 1 s ( r ，g ) g 。 ( 2 k + 4 ) ( T ( r ，力- - T ( r ，g ) ) + 1 s ( r ，力+ 1 s ( r ，驴， 由此可得竹 2 k + 4 ，这与已知条件n 3 k + 1 1 矛 盾。 子情形2 2 假设盘易并且6 o 。如果易一一1 ，那么 ( 9 ) 蛮为 盘+ 1 一( 矿( g 一1 ) ) 。 ( 1 4 ) 1 2 期 李效敏，等：涉及q - 差分微分多项式的亚纯函数的唯一性1 4 1 由于( 歹”( f - 1 ) ) 与( 旷( g - 1 ) ) C M 分担1 ，由 ( 1 4 ) 可得 ( 挖+ 1 ) T ( r ，g ) 一T ( r ，扩( g - 1 ) ) + O ( 1 ) N o ，g ) + 旺+ 1 ) N o ，言+ N ( r ，孑与) + N ( r 虿虿面芦可i) + s ( r g ) N ，g ) + + 1 ) N ，言+ N ( r ，虿与) + 丙( r ，( 广( ，一1 ) ) ) + 1 s ( r ，g ) N ，g ) + + 1 ) N ，言+ N ( r ，i与) + 丙( r ，( 厂) + 1 s ( r ，g ) ( 是+ 3 ) 丁( r ，g ) + 丁( r ，力+ S ( r ，g ) ， 于是 ( n - - k - - 2 ) T ( r ，g ) T ( r ，厂) + S ( r ，g ) 。 ( 1 5 ) 另一方面，再将( 1 4 ) 改写成 ( 盹_ 1 ) 严一盟学喾萨。( 1 6 ) 由( 1 6 ) 和引理3 可得 ( 竹+ 1 ) T ( r ，厂) 一T ( r ，广( f - - 1 ) ) + 0 ( 1 ) N ( r ，厂) + ( 是+ 1 ) N ( r ，7 1 ) + N ( r ，了与) + N ( r 驴可了黍i丽) + S ( r ，厂) 一 N ( r ，厂) + ( 忍+ 1 ) N ( r ，) + N ( r ，了与) + 丙( r ，可斋) + 1 s 力 N ( r ，厂) + ( 是+ 1 ) N ( r ，7 1 ) + N ( r ，南) + N 五+ ( r ，页b ) + 丙( r ，g ) + s 厂) ( 忍+ 3 ) T ( D + ( 是+ 1 ) N ( r ，三) + 仃 N ( r ，j L _ ) + N ( r ，g ) + s ( r ，p 口一l o ( 五+ 3 ) T ( r ，力+ ( 忌+ 3 ) N ( r ，专) + s ( r ，厂) ( 忍+ 3 ) T ( r ，) + ( 忍+ 3 ) T ( r ，g ) + S ( r ，厂) ， 于是 ( 扎一k 一2 ) T ( r ，厂) ( 忌+ 3 ) T ( r ，g ) + S ( r ，) 。 由( 1 5 ) ，( 1 7 ) 和条件n 3 k + 1 1 可得矛盾。 如果6 一1 ，那么( 9 ) 变为 ( 广( 厂一1 ) ) 一( 1 + 1 6 ) 一 b 2 ( 矿( g 一1 ) ) + ( 盘一6 ) 阳。 ( 1 7 ) ( 1 8 ) 由( 1 8 ) ，类似于( 1 4 ) 条件下的推导过程可得矛盾。 子情形2 3 假设盘6 并且b = O 。由( 9 ) 可得 a ( 广( ，一1 ) ) 幢一( g ”( g 一1 ) ) 如。 ( 1 9 ) 当厂，g 是两个非常数的有理函数时，a ( 广( ，厂一 1 ) ) 与( 旷( g 1 ) ) 均为非常数的有理函数。由于 ( 广( 厂一1 ) ) 啦与( 矿( g 一1 ) ) C M 分担1 ，如果1 是 ( 广( 厂一1 ) ) 艟与( 矿( g 一1 ) ) 的P ica r d 例外值，那么 lir a ( 广( 厂一1 ) ) 助一lir a ( 矿( g 一1 ) ) 助一1 ，结合( 1 9 ) 可 得倪一1 ，于是引理4 的结论成立。 如果1 不是( 广( 厂一1 ) ) 助与( 扩( g 一1 ) ) 舫的 P ica r d 例外值，则存在( 广( 厂一1 ) ) 与( 旷( g 一1 ) ) 的公共1 一值点2 1 ，使得( 厂( g ) ”( 厂( z ) 一1 ) ) 助I 。：。，一 ( g ( z ) ”( g ( z ) 一1 ) ) 强l一，一1 ，该式结合( 1 9 ) 可的口一 1 ，于是引理4 的结论成立。以下假设f ，g 是两个超越 亚纯函数。一方面，由( 1 9 ) 可得 n 广( 厂一1 ) 一旷( g 一1 ) + P 1 ， ( 2 0 ) 其中P 是一个次数不超过五的多项式。假设P ， 不恒等于零，由( 2 0 ) ，引理1 和引理2 可得 T ( r ，厂) 一丁( r ，g ) + O ( 1 0 9 r ) ， ( 2 1 ) 和 ( 讫+ 1 ) T ( r ，厂) 一T ( r ，广( f - 1 ) ) + O ( 1 ) - ( r ，f f ( f 叫) + 矾，灭南) + 丙( r ，死F 杀丽) + s 厂) N ( r ，厂) + ( 五+ 1 ) N ( r ，专) + ， N ( r ，了与) + N ( r ，石曩虿兰万芦) + S ( r ，厂) N ( r ，厂) + ( 是+ 1 ) N ( r ，专) + N ( 厂，南) + M + z ( r ，页b ) + N ( r ，g ) + S ( r ，D ( 忌+ 3 ) T ( r ，D + ( 五+ 1 ) N ( r ，三) + g N ( r ，丢_ ) + N ( r ，g ) + 1 s ( r ，力 ( 是+ 3 ) T ( r ，一+ ( 忍+ 3 ) T ( r ，g ) + S ( r ，厂) 。 ( 2 2 ) 由( 2 1 ) 和( 2 2 ) 可得挖 2 k + 5 ，这与n 3 k + 1 1 矛 盾。于是P 1 一O ，( 2 0 ) 变为口广( 厂一1 ) 一g “( g 一1 ) ，由 此得 口( 广( 厂一1 ) ) 一( g ”( g 一1 ) ) 舢。 ( 2 3 ) 另外，由前面得到的( 3 ) 可得 ( 记一五一2 ) T ( r ，力 N ( n 驴万高j j + S ( 吖) 。 ( 2 4 ) 由( 2 4 ) 可知( 广( 厂一1 ) ) 一1 有零点。注意到( 产 ( 厂1 ) ) 与( 旷( g 一1 ) ) C M 分担1 ，由( 2 3 ) 可知n 一 1 4 2中国海洋大学学报 1 ，于是引理4 成立。引理4 证毕。 引理5 E ” 假设厂是1 个非常数的零级亚纯函数，q O 是复 常数，则r e ( r , 帮) 一o ( T ( r ，厂) ) 在对数密度是1 的集合上成立。 引理6 1 1 8 , 蚴- 1 假设厂是1 个非常数的零级亚纯函 数，则在下对数密度为1 的集合上有T ( r ，f ( q z ) ) 一T ( r ，厂( z ) ) ( 1 + o ( 1 ) ) 。 引理7 1 1 8 , 删3 3 假设厂是1 个非常数的零级亚纯函 数，则在下对数密度为1 的集合上有N ( r ，厂( q z ) ) 一N ( r ，厂( z ) ) ( 1 + O ( 1 ) ) 。 引理8 1 9 ，删L 3 假设T ： o ，+ ) 一 o ，+ 0 0 ) 是一个 增函数，且满足li熙p 垃甓笋一o 。 如果C 1 1 ，C 2 1 ，那么集合E 一 r ：T ( C 1 r ) C 2 T ( r ) ) 的对数密度为零。 引理9 E 2 ，引理1 1 0 3 假设 和 是2 个非常数的亚纯函 数，且满足 + f 2 1 ，那么T ( r ， ) N ( r ，) + N ( r ，) + N ( r ， ) + S ( r ， ) 。 引理i0 2 0 3 假设s 0 和是2 个互素的整数，c是一 个满足c5 1 的复数，那么叫5 1 与叫一c有且只有一 个公共零点。 引理ii E 2 1 1 假设厂与g 是2 个非常数的亚纯函数， 五 1 是一个正整数，并且，4 与g 胁I M 分担1 。如果 1 一( 2 k + 3 ) 0 ( 0 0 ，厂) + ( B k + 4 ) 0 ( 0 0 ，g ) + 0 ( 0 ， 厂) + ( O ，g ) + 2 + 1 ( O ，力+ 3 + 1 ( O ，g ) 4 k + 1 3 和 2 一( 2 k + 3 ) O ( 0 0 ，g ) + ( 2 k + 4 ) ( ，) + O ( 0 ， g ) + O ( 0 ，f ) + 2 & + 1 ( O ，g ) + 3 + 1 ( 0 ，f ) 4 k + 1 3 成立，那么厂g D 一1 或者厂一g 。 2 定理的证明 定理1 3 的证明设f ( q z ) - - f ( z ) 一g ( z ) 。由引理4 ， 分两种情形讨论如下： 情形1 假设 ( ( 厂( z ) ”( 厂( z ) - - 1 ) ) 啦( ( 厂( q z ) - - f ( z ) ) ”( 厂( q z ) 一 f ( z ) - 1 ) ) ( 助一1 。 ( 2 5 ) 首先。广( 厂一1 ) ) 不恒等于常数。事实上，若 ( 广( 厂一1 ) ) 弛h 叵等于某个常数，那么 户( 厂一1 ) 一P ， ( 2 6 ) 其中R 是某个次数 是的多项式。注意到f 是一 个非常数的亚纯函数，并且挖 3 是+ 1 1 ，无论厂是有理 函数还是超越亚纯函数，我们都可以由( 2 6 ) 和引理2 得出矛盾。设 ) 一鬻。 ( 2 7 ) 贝0 由( 2 7 ) 可矢口f ( q z ) 一厂( z ) 一厂( z ) ( 矗( z ) - 1 ) ，于 是( 2 5 ) 可写成 上一lZ ( 兰2 ：! ( 兰2 二1 22 竺 厂( z ) 孙厂( z ) “( 厂( z ) - 1 ) 丛( z X 篾f ( z 裟苏掣擎， ( 2 8 ) q) ) ”( q 厂( z ) 一1 ) ”“ 其中 h 1 一瓴一1 ) ”( 厂一1 ) ( 厂( 一1 ) - 1 ) 。 ( 2 9 ) 于是由( 2 8 ) ，( 2 9 ) 和引理5 可得 2 跏( r ，南) 一m ( r ，击) m ( r ，h 1 ( z ) ) + o ( T ( r ，) ) 2 m ( r ，厂( z ) ) + o ( T ( r ，一) 。 ( 3 0 ) 另一方面，由( 2 5 ) 和条件他 3 是+ 1 1 可知，厂( z ) 的 每个极点一定是f ( q z ) 的极点，而。厂( z ) 一f ( q z ) 一 厂( z ) 的极点是厂( z ) 的解析点，从而由引理7 可知 N ( r ，A 。f ( q z ) ) N ( r ，厂( q z ) ) 一N ( r ，厂( z ) ) z O ( T ( r ，厂) ) 。( 3 1 ) 在r 的下对数密度为1 的集合上成立。 再由( 2 5 ) ，( 3 1 ) 和条件祀 3 忍+ 1 1 可得 ( 2 n - - 是) N ( r ，南) 2 记N ( r ，南) 吨丙( r ，南) N ( r ，( ( z 5 q 厂( z ) ) “( z 5 9 厂( z ) - - 1 ) ) ) ( 孢+ 1 ) N ( r ，。厂( 2 ) ) + 忍N ( r ，A 。厂( z ) ) 一 0 ( T ( r ，厂) ) ， 从而 N ( r ，而1 ) _ o ( 丁( r ，厂) ) 。( 3 2 ) 在下对数密度为1 的集合上成立。再由( 3 0 ) ， ( 3 2 ) 和第一基本定理可得 2 n T ( r ，厂( 2 ) ) 一2 孢丁( r ，南) + o ( 1 ) 2 m ( r ，厂( z ) ) + o ( T ( r ，力) 2 丁( r ，厂( z ) ) + o ( T ( r ， 厂) ) 在r 的下对数密度为1 的集合上成立。 该式结合条件祀 3 k + 1 1 可得T ( r ，厂) 一0 ( T ( r ， 厂) ) 在r 的下对数密度为1 的集合上成立，从而厂为常 数函数，这与已知条件矛盾。 情形2 假设 ( 广( 厂一1 ) ) 一( g ”( g 一1 ) ) ， ( 3 3 ) 其中g ( 2 ) 一厂( q z ) - - f ( z ) 。 ( 3 4 ) 由( 3 3 ) 可得 广( 厂一1 ) 一旷( g 一1 ) 一Q E 。 ( 3 5 ) 其中Q 是一个次数不超过是的多项式。如果Q 1 2 期李效敏，等：涉及q i差分微分多项式的亚纯函数的唯一性1 4 3 不恒为零，由( 3 5 ) ，引理2 和引理9 可得 T ( r ，g ) T ( r ，厂) + 掣署+ o ( 1 ) 和( 佗+ 1 ) T ( r ，厂) 一T ( r ，广( 厂一1 ) ) 4 - O ( 1 ) N ，歹可兰面) + N ，矛瓦- - i1 面) + N ( r ，户( 厂一1 ) ) 4 - S ( r ，广( 厂一1 ) ) N ( r ，) 4 - N ( r ，7 三) 4 - N ( r ，土) + jJ 1 g N ( r ，亡) + N ( r ，厂) + S ( r ，厂) g 1 5 T ( r ，厂) + 单+ o ( 1 ) 该式与条件孢 3 k 4 - 1 1 可知，不论厂是非常数的 有理函数还是超越亚纯函数，均可得到矛盾。所以 Q 一0 ，于是( 3 5 ) 变为 尸( 厂一1 ) 一g ”( g 一1 ) 。 ( 3 6 ) 假设厂不恒等于g 。设 一上。( 3 7 ) g 以下分两子种情形讨论： 子情形2 1 假设h 是一个常数，那么 1 ，于是1 一 九卅1 和1 一九卅1 不同时为零。由( 3 6 ) 和( 3 7 ) 可得( 1 一 h 科1 ) g 一1 一九”，于是( 1 一九井1 ) ( 1 - - h ”) 0 ，从而 g 一上丛，厂一搿，(38)l g 一 - - h - + 1 ，一彳， ( 3 8 ) 这与g 为非常数的亚纯函数矛盾。 子情形2 2 假设h 不恒为常数，那么五一1 ，1 一矿+ 1 和 1 一矿全不恒为零，于是由( 3 6 ) 和( 3 7 ) 可得( 3 8 ) 。由引 理1 0 可知，1 0 3 n + l和1 一有且只有一个公共零点 一1 。由此结合( 3 8 ) 和引理2 可得 T ( r ，厂) 一丁( r ，带) 一孢T ( r ，h ) 4 - O ( 1 ) 。 ( 3 9 ) 于是S ( r ，厂) 一S ( r ， ) 。由第二基本定理可得 丙( 7 一，p N ( 7 一，滞) 一奎j = l丙( r ，再芝) ( 孢一2 ) 丁( r ，五) 4 - s ( r ，五) ，( 4 0 ) 其中，( 1 歹 挖) 是抖1 1 的佗个判别的根并 且口，1 。于是由( 3 9 ) ( 4 0 ) 可得 0 ( o o ，俨1 一甄黼 1 T = ( 竹一2 ) T ( r ， ) 4 - S ( r ，九) 一2 1 一熘 矛歹万再石瓦厂一一i 这与已知条件 ( o 。，厂) 2 肠矛盾。于是厂一g ， 即厂一。厂。从而完成了定理1 3 的证明。 定理1 2 的证明： 由引理4 ，分两种情形讨论如下： ，隋形1 假设 ( 厂( z ) ”( 厂( z ) - 1 ) ) ( 厂( q z ) ”( 厂( q z ) 一1 ) ) D 一1 。 ( 4 1 ) 首先类似于定理1 3 证明过程中的情形1 可得 ( 尸( 厂一1 ) ) 和( 厂( q z ) ”( 厂( q z ) 一1 ) ) 均不恒为常 数。再由( 4 1 ) ，引理3 ，引理5 和引理6 可得 ( 他4 - k 4 - 1 ) N ( r ，厂( z ) ) N ( r ，( 厂( z ) ”( 厂( z ) 一1 ) 胁) 一 N ( r ，承两可靠丽) 忍N ( r ，f ( q z ) ) 4 - M + ，( r ，丽丽冗高万可万) + S ( r ，厂( z ) ) 是N ( ，f ( q z ) ) 4 - ( k 4 - 1 ) N ( r ，了宕万) + N ( r ，志) + S ( r ，厂( z ) ) 愚N ( r ，f ( q z ) ) 4 - ( 忍+ 1 ) T ( r ，f ( q z ) ) 4 - T ( r ，f ( q z ) 一1 ) 4 - S ( r ，厂( z ) ) 愚N ( r ，f ( q z ) ) 4 - ( 忍+ 2 ) T ( r ，f ( q z ) ) 4 - S ( r ，厂( z ) ) 五N ( r ，f ( q z ) ) 4 - ( 五4 - 2 ) T ( r ，f ( q z ) 4 - S ( r ，厂( z ) ) 忍N ( r ，f ( q z ) ) 4 - ( 忍+ 2 ) T ( r ，厂( z ) 4 - S ( r ，厂( z ) ) 。( 4 2 ) 由引理8 可得 N ( r ，f ( q z ) ) 一N ( r ，厂( z ) 4 - 0 ( 丁( r ，厂) ) 。 ( 4 3 ) 由( 4 2 ) 和( 4 3 ) 可得 ( 孢+ 1 ) N ( r ，力 ( 忍+ 2 ) T ( r ，厂) 4 - o ( T ( r ，p ) 。 ( 4 4 ) 由( 4 4 ) 可得 ( 。，力 专葺 ，这与已知条件矛盾。 情形2 假设 ( 厂( z ) ”( 厂( z ) - 1 ) ) 助一( 厂( q z ) ”( 厂( q z ) - 1 ) ) 胁。 ( 4 5 ) 由( 4 5 ) ，类似于定理1 3 的证明过程中情形2 可得 f ( z ) 一厂( q z ) ，于是完成了定理1 2 的证明。 参考文献： 1 H a y m a nWK + M e r o m o r p h icF u n ct io n s M O x f o r d ：T h eC la r e d o n ，1 9 6 4 2 仪洪勋，杨重骏亚纯函数的唯一性理论 M 北京：科学出版社， 1 9 9 5 H o n g - X u nY i，C h u n g - C h u nY a n g U n iq u e n e s sT h e o r yo fM e r o m o r p h icF u n ct io n s M B e ij in g ：S cie n ceP r e s s ，1 9 9 5 I - 3 IL a h ir iW e ig h t e ds h a r in go ft h r e ev a lu e sa n du n iq u e n e s so fr a e r o m o r p h icf u n ct io n s J K o d a iM a t h T ，2 0 0 1 ，2 4 ( 3 ) ：4 2 1 4 3 5 4 CCY a n g O nt w oe n t ir ef u n ct io n sw h icht o g e t h e rw it ht h e ird e r iv a t iv e sh a v et h eS a I T t ez e r o s J JM a t hA n a lA p p l，19 7 6 ，5 6 ：1 6 E 5 HXY iU n iq u e n e s so fm e r o m o r p h icf u n ct io n sa n daq u e s t io nO fC C Y a n g J C o m p le xV a rT h e o r yA p p l，19 9 0 ，1 4 ：16 9 1 7 6 6 IL a h ir iU n iq u e n e s so fm e r o m o r p h icf u n ct io n sa sg o v e r n e db y 1 4 4中国海洋大学学报 2017 在 7 胡 9 3 i0 3 1 1 1 2 3 1 3 1 1 4 1 t h e ird if f e r e n t ia lp o ly n o m ia ls J 1 Y o k o h a m aM a t h J ，19 9 7 ，4 4 ： 1 4 7 15 6 C CY a n g ，XHH u a U n iq u e n e s sa n dv a lu e - s h a r in go fm e r o m o r p h icf u n ct io n s J A n nA ca dS ciF e n nM a t h ，1 9 9 7 ，2 2 ：9 5 4 0 6 MLF a n g U n iq u e n e s sa n dv a lu es h a r in go fe n t ir ef u n ct io n s E J C o m p u tM a t hA p p l，2 0 0 2 ，4 4 ：8 2 3 8 3 1 RH a lb u r d ，RK o r h o n e n ，KT o h g e H o lo m o r p h iccu r v e sw it h s h if t - in v a r ia n th y p e r p la n ep r e im a g e s J 1 T r a n sA m e rM a t hS o c， 2 0 1 4 ，3 6 6 ( 8 ) ：4 2 6 7 4 2 9 8 YMC h ia n g ，SJF e n g O nt h eN e v a n lin n ach a r a ct e r is t ico fa n d d if f e r e n cee q u a t io n sint h eco m p le xp la n e J R a m a n u j a nJ ， 2 0 0 8 ，1 6 ：1 0 5 1 2 9 IL a in e ，CC Y a n g C 1 u n iet h e o r e m sf o rd if f e r e n cea n dq - d if f e r e n cep o ly n o m ia ls J JL o n d o nM a t hS o c，2 0 0 7 ，7 6 ：5 5 6 5 6 6 JH e it t o k a n g a s ，RK o r h o n e n ，IL a in e ，e ta 1 V a lu es h a r in gr e s u lt sf o rs h if t so fm e r o m o r p h icf u n ct io n sa n ds u f f icie n tco n d it io n s f o rp e r io d icit y J JM a t hA n a lA p p l，2 0 0 9 ，3 55 ：3 5 2 3 6 3 JH e it t o k a n g a s ，RK o r h o n e n ，IL a in e ，e ta 1 U n iq u e n e s so fm e t o m o r p h icf u n ct io n ss h a r in gv a lu e sw it ht h e irs h if t s J C o m p le x V a rE llip t icE q u ，2 0 1 1 ，5 6 ：8 1 9 2 JLZ h a n g V a lu ed is t r ib u t io na n ds h a r e ds e t so fd if f e r e n ce so f m e r o m o r p h icf u n ct io n s J JM a t hA n a lA p p l，2 0 1 0 ，3 6 7 ：4 0 1 4 0 8 r 1 5 3 AZM o k h o n k o O nt h eN e v a n lin n ach a r a ct e r is t icso fs o m em e r o m o r p h icf u n ct io n s C T h e o r yo fF u n ct io n s ，F u n ct io n a lA n a ly s isa n dT h e irA p p lica t io n s ，I z d - v oK h a