随机过程的基本概念.ppt

随机过程的基本概念,随机过程的定义随机过程的概率分布随机过程的统计特性随机序列及其统计特性复随机过程几种重要的随机过程,1随机过程的定义,随机过程研究随“时间”变化的“动态”的随机现象随机过程几个例子：生物群体的生长问题：以Xt表示在t时刻群体的个数，对每一个t，Xt是一个随机变量。若从t=0开始，每隔24小时对群体个数观测一次，则Xt,t=0,1,是随机过程。某电话交换台在时间段0,t内接到的呼叫次数是与t有关的随机变量X(t)，对于固定的t，X(t)是一个取非负整数的随机变量。则X(t),t0,)是随机过程。,随机过程的定义,定义设（S,P）是概率空间，T是给定的参数集，若对每个tT，有一个随机变量X(t,e)与之对应，则称随机变量族X(t,e),tT是（S,P）上的随机过程，简记为随机过程X(t),tT。T称为参数集，通常表示时间。,X(t,e)是定义在TS上的二元函数。,状态与样本函数,状态对于固定时刻tT，X(t,e)是（S,P）上的随机变量，此时把X(t)所取的值称为随机过程X(t)在时刻t所处的状态。X(t)的所有可能状态所构成的集合称为状态空间或相空间，记为I。样本函数对于固定e，X(t,e)是定义在T上的普通函数，称之为随机过程X(t,e),tT的一个样本函数或轨道。样本函数的全体称为样本函数空间。,随机过程的四种类型,离散型随机序列,连续型随机序列,连续型随机过程,离散型随机过程,2随机过程的概率分布,设X(t),tT是随机过程，对任意t1T及实数x1R，一维分布函数为,（连续型）一维概率密度函数为,（离散型）一维分布律为,其中：,（1）一维概率分布,（2）二维概率分布,设X(t),tT是随机过程，对任意t1,t2T及实数x1,x2R，二维分布函数为,（连续型）二维概率密度函数为,（3）n维概率分布,设X(t),tT是随机过程，对任意t1,t2,tnT，及实数x1,x2,xnR，n维分布函数为全体有限维分布函数的集合称为X(t),tT的有限维分布函数族。,n维概率密度函数,相应地，全体有限维概率密度函数的集合称为随机过程X(t)的有限维概率密度函数族。,3随机过程的统计特性,设XT=X(t),tT是随机过程，如果对任意tT，EX(t)存在，则随机过程XT的数字特征定义为,均值函数,(自)协方差函数,方差函数,(自)相关函数,均方值函数,几种关系,均值函数mX(t)和相关函数RX(s,t)是最基本的两个数字特征。“相关理论”在随机过程理论中，仅研究mX(t)和RX(s,t)有关的理论。,随机过程的特征函数,定义设随机过程X(t)的概率密度函数为f(x,t)，则称为X(t)的特征函数。,n维特征函数：,随机过程的特征函数与自相关函数的关系：,例1,已知随机相位正弦波X(t)=acos(t+)，其中a0，为常数，为在（0,2）内均匀分布的随机变量。求随机过程X(t),t(0,)的均值函数mX(t)和相关函数RX(s,t)。,互协方差、互相关函数,设有两个随机过程X(t),tT和Y(t),tT，,互协方差函数：,互相关函数：,当KXY(s,t)=0时，称X(t),tT与Y(t),tT互不相关当RXY(s,t)=0时，称X(t),tT与Y(t),tT相互正交,关系式：,例2,设X(t)为信号过程，Y(t)为噪声过程，令W(t)=X(t)+Y(t)，,则W(t)的均值函数为,其相关函数为,4随机序列及其统计特性,设X(t)是连续随机过程，如果对t以周期Ts进行等间隔抽样，即得随机序列Xn=X(n),nZ。,均值函数,方差函数,均方值函数,(自)协方差函数,自相关函数,N维随机向量,一个N点的随机序列可以看成是一个N维的随机向量，X=X1,X2,XNT,均值向量：,协方差矩阵：,自相关矩阵：,自相关阵、协方差阵的性质,对称性半正定性,其中A=a1,a2,aNT是N维常向量,例求在0,1区间均匀分布的独立随机序列的均值向量、自相关阵和协方差阵，设N=3。,解：,Xi的一维概率密度函数为：,Xi的均值：,Xi的自相关函数：,均值向量,自相关阵,协方差阵,5复随机过程,定义两个实随机过程：Xt,tT和Yt,tT，如果对于任意tT，有Zt=Xt+jYt则称Zt,tT为复随机过程。,复随机过程的数字特征,均值函数：,协方差函数：,方差函数：,相关函数：,均方值函数：,例3,设复随机过程，其中A1,A2,An是相互独立且服从N(0,)的随机变量，1,2,n为常数，求Zt,t0的均值函数mZ(t)和相关函数RZ(s,t)。,6几种重要的随机过程,二阶矩过程平稳随机过程高斯随机过程增量过程泊松过程马尔可夫过程,(1)二阶矩过程,定义对于随机过程X(t),tT，若对任意tT，X(t)的均值和方差都存在，则称X(t)为二阶矩过程。,实际上，如果X(t)的均方值存在，即EX2(t)，则，均值和方差一定存在。同时，根据Schwartz不等式，则，相关和协方差也一定存在。二阶矩过程的所有二阶矩都存在。,(2)平稳过程,定义设X(t),tT是随机过程，若对任意常数和正整数n，t1,t2,tnT，t1+,t2+,tn+T，X(t1),X(t2),X(tn)与X(t1+),X(t2+),X(tn+)有相同的联合概率分布，则称X(t),tT为严平稳过程，也称狭义平稳过程。,广义平稳过程,定义设X(t),tT是随机过程，如果(1)X(t),tT是二阶矩过程；(2)对任意tT，mX(t)=EX(t)=常数；(3)对任意s,tT，RX(s,t)=EX(s)X(t)=RX(st)；则称X(t),tT为广义平稳过程，简称(宽)平稳过程。若T为离散集，则称平稳过程X(t),tT为平稳序列。,(3)高斯随机过程,定义设X(t),tT是随机过程，若对任意正整数n和t1,t2,tnT，n维随机变量(X(t1),X(t2),X(tn)是联合高斯分布的，则称X(t),tT为高斯随机过程或正态过程。,其中，X=(X1,X2,Xn)，m=(m1,mn)是常向量（均值向量），K=(Kij)nn是正定矩阵（协方差矩阵）。,n维高斯分布：,平稳高斯过程,均值和自相关函数是平稳的，,任意n维联合概率密度函数为,平稳高斯过程X(t),tT满足,其中，R是由相关系数rij构成的行列式，Rij是行列式中元素rij构成的代数余子式。,平稳高斯过程的一维、二维概率密度函数,一维概率密度函数,二维概率密度函数,高斯过程的性质,高斯过程完全由它的均值和相关函数（协方差函数）决定；高斯过程的不相关与独立等价；高斯过程的宽平稳与严平稳等价；高斯过程与确定信号之和仍为高斯过程；若高斯过程X(t),tT在T上均方可微，则其导数过程X(t),tT也是高斯过程；若高斯过程X(t),tT在T上均方可积，则其积分过程Y(t),tT也是高斯过程。,(4)增量过程,正交增量过程的协方差函数可以由它的方差确定：,定义设X(t),tT是零均值的二阶矩过程，若对任意的t1t2t3t4T，有则称X(t)为正交增量过程。,独立增量过程,定义设X(t),tT是随机过程，若对任意的正整数n和t1t2tnT，随机变量X(t2)X(t1),X(t3)X(t2),X(tn)X(tn-1)是相互独立的，则称X(t),tT为独立增量过程，又称可加过程。,