归纳法证明不等式1

1 / 8 归纳法证明不等式 1 本资料为 WoRD 文档，请点击下载地址下载全文下载地址 选修 4-5 学案 数学归纳法证明不等式姓名 学习目标： 1.理解数学归纳法的定义、数学归纳法证明基本步骤 ; 2.会运用数学归纳法证明不等式 重点：应用数学归纳法证明不等式 . 知识情景： 关于正整数 n 的命题 (相当于多米诺骨牌 ),我们可以采用下面方法来证明其正确性： 10.验证 n 取时命题 (即 n时命题成立 )(归纳奠基）； 20.假设当时命题成立，证明当 n=k 1 时命题 (归纳递推） . 30.由 10、 20知，对于一切 n 的自然数 n 命题！ (结论） 要诀 :递推基础 ,归纳假设 ,结论写明 . 数学归纳法的应用： 例 1.用数学归纳法证明不等式 . 例 2 已知 x-1，且 x¹0， nÎN*， n2 求证： (1+x)n1+nx. 例 3 证明 :如果为正整数 )个正数的乘积 , 那么它们的和 . 2 / 8 例 4 证明 : 例 5.当时 ,求证 : 选修 4-5 练习 数学归纳法证明不等式（ 1）姓名 1、已知 f(n)=(2n+7)3n+9,存在自然数 m,使得对任意 nN, 都能使 m 整除 f(n)，则最大的 m 的 值为 () 2、 .观察下列式子： 则可归纳出 _. 3、已知 ,则的值分别为 _，由此猜想 _. 4、用数学归纳法证明 :能被 8 整除 . 5、用数学归纳法证明 6、 .用数学归纳法证明 4+3n+2能被 13整除，其中 nN 7、求证： 8、已知，用数学归纳法证明： 3 / 8 9、 .求证：用数学归纳法证明 答案 : 1.关于正 整数 n 的命题 (相当于多米诺骨牌 ),我们可以采用下面方法来证明其正确性： 10.验证 n取第一个值时命题成立 (即 n时命题成立 )(归纳奠基）； 20.假设当 n=k时命题成立，证明当 n=k 1时命题也成立 (归纳递推） . 30.由 10、 20知，对于一切 n 的自然数 n 命题都成立！ (结论） 要诀 :递推基础不可少 ,归纳假设要用到 ,结论写明莫忘掉 . 例 1 当时 ,上式左边右边 ,不等式成立 . 设当时 ,不等式成立 ,即有 . 那么 ,当时 , = 例 2 证明 :(1)当 n=2时，左 (1 x)2=1+2x+x2 x& sup1;0， 1+2x+x21+2x= 右 ,n=2 时不等式成立 （ 2）假设 n=k(k2) 时，不等式成立，即 (1+x)k1+kx 当 n=k+1时，因为 x-1，所以 1+x0，于是 4 / 8 左边 =(1+x)k+1 右边 =1+(k+1)x 因为 kx2 0，所以左边右边，即 (1+x)k+11+(k+1)x 这就是说，原不等式当 n=k+1时也成立 根据 (1)和 (2)，原不等式对任何不小于 2的自然数 n都成立 . 例 3 证明 : 当时 ,有，命题成立 . 设当时，命题成立， 即若个正数的乘积 , 那么它们的和 . 那么当时 ,已知个正数满足 . 若个正数都相等 ,则它们都是 1.其和为 ,命题成立 . 若这个正数不全相等 ,则其中必有大于 1的数 ,也有小于 1的数 (否则与矛盾 ).不妨设 . 例 4 证 :(1)当 n=1时 ,左边 =,右边 =,由于故不等式成立 . (2)假设 n=k()时命题成立 ,即 则当 n=k+1时 , 即当 n=k+1时 ,命题成立 . 由 (1)、 (2)原不等式对一切都成立 . 例 5（ 1） 练习 5 / 8 1解析： f(1)=36,f(2)=108=336,f(3)=360=1036 f(1),f(2),f(3) 能被 36整除，猜想 f(n)能被 36 整除 . 证明： n=1,2时，由上得证，设 n=k(k2) 时， f(k)=(2k+7)3k+9 能被 36 整除，则 n=k+1 时， f(k+1) f(k)=(2k+9)3k+1 (2k+7)3k =(6k+27)3k (2k+7)3k =(4k+20)3k=36(k+5)3k 2 (k 2) f(k+1)能被 36整除 f(1) 不能被大于 36的数整除， 所求最大的 m值等于 36.答案： c 2、解析： (nN*) (nN*) 、 4、证 :(1)当 n=1 时 ,A1=5+2+1=8,命题显然成立 . (2)假设当 n=k时 ,Ak能被 8 整除 ,即是 8 的倍数 . 那么 : 因为 Ak是 8的倍数 ,3k-1+1是偶数即 4(3k-1+1)也是 8的倍数 ,所以 Ak+1也是 8 的倍数 , 即当 n=k+1时 ,命题成立 . 6 / 8 由 (1)、 (2)知对一切正整数 n,An能被 8 整除 . 5证明： 1当 n=1时，左边 =1-=，右边 =，所以等式成立。 2假设当 n=k时，等式成立， 即。 那么，当 n=k+1时， 这就是说，当 n=k+1 时等式也成立。 综上所述，等式对任何自然数 n 都成立。 6证明： (1)当 n=1时， 421+1+31+2=91 能被 13 整除 (2)假设当 n=k 时， 42k+1+3k+2 能被 13 整除，则当 n=k+1时， 42(k+1)+1+3k+3=42k+142+3k+23 42k+13+42k+13 =42k+113+3(42k+1+3k+2 ) 42k+113 能被 13整除， 42k+1+3k+2 能被 13整除 当 n=k+1时也成立 . 由 知，当 nN* 时， 42n+1+3n+2 能被 13整除 . 7证明：（ 1）当 n=2时，右边 =，不等式成立 7 / 8 （ 2）假设当时命题成立，即 则当时， 所以则当时，不等式也成立 由（ 1），（ 2）可知，原不等式对一切均成立 8.证明： （ 1）当 n=2时， 命题成立 （ 2）假设当时命题成立，即 则当时， 所以则当时，不等式也成立 由（ 1），（ 2）可知，原不