待定系数法求平面方程初探

1 / 4 待定系数法求平面方程初探 待定系数法求平面方程初探 摘要：待定系数法是一种重要的数学思维方法，同时也是一种常见的解题技巧本文分析总结其在高等数学中求平面方程方面的应用，有利于学生更好地把握、灵活地运用好待定系数法，为以后解决类似的问题提供一定的借鉴作用。 关键词：待定系数法高等数学平面方程 一、引言 待定系数法是一种重要的数学方法，它是在知道问题答案形式的前提下，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决的一种解题思路，从而使原有的问题转化为较简单的、易解决的问 题的方法。 二、待定系数法在数学中的应用 在学习数学的过程中，待定系数法是一种比较常见的、重要的解题技巧，它常常能起到化难为易、化繁为简的作用在初等数学中，经常用到待定系数法的地方有：求平面曲线方程、因式分解、坐标变换、函数解析式的求解以及均值不等式的求解，等。如：用待定系数法求椭圆方程其解2 / 4 题步骤如下：将从已知条件中得到的的对应值代入方程中，建立关于待定系数 a， b 的二元二次方程组，通过解方程组即可得到 a， b 的值，从而求得椭圆方程。 在高等数学中，我们同样可以用待定系数法来求平面方程及空 间曲线方程，还可应用待定系数法计算 些不定积分和求解微分方程，等。以下介绍用待定系数法求平面方程。 三、用待定系数法求解平面方程的方法 先把平面方程设为一般式方程（），然后根据已知条件列出关于的方程组，解方程组求出系数 A、 B、 c、 D，从而求出所求平面方程。 这里需要特别注意方程（）的系数与该平面在坐标轴上的相对位置的关系，知道这些关系可简化设出所求平面方程。 平面过原点，则方程为。 平面过轴，则；平面过轴，则；平面过轴，则。 平面分别平行于 轴时，其方程为。 轴时，其方程为。 轴时，其方程为。 平面平行于平面，则其方程为。 平面平行于平面，则其方程为。 平面平行于平面，则其方程为。 3 / 4 四、举例 例 1 求过点（ 2， 1， 3）和 z 轴的平面方程 解：由平面的坐标轴上的相对位置与其方程系数的关系知，可设所求平面的方程为。 又平面过点（ 2， 1， 3），将其坐标代入上方程得到 故所求平面方程为。解毕。 例 2 求过三点 m（ 1， 0， 0）、 N（ 0， 1， 0）和 Q（ 0， 0，1）的平面方程 解：设平面方程为。将三点坐标分别代入 得方程组 解之，得。代入平面方程得 故所求平面方程为：。解毕。 注：此例也可用平面的点法式方程求解，但需先求法向量，计算相对较难。 例 3 求经过点 m（ 1， 1， 1）和直线的平面方程 解：设平面方程为。在直线上任取两点 N（ 1， 2， 3）和 Q（ -1， -1， -1），则平面经过三点 m、 N、 Q，将三点坐标分别代入得方程组 ，解之，得。代入平面方程得 ， 所以，即为所求平面方程。 五、小结 通过以上三例我们看到，求经过已知三点的平面方程，4 / 4 或求经过已知直线（坐标轴）或 平行于坐标面（轴）或平行于某已知平面且满足另一约束条件的平面方程，通常使用待定系数法求解，即将所求平面设为一般式方程，再由题设条件确定、的系数与常项，从而可求得平面方程。 参考文献 1张跃，董俊