悖论剖析与解题技巧

1 / 71 悖论剖析与解题技巧 悖论：基于相似性的消解 “ 悖论 ” 是一类简单得连中学生都能看懂、却使一代又一代一流思想家为之耗尽心力的超级难题。就这一点而言，它与数论中一些著名难题 如哥德巴赫猜想等颇为类似。若论重要程度，它较之后者也可说是有过之而无不及。这是因为，它似乎能从根本上动摇逻辑的可靠性乃至人类理性的根基，而不像后者那样影响仅局限于特定研究领域而无碍于大局。 “ 悖论 ” 早在古希腊时代就已提出，很多大哲学家、大逻辑学家都试图解决它，但令人遗憾的是，人们一直未能找到公认的统一解法。 20 世纪 50 年代初，大逻辑学家克林 ()在元数学导论一书中总结此前半个世纪的 “ 悖论 ” 研究时不无遗憾地指出： “ 从悖论问题提出半个世纪以来，问题至今悬而未决，没有任何一种答案能得到普遍的认可。 ” 二十几年后，他在为新版大英百科全书撰写的数学基础一文中仍坚持这一 “ 悲观 ” 看法：“ 现代悖论在古代的原型就是 说谎者 悖论。 公元前四世纪的欧布里德斯提出：有一个人说： 我现在说的这句话是谎话。 这句话，如真，即假；如假，则真。至今没有一个人能够使大家信服地明确指出悖论的推理中有任何谬误，从而解除悖论。 ” （转引自杨熙龄著悖论文献访求漫记，载于 国外社会科学 1984年第 12期，转载于复印报刊资料逻辑 1985 年第 1 期）从那时起到现在二十多年又2 / 71 过去了，克氏此论似乎依然没有过时，至少就 “ 语义悖论 ”而言是如此。近年来，我们就 “ 悖论 ” ，特别是就 “ 语义悖论 ” ，提出了一个统一的、非特设性的消解原理（见晋阳学刊 2000年 3 期从 “ 悖论 ” 到新奇的真理、科学技术与辩证法 1999年 2 期 “ 语义学黑洞 ” 之消解、山西师大学报 1998 年 3 期一类 “ 语义悖论 ” 之消解等文），引起了学界的关注。这一原理的发现过程，可以说是一种基于相似性的探索过程。本文拟大 体上循着这一思路引出这个原理。在这样做之前，我们必须首先介绍一下有关 “ 悖论 ”的基本背景。 “ 悖论 ” 及其实例严格说来，两个相互矛盾的命题之合乎逻辑的相互推出谓之悖论。有时也称这样的命题为悖论，不过，就悖论研究而言，取那一种定义实际上是无关宏旨的。应当指出的是，人们常在更为宽泛的意义上使用“ 悖论 ” 一词。较为常见的是，称上述意义上的悖论为典型悖论，而称两个相互矛盾命题之合取的合乎逻辑的推出为非典型悖论。因而，这里的 “ 悖论 ” 亦即 “ 典型悖论 ” ，仅在使用 “ 非典型悖论 ” 时，才用 “ 典型悖论 ” 以示区别。两个命题是相互矛盾的，当 且仅当：其中一个为真，另一个即为假，其中一个为假，另一个即为真。由此可见，两个相互矛盾的命题必为一真一假。如此说来，悖论之存在便意味着，由真（命题）可以合乎逻辑地推出假（命题）。这显然意味着，逻辑乃是不可靠的。在比较宽泛的意义上， “ 悖论 ” 实3 / 71 际上指的是可以证伪逻辑可靠性的论证。由此即可看出，悖论研究的确事关重大，无怪乎要引起诸多大思想家的关注。对此，斯蒂芬 里德（ StephenRead）在对逻辑的思考 逻辑哲学导论（辽宁教育出版社、牛津大学出版社 1998年中文版）一书的导论中曾经十分形象地写下这样一段话 ：“ 悖论既是哲学家的惑人之物，又是他们的迷恋之物。悖论吸引哲学家就像光吸引蛾子一样。 哲学家是巫师，其任务就是拯救我们，使我们摆脱这个恶魔。 ” 照理说，逻辑的可靠性是毋庸置疑的，因而，真正意义上的悖论是不可能存在的。然而，事实上，却的确有那么一些论证，被人们视为真正意义上的悖论。这些 “ 悖论 ” 被分为两大类，亦即 “ 集合论悖论 ” 和 “ 语义悖论 ” 。 “ 集合论悖论 ” 仅涉及类、关系、数等而与语义学概念无关，后者则涉及到语义学概念，如意义、定义等。最著名的 “ 集合论悖论 ” 是所谓 “ 罗素 ()悖论 ” 。弗雷格 ()说这个 “ 悖论 ” 动摇了数 学的基础，塔斯基 ()称其为现代逻辑面临的 “ 最困难的问题 ” ，哥德尔(?del)甚至认为它己使形式逻辑宣告破产，而蒯因 ()则名之曰 “ 真正的悖论 ” 。罗素指出，集合可分为两类：一类以自身为元素，另一类则不以自身为元素。所有不以自身为元素的集合构成一个集合，此即所谓 “ 罗素集 ” 。由此便引出这样一个问题：该集合是否以自身为元素？于是便有：如果罗素集以自身为元素，则有罗素集不以自身为元素；如果罗素4 / 71 集不以自身为元素，又有罗素集以自身为元素。此即所谓“ 罗素悖论 ” 。 “ 罗素悖论 ” 等 “ 集合论悖论 ” 的出现曾引发了 “ 数学的第三次危机 ” 。 大逻辑学家弗雷格在接到罗素通报这个 “ 悖论 ” 的信件后，曾在其名著基本规律第二卷的后记中沮丧地写道： “ 对于一个科学工作者来说，最不幸的事情无过于：当他完成他的工作时，发现他的知识大厦的一块基石突然动摇了。正当本书的印刷接近完成之际，伯特兰 罗素先生给我的一封信便使我陷入这种境地。 ” （转引自威廉 涅尔、玛莎 涅尔著逻辑学的发展第 807页，商务印书馆 1985年版）最主要的 “ 语义悖论 ” 有以下四个： “ 说谎者悖论 ” 该 “ 悖论 ” 由 “ 本语句为假 ” 这个语句引出，其中的 “ 本语句 ” 系指该语句本身，于是便有：如果“ 本语句为 假 ” 为真，则有 “ 本语句为假 ” 为假；如果 “ 本语句为假 ” 为假，则有 “ 本语句为假 ” 为真。此即所谓 “ 说谎者悖论 ” 。这个 “ 悖论 ” 出现得最早，也被公认为是最难解决的 “ 悖论 ” 之一。其原始形式是所谓 “ 爱匹门尼德（ Epimenides）悖论 ” 。据说，爱匹门尼德是公元前六世纪时古希腊的一位先知，居住于克里特岛上，他说过这样一句话： “ 克里特岛人都是说谎者。 ” 此处的 “ 说谎者 ” 应理解为从不说真话的人，于是便有，如果这句话是真的，它便是假的。不过，由它为假却推不出它为真来。这是因为，由它为假仅可推出，并非克里特岛人都是说谎者，亦即克里 特岛5 / 71 人还有人说真话，但显然并不能由此断言，爱匹门尼德所说的上述那句话肯定就是真话。由此可见， “ 爱匹门尼德悖论 ”“ 悖 ” 得还不够彻底，只 “ 悖 ” 了一半，有人因而称其为 “ 半截子悖论 ” 。而 “ 说谎者悖论 ” 的提出则似乎完全弥补了这一 “ 缺憾 ” 。 “ 说谎者悖论 ” 还有一些变种。所谓“ 柏拉图 -苏格拉底悖论 ” 即是其中之一，它由以下两个句子引出：柏拉图：苏格拉底说的下面这个句子是假的。苏格拉底：柏拉图说的上面那个句子是真的。于是似乎便有，由其中任何一个句子为真均可推出其为假，反之亦然。事实上，可以将那两个句子进一步简化为： A：句子 B 是 真的。 B：句子 A 是假的。于是似乎便有：如果 A 是真的，则有 A 是假的；如果 A 是假的，又有 A 是真的。同样似乎还有：如果 B 是真的，则有 B 是假的；如果 B 是假的，又有 B 是真的。与此类似，一位英国数学家提出，在一张卡片的两面分别写下一个句子也可造成 “ 悖论 ” 。其中一个句子是：这张卡片背面的句子是真的。另一个句子则是：这张卡片背面的句子是假的。有人指出，这类 “ 说谎者悖论 ” 之变种的意义就在于，它们表明，即便是避免了句子的自我相关也不足以消解 “ 悖论 ” 。值得一提的是， 1947年两个美国人曾将 “ 本语句是错的 ” 这个句子输入电子计算机， 试图让一个检验语句正误的程序来加以判断。结果，机器无休止地打出 “ 对、错、对、错 ” ，陷入了反复振荡的困境。 “ 强化的说谎者悖6 / 71 论 ” 这个 “ 悖论 ” 由 “ 本语句非真 ” （其中的 “ 本语句 ” 仍指该语句本身）引出：如果 “ 本语句非真 ” 为真，则有 “ 本语句非真 ” 非真；如果 “ 本语句非真 ” 非真，则有 “ 本语句非真 ” 为真。请注意，说一个句子非真与说一个句子为假是有所不同的， “ 非真 ” 意味着 “ 为假 ” 或者 “ 非真非假 ” 。也就是说，该 “ 悖论 ” 不仅涉及到真、假，还涉及到第三个“ 值 ” ，这便是 “ 强化的说谎者悖论 ” 这一名称的由来。也正因为如此，有人说它 属于 “ 三值悖论 ” 。 “ 强化的说谎者悖论 ” 似乎比 “ 说谎者悖论 ” 更难消解，人送雅号 “ 语义学黑洞 ” ，意思是说，它能将所有消解方案统统 “ 吸收 ” ，使之归于无效、化作虚无。 “ 格雷林悖论 ” 这个 “ 悖论 ”是在罗素发现他的著名 “ 悖论 ” 之后不久由格雷林（）提出的，它与形容词有关。将一形容词带入模式 “ 是 ” ，如果由此得到的语句为真，就说它是自状的，否则就说它是非自状的。例如， “ 中文的 ” 是自状的，因为 “ 中文的 是中文的 ” 为真，而 “ 英文的 ” 则是非自状的，因为 “ 英文的 是英文的 ” 并不是真的。现在考虑形容词 “ 非自状的 ” 本身是自 状的还是非自状的，于是便有：如果 “ 非自状的 ” 是自状的，则有 “ 非自状的 是非自状的 ” 为真，于是便有， “ 非自状的 ” 是非自状的；如果 “ 非自状的 ” 是非自状的，则有 “ 非自状的 是非自状的 ” 为真，于是又有，“ 非自状的 ” 是自状的。此即所谓 “ 格雷林悖论 ” 。 “ 理7 / 71 查德悖论 ” 理查德（）晚于罗素但先于格雷林提出过一个有关数的可定义性的 “ 悖论 ” ，不过它显然并不属于上述意义上的典型悖论，因为那里并未出现两个 “ 相互矛盾命题 ” 的“ 相互推出 ” ，而只是出现了它们的合取（关于这个 “ 悖论 ” ，我们在讨论 “ 可定义悖论 ” 那一节还会提及）。这里所 谓的 “ 理查德悖论 ” 虽然与该 “ 悖论 ” 类似，也与数有关，却似乎属于典型悖论。所有有关自然数的性质描述语（如“ 是素数 ” 、 “ 是奇数 ” 等，包括 “ 是理查德数 ” 、 “ 是非理查德数 ” ）可以按字典序排列，并由此获得一自然数编号。如果一自然数与与之对应的性质描述语组成的语句为真，就说它不是理查德数，否则就说它是理查德数。令 “ 是理查德数 ” 的自然数编号为，此时便有：如果是理查德数，则有 “ 是理查德数 ” 为真，于是就有不是理查德数；如果不是理查德数，则有 “ 是理查德数 ” 为真，于是又有是理查德数。此即所谓 “ 理查德悖论 ” 。两类 “ 悖 论 ” 相较，“ 语义悖论 ” 出现得更早，难度也更大，是当前悖论研究的重点所在。有人甚至断言，只要消解了 “ 语义悖论 ” 中的“ 说谎者悖论 ” ，其它 “ 悖论 ” 也就好办了。例如，杨熙龄先生就曾指出： “ 说谎者 悖论是所有悖论中最纯粹的一个，能够解释它，也就解释了一切悖论。 ” （见其所著奇异的循环 逻辑悖论探析，辽宁人民出版社 1986年版 103页）由此可见，欲寻求 “ 悖论 ” 的统一消解原理，似乎宜从8 / 71 消解 “ 语义悖论 ” ，特别是消解 “ 说谎者悖论 ” 入手。有关“ 说谎者 ” 的种种见解关于 “ 说谎者悖论 ” 和 “ 强化的说谎者悖论 ” ，人们提出过各种各样 的见解。这些见解大体上可分为两大类：一类承认其确为悖论，一类则否认其为悖论。在承认其为悖论的见解中，又可分为两类：一类主张它体现了某种特殊类型的真理，根本无须回避；另一类则主张其为谬误，理应设法回避。在否认其为悖论的见解中，也可分为两类：一类主张导致 “ 悖论 ” 的语句是命题；另一类则主张这样的语句根本就不是命题。进一步细分， “ 命题说 ” 中又有 “ 真命题说 ” 与 “ 假命题说 ” 之分， “ 非命题说 ” 中又有“ 无意义说 ” 与 “ 非真非假说 ” 之分。尽管这些见解似乎穷竭了一切可能，然而，令人惊愕的是，迄今为止却无一得到公认。唯心主义辩证法 大师黑格尔（）在 “ 语义悖论 ” 中看到的是 “ 直接的矛盾 ” ，并且声称， “ 真理就是这个矛盾 ” 。他在哲学史讲演录第卷（ 121 123页）中如此写道：“ 有一种论辩叫做说谎者的论辩。如果有一个人承认自己说谎，那么他是在说谎还是说真话呢？要求作一个简单的回答；因为真理被认为是简单的、一方面的东西，因此另一方面便被排除了。如果问他是否说谎，他应当回答 是 还是 否 呢？如果说，他是说真话，那么便于他的话的内容相矛盾；因为他承认他说谎。如果他说 是的 （他说谎），那么他说的又是真话了；因此他既不说谎，又说谎 同样情9 / 71 形， 如果他说真话，他便与他所说的相违反了。然而因为真理是简单的，还是要求作一个简单的答复。一个简单的答复是不能有的。在这里，两个对立的方面，说谎与真话，是结合在一起的。（我们看到了直接的矛盾），这个对立面的结合，曾经在各个时代以各种不同的方式一再出现，并且引起人们经常注意。克吕西波，一个著名的斯多葛派，就曾经对这个题目写了六部书。另一个人柯斯的斐勒塔，便是由于用心研究解除这种二难困境的办法，操劳过度，因而得了痨病死去。与这是完全相似的事情就是我们在近代看到人们用尽气力钻研化圆为方的问题 一个几乎永垂不朽的问题 。它们在不可通约的数目中间寻找简单的比例；这个混乱就在于要求给与一个具有矛盾的内容的问题一个简单的回答。 承认自己说谎的人是否说真话：他同时既说真话而又说谎，而真理就是这个矛盾。但是一个矛盾不能是真的；矛盾是不能进入通常观念的。 意识中出现了矛盾，出现了对立物的意识；矛盾可以毫不费力地在意识面前指出来， 矛盾出现在感性事物、存在、时间之中，它们的矛盾必须加以揭露。这些诡辩并不是一种矛盾的假象，而是有实在的矛盾存在。在上面的例子中预先给你两条路，要你作一选择；但是例子本身便是一个矛盾。 ” 我国悖论研究家杨 熙龄先生就此评论说，黑格尔认为这个悖论就是我们现在所说的 “ 辩证矛盾 ” 。他在奇异的循环 逻辑悖论探析一书（ 105 10610 / 71 页）中曾将黑格尔的有关论述概括为以下七个要点：真理决不是简单的、一方面的东西。一个真的概念不可能保留其某一方面的含义，而排除其另一方面的含义；真理就是这个矛盾：既是谎话，又是真话；通常观念认为矛盾不能是真的。这种观点不正确。矛盾，才是真的；从看去 “ 无矛盾 ” 的事物中，应该揭露其矛盾；看去是 “ 诡辩 ” ，实际上反映了真实的矛盾；换言之，黑格尔认为这个悖论就是我们现在说的“ 辩证矛盾 ” ；不可能用简 单的 “ 是 ” 或 “ 否 ” 来回答这个问题；这个悖论曾经在各个时代，以各种不同的方式一再出现，并且引起人们经常的注意。大哲学家维特根斯坦（）的看法与黑格尔颇为接近，在他的关于数学基础的言论（转引自杨熙龄奇异的循环 133 页）中有这样一段话： “ 如果有人说 我现在在说谎 所以我不是在说谎 等等，从而出现矛盾，这个矛盾有什么害处呢？我的意思是在这样的情形下，一个命题产生了与它矛盾的命题，后者又产生前者，这难道真会削弱我们语言的作用吗？ ” 他建议，人们可以考虑接受一种 “ 自相矛盾的真理 ” 。他甚至断言，把矛盾视为鬼怪乃是 缺乏想象力的表现， “ 总有一天会出现包含着矛盾的数学演算研究，人们将会真正感到自豪，因为他们把自己从相容性的束缚下解放出来了 ” 。（转引自夏基松、郑毓信西方数学哲学，人民出版社 1986年版 171页）顺便提一下，维特根斯坦早在曼彻斯特大学工程系做研究学生11 / 71 时，就已经对 “ 悖论 ” 发生兴趣了。他在读了罗素的数学原则之后，即响应罗素在书末发出的解决 “ 逻辑悖论 ”（ “ 罗素悖论 ” ）的呼吁，对这个 “ 悖论 ” 提出了自己的解决办法。不久之后，维特根斯坦又托人把自己的结果转交给罗素。不过，罗素做出的反应却令他感到十分遗憾，这位数理 逻辑大师并不认为他的解法有什么新颖独特的地方，只觉得这个年轻人胆量不小。（参见张学广编著维特根斯坦：走出语言囚笼，辽海出版社 1999年版， 21页）黑格尔的影响至今仍然没有消退。例如，罗马尼亚的昂利 瓦尔德（）院士就认为悖论是辩证判断，非但如此，他甚至认为悖论所包含的乃是 “ 最大限度的知识 ” 。（参见奇异的循环 253页）我国也有学者持类似的观点，不过，也有学者激烈地反对这种见解，说是辩证逻辑绝不应成为逻辑矛盾的庇护所。两者相较，我们更同情后一种观点。在我们看来，辩证真理即使从形式逻辑的角度看也应当是名副其 实的真理，而绝不应当是什么既真且假的东西。大逻辑学家塔斯基认为（参见其著名论文真理的语义学概念和语义学的基础，收入涂纪亮主编语言哲学名著选辑，三联书店 1988 年版），在自然语言（日常语言）以及类似自然语言的任何语义上封闭的语言中，只要坚持通行的逻辑推理规则，悖论就是无可避免的。所谓语义上封闭的语言是指这样的语言，它不仅包含了这种语言的表达式，也包含了这些表达式的名称，同时还12 / 71 包含了诸如指称这种语言中的语句的词项 “ 真的 ” 这样的语义学词项。与此同时，所有决定这个词项的适当使用的语句都能在这种语言中得到断定 。显然，在这样的语言中可以构造出 “ 本语句非真 ” 这样的句子，而它无疑将导致强化的说谎者悖论。塔斯基甚至沿用了波兰大逻辑学家卢卡西维茨（）的做法，给出了这个 “ 悖论 ” 的 “ 严格 ” 推导。在塔斯基看来，所谓公式（） 是真的，当且仅当对任何一个语句都是成立的。换言之，将任何一个句子代入，将这个句子的一个名称代入所得到的（）型等值式均成立。他给出的著名例子是： “ 雪是白的 ” 是真的，当且仅当雪是白的。 于是，如用指称 “ 本语句不是真的 ” ，便有是真的，当且仅当本语句不是真的。 由于与 “ 本语句 ” 指称的是同一个 对象，依据莱布尼兹定理即有：是真的，当且仅当不是真的。 这恰恰正是（强化的）说谎者悖论。既然我们不愿舍弃通行的逻辑推理规则，为了避免悖论我们便只能舍弃语义上封闭的语言。就人工语言而论，我们只能构造语义上不封闭的人工语言。那么，我们又如何谈论这种语言中句子的真假呢？我们可以采用另一种语言。前一种语言是所谓对象语言，亦即我们所要考察的语言，后一种语言则是所谓元语言，亦即用以研究前一种语言的语言。如此这般，我们便可以有效地回避悖论了。他的理论也可用于处理自然语言，那就是把自然语言分为无穷多个层13 / 71 次，最下面一层 的语言（对象语言）根本不谈论句子为真与否，在它之上的那一层语言（元语言）可以谈论对象语言中句子的真假，更上一层语言（元元语言）则可谈论元语言句子的真假，如此等等，以至无穷。显然，如此一来， “ 本语句不是真的 ” （其中 “ 本语句 ” 系指该句子本身）这类句子就被彻底排除在外了，语义悖论，特别是说谎者悖论由是便得以避免。对塔斯基理论的批评主要有二：一是所谓特设性，亦即该理论除了为了避免出现悖论外别无其他合理的理由；二是这种做法会陷入矛盾以至根本就行不通。克里普克（）以下面两个句子为例说明了这一点：迪安说： “ 尼克松关于水门 事件所说的一切话都是假的。 ” 尼克松则说： “ 迪安关于水门事件所说的一切话都是真的。 ” 依照塔斯基的说法，两者都位于比对方更高的层次，由此可见 ,他的语言分层理论是自相矛盾的 ,根本站不住脚。有人甚至说，塔斯基是在把活生生的自然语言割裂成一具僵尸。附带说一句，塔斯基的语言分层理论实际上可溯源于罗素的分支类型论。另一位大逻辑学家哥德尔与塔斯基的观点颇为接近。哥德尔曾给出过 “ 说谎者悖论 ” 的一个变种，它由下面这个句子引出：“1934 年 5 月 4 日我所表述的陈述句全都是假的。 ” （当天他只说过这么一句话。）哥德尔甚至由此断言， “ 英 语中的假句子 ” 不能在英语中表述。逻辑学家本奇在数学谬论和悖论一书中就此评论道： “ 这个 证明 没有丝毫说服力！ ”14 / 71 （参见奇异的循环 25页）美国大逻辑学家皮尔士 ()则断言： “ 这一个命题（指 “ 说谎者 ” 之所言），由于其自相矛盾，所以是假的；因此，它显然断言者是真的。但其内在含义（即关于其自身的真假）是假。 ” 我国悖论研究家杨熙龄先生把他的意思概括为 “ 这个命题企图真实地表明自己是一句假话 ” ，并说这是一个 “ 悖论式的解 ” 。（参见奇异的循环 112 113 页）显然，这与其说是在解决悖论，倒不如说是在为之辩护。应当指出 的是，以上介绍的只是皮尔士的最终见解。事实上，他从事悖论研究长达 30 多年，曾先后提出过几种答案。皮尔士最初认为， “ 本命题是假的 ” 根本 “ 无意义 ” ，因为它并未涉及 “ 外部对象 ” 的 “ 外部关系 ” ，而 “ 逻辑法则则仅仅对具备一个对象的符号发生作用 ” 。此后，他又取消了这一见解。这是因为，他发现它非但解决不了悖论，甚至还会重新陷于悖论： “ 说此句无意义，即是说它不真；但它正是说它不真，则它又是真的了。 ” 后来皮尔士又主张，那个句子是 “ 既真亦假 ” 的。他论述说：“ 一张纸，一半红色一半蓝色。这张纸上的每一点，非红即蓝。 那么，在红蓝 二色的交界线上，或者说这条界线本身是什么颜色？ ” 他的回答是 “ 既红亦蓝 ” 。皮尔士认为，“ 说谎者悖论 ” 的情况与此类似，我们绝不能说那个句子既非真亦非假，因为这会导致自相矛盾，而只能说它 “ 既真亦假 ” ，这样就不会导致自相矛盾了。在这之后，由于意识到15 / 71 说那个句子 “ 既真亦假 ” 依然摆脱不了矛盾，皮尔士才再度改 变 看 法 ， 主 张 把 命 题 分 为 表 面 上 的 断 言（ explicitassertions）和内在含义（ tacitmeaning）两个方面。（参见杨熙龄悖论文献访求漫记）芬斯勒（）则声称 “ 说谎者 ” 之所言是一个假命题。他论证说，当我断 定命题 A 时，我根据事实说 A 是真的。因此，如果根据某种设计，命题 A 说它本身是假的，那么关于 A 的断言实际上是两个命题的合取，即 A 真并且 A 假。这个合取式是矛盾的，因此是假的；说谎者仅仅产生了一个假语句，所以根本不存在悖论。（参见林夏水主编数学哲学译文集，知识出版社 1986年版 177页）依照芬斯勒的说法，那个句子便是一个永假句，永假句当然是假的，可它明明在说自身是假的，所以就不能不是真的，这便陷入了自相矛盾。古希腊哲学家克吕西波（ chrysippus）认为， “ 说谎者 ” 之所言 “ 完全丧失了语言的意义 ” ，说那句话的人 “ 只是发出了一些声音罢了，什么也没有表示 ” 。（参见奇异的循环 45 46 页）著名的英国牛津学派分析哲学家斯特劳森（）的看法与之十分类似。他指出，说这句话就有如先前什么都没说就说 “ 同上 ” 一样，严格说来，这并不是在作一个陈述，而只是发出了一串无意义的声音。（参见孙小礼等主编科学方法（下），知识出版社 1990 年版 940 页）克吕西波和斯特劳森说那句话毫无意义，显然与事实不符，它明明在说一个句子（也就是16 / 71 它自身）是假的，无论如何也不能被说成是一点意义也没有。美国著名逻辑学家、模态逻辑语义学创始人之一克里普克认为 “ 本语句为假 ” 是 “ 无根基的 ” ，意思是根本就不存在确定其真值的可能性。这也就是说，那个句子既不是真的也不是假的。他论证说，含有 “ 真 ” 这个概念的语句的真值只有通过考察其他语句才能确定，此一过程可一直进行下去。如果最后不再碰到包含 “ 真 ” 这个概念的语句，就能确定起初那个语句的真值。此时， “ 我们便说起初那个语句是有根基的 ” ，否则， “ 我们就说那个语句是没有根基的 ” （参见涂纪亮著分析哲学及其在美国的发展，中国社会科学出版社 1987 年版 776 页）显然，在分析 “ 本语句为假 ” 时，就永远也不会碰到不包含 “ 真 ” 这个概念的语句，因 而，那个句子是 “ 无根基的 ” ，根本无真假可言。分析哲学家齐硕姆（）也主张那个句子既非真也非假，实际上并无真假可言。在他看来，这个句子所表达的论断是 “ 没有内容的 ” 。所谓没有内容是说该论断的内容依赖于另一论断（两者可以相同），而后者的内容反过来又依赖于前者。这种没有内容的论断， “ 就其与任何事态相关而言，它就不是肯定那事态存在的信念或论断。 ” 既然那个语句之所言实际上无关于任何事实，当然只能是非真非假的。（参见齐硕姆知识论，三联书店 1988年版 208 212页）应当指出的是，此种观点至迟在十五世纪初就已有人提出过 。据威廉 涅尔和玛莎 涅17 / 71 尔的逻辑学的发展（ 296 页），当时的多产作家威尼斯的保罗（ PaulofVenice）曾列举过十五种不同的 “ 悖论 ” 解法，其中第八种即类似以下意见： “ 没有一个不可解问题（当时对 悖论 的称呼 引者注）是真的或假的，因为这类问题没有一个是命题。 ” 从表面上看，用克里普克以及齐硕姆的方案来消解 “ 说谎者悖论 ” 似乎是可行的，实则不然。这是因为，如果 “ 本语句为假 ” 是非真非假的，则由于它在说自身为假就不能不是假的，又由于它的确在说自身为假，便不能不是真的，这样我们就重新回到了原先的怪圈。尤为明显 的是，这样的方案显然不适于消解 “ 强化的说谎者悖论 ” 。这是因为，非真非假的句子肯定是非真的。于是我们便有，如果 “ 本语句非真 ” 是非真非假的，它就不是真的，由于它恰恰在说自身非真，所以它就又成了真的。有人曾针对克里普克提出的概念 “ 无根基的 ” ，编造了下面这个句子 “ 本语句或者是假的或者是无根基的 ” ，由此便可引出一个新的 “ 悖论 ” ：如果它是真的它就是假的或者无根基的；如果它是假的，它就是真的；如果它是无根基的，它也是真的。这表明，克里普克方案自身尚且摆脱不了 “ 悖论 ” ，遑论用它来消解 “ 悖论 ” 。事实上，我们还可构造出另一 个句子 “ 本语句或者为假或者非真非假 ” ，它同样可以引出 “ 悖论 ” ：如果它是真的它就是假的或者非真非假的；如果它是假的，它就是真的；如果它是非真非假的，它还是真18 / 71 的。总而言之，尽管有关 “ 说谎者 ” 的见解如此之多，却都存在着这样那样的缺陷。现在，我们便可理解，为什么这些大思想家提出的的学说都得不到公认了。从表面上看，这些说法似乎已经穷竭了一切可能，人们已再无他路可走了，这不禁令有些人对人类理性究竟能否走出这种 “ 怪圈 ” 产生怀疑。事实上，大可不必如此悲观。我们不久便会看到，只要我们跳出思维定势，转换视角，便能找到一条尽 管十分隐蔽却能通往光明的新路径。 “ 悖论 ” 与反证法证明的相似性及其启示显然， “ 悖论 ” 有一个共同的特点，那就是似乎都可以由之进而推出 “ 矛盾 ” 来。以 “ 说谎者悖论 ” 为例：如果 “ 本语句为假 ” 为真，则有 “ 本语句为假 ” 为假；于是便有 “ 本语句为假 ” 为真且为假，矛盾。由反证法即有， “ 本语句为假 ” 非真。如果 “ 本语句为假 ” 为假，则有 “ 本语句为假 ” 为真；于是又有 “ 本语句为假 ” 为真且为假，矛盾。由反证法又有， “ 本语句为假 ” 非假。将上述两个结果合取，我们便有， “ 本语句为假 ” 非真非假。于是便有， “ 本语句为假 ” 为假，于是又有 “ 本语句为假 ” 为真。最后我们就得到， “ 本语句为假 ” 为真且为假，矛盾。其他 “ 语义悖论 ”亦复如是，甚至比 “ 说谎者悖论 ” 来得更为简单明快。例如，关于 “ 强化的说谎者悖论 ” ，我们有：如果 “ 本语句非真 ”为真，则有 “ 本语句非真 ” 非真；于是便有， “ 本语句非真 ”为真且非真，矛盾。由反证法即有， “ 本语句非真 ” 非真。19 / 71 如果 “ 本语句非真 ” 非真，则有 “ 本语句非真 ” 为真；于是便有， “ 本语句非真 ” 为真且非真，矛盾。由反证法即有，“ 本语句非真 ” 为真。综合以上结果即有， “ 本语句非真 ”为真且非真，矛盾。我们知道，在使用反证法的证明中，推出矛盾非但不令人不快， 反倒是人们所刻意追求的。我们看到，由 “ 语义悖论 ” 恰可进而推出 “ 矛盾 ” ，这种相似性自然容易使人想到，我们也许可以将 “ 语义悖论 ” 嵌入某一个反证法证明，用来证明某种新奇的真理，并以此来解决 “ 悖论 ” 。事实上， “ 悖论 ” 与反证法证明之间的这种相似性早就引起过人们的注意。本奇在数学证明和谬误一书中就曾指出： “ 在数学中，你认为是悖论的，可能是一个证明。或者你当作一个证明的，会引出悖论。有时往往不容易看清是悖论，还是证明。 ” 更有学者提出，应通过将悖论化入反证法证明以解决悖论。例如，哈特在罗素和兰姆赛一书中就曾指出： “ 要解决一个悖论，只有用反证法把它变成一个证明，证明某种新奇的真理。 ” （以上二说均引自奇异的循环 40页）一位前苏联逻辑学家也提出过与此类似的悖论消解方法。设我们有一个导致悖论推断 B& B 的前提体系 ，这里的 “&” 是合取记号，相当于日常语言中的连接词“ 并且 ” ；符号 “ ” 是逻辑否定记号，相当于词组“ 说 是不对的 ” 。这时，我们除 外再引入某一个补充前提 1,得到公式：（ 1 ） (&1)(B& B),这里的记20 / 71 号 “” 是复合连接词 “ 如果 则 ” 的简写。按照命题演算规则由公式（ ）推出（ 2 ） 1 于是， 每个悖论便都变成了关于某前提假的论断，该前提在构成这种悖论情况的条件体系中正好未被考虑（或被排斥）。（参见格 克劳斯（）著形式逻辑导论之俄文版注释，上海译文出版社 1981 年版 487 页，个别符号有改动）尽管将 “ 悖论 ” 嵌入某一反证法证明以便最终解决 “ 悖论 ” 的设想很有道理，但真正的难点实际上并不在于想到这个主意，而在于必须找出恰好需要加以反证的命题。事实上，人们之所以迟迟未能实现这一构想，其症结端在于此。果不其然，我们不久就会看到，最终需要反证的命题与其说是 “ 悖论 ” 的前提，倒不如说是 “ 悖论 ” 的预设。显然，就 “ 说谎者悖论 ” 这个所有“ 悖论 ” 的 “ 老祖父 ” 而言，最容易想到的就是，可以用反证法证明 “ 说谎者 ” 之所言根本就不是命题。不妨假设 “ 本语句为假 ” 是命题。此时便有， “ 本语句为假 ” 要么为真要么为假；并且， “ 说谎者悖论 ” 的推理也因此而合乎逻辑。如果 “ 本语句为假 ” 为真，则有 “ 本语句为假 ” 为假；亦即“ 本语句为假 ” 既真且假，矛盾。由反证法即有， “ 本语句为假 ” 为假。如果 “ 本语句为假 ” 为假，则有 “ 本语句为假 ” 为真；亦即 “ 本语句为假 ” 既真且假，矛盾。由反证法即有， “ 本语句为假 ” 为真。综合以上两个子证明的结果即有， “ 本语句为假 ” 既真且假 ，矛盾。证毕。然而，证明了21 / 71 这一结果似乎根本于事无补。这是因为，我们很容易由此想到， “ 本语句为假 ” 乃是非真非假的，这将使我们重蹈克里普克以及齐硕姆的覆辙，回到原先的怪圈之中：由于该语句是在说自身是假的，因此它就不能不是假的，又由于这正是它所断言的，于是它就是真的。由此看来，我们的结论只能是， “ 本语句为假 ” 既不是命题，又不是非真非假的。我们知道，语句有单义句、多义句（以及有歧义的语句）之分，单义句又有非真即假的命题与非真非假的单义句之分。如此说来， “ 本语句为假 ” 就只能是多义句了。然而，这又与我们的直觉不符：这个 句子简单至极，它只不过是在断言 “ 本语句为假 ” 这个句子是假的而已，看上去含义十分明确，又怎么会是多义句呢？这就迫使我们不能不仔细分析这个古怪句子的语义及其真值。 “ 说谎者悖论 ” ：无穷嵌套的自相似结构及其多义性 “ 本语句为假 ” 这个乍看上去简单已极的语句竟然会是多义句吗？是的，非但如此，它还具有无穷多种含义，且在每种含义下均取唯一确定的真值。试分析“ 本语句为假 ” 这个句子。由于该语句中的 “ 本语句 ” 系指该语句本身，所以，该语句只不过是 “ 本语句为假 为假 ”的简略形式。此种分析可一直进行下去，最后，我们将会发现，该语句只不 过是下面这个无穷嵌套的自相似结构（亦即每一层子嵌套之结构均相同之无穷嵌套结构）的简略形式而已：（ .）为假）为假）为假）两者虽形式有异而语22 / 71 义并无不同，故而我们只消揭示后者的多义句本质即可。显然，我们可将这个无穷嵌套的语句作如下理解，即它是在说一个语句为假，那个语句又在说一个语句为假，如此等等，以至无穷。此时，它实际上便成了一个永远也说完的、语义不完整的语句，显然，在此含义下它只能是非真非假的。如此说来，克里普克称 “ 本语句为假 ” 为 “ 无根基的 ” 也绝非事出无因。然而请注意，我们同样可以把这个无穷嵌套 的语句理解为是在断言上述含义下的无穷嵌套的语句为假，或者理解为是在断言上一种含义下的语句为假，如此等等，以至无穷。显然，该无穷嵌套的语句在这一系列含义下的真值将依次为假与真的交替出现。由此可见，这个无穷嵌套的语句的确具有无穷多种含义，且在每种含义下均取唯一确定的真值（此处指真、假、非真非假三值）。由于 “ 本语句为假 ”与上述无穷嵌套的自相似结构形异而义同，故此一结论对该语句自然也是成立的。现在，我们已经找到了我们真正需要加以证明的命题，亦即 “ 本语句为假 ” 是多义句。事实上，借助反证法不难给出这个证明。 证明：不 妨假设 “ 本语句为假 ” 为单义句。此时便有，该语句要么为真要么为假要么非真非假。请注意，在此假设下，任一断言该语句取某一真值的语句都是命题，故为正当的推理对象。如果该语句为真，则有该语句为假，矛盾。由反证法即有，该语句非真。如果该语句为假，则有该语句为真，矛盾。由反证法即有，23 / 71 该语句非假。如果该语句非真非假，则有该语句为假，矛盾。由反证法即有，该语句并非非真非假。综合以上三个子证明的结果便有，该语句既不是真的，也不是假的，又不是非真非假的，矛盾，证毕。既然我们业已揭示了 “ 本语句为假 ”的多义句本质， “ 说谎者悖论 ” 也 就得以彻底消解了。由“ 本语句为假 ” 是多义句，我们可以推得以下两个结论：其一， “ 本语句为假 为真 ” 以及 “ 本语句为假 为假 ”是多义句；其二，直接施推理于这两个多义句根本就不合乎逻辑（从语义不确定的多义句推不出任何确定的结论，即使是正确的推理规则也不能用于多义句，此乃逻辑之误用）。由此可见，所谓 “ 说谎者悖论 ” ，并不象此前所认为的那样，是什么两个相互矛盾的命题（亦即非真即假的单义句）的合乎逻辑的相互推出，而只不过是两个貌似相互矛盾命题的多义句的不合逻辑的相互推出，因而根本就不是什么真正意义上的悖论。迷惑人们长达 两千余年的 “ 说谎者悖论 ” 至此始获彻底之消解。请注意，被我们用反证法证伪的 “ 本语句为假 ” 是单义句并不是 “ 说谎者悖论 ” 的前提，因为它并未直接进入推理，而只能说是它的预设。从语义分析的角度看，“ 本语句为假 为真 ” 以及 “ 本语句为假 为假 ” 之含义实分别为 “ 本语句为假 ” 的语义为真、 “ 本语句为假 ” 的语义为假，因而，依照弗雷格的预设理论，它们都预设了 “ 本语句为假 ” 有且仅有一个语义，亦即该语句为单义句。在这24 / 71 个意义上，也可以说， “ 说谎者悖论 ” 预设了 “ 本语句为假 ” 是单义句。事实上，视 “ 说谎者悖论 ” 为真正的悖论的观点实际上都依 赖于这个预设。在此预设下，断言 “ 本语句为假 ” 为真和为假的句子就成了命题，而 “ 说谎者悖论 ” 中的推理也就成了合乎逻辑的。仅当我们证伪了这个预设时，这个所谓 “ 一步即成的奇异的循环 ” 才现出了原形。应当证伪的并不是 “ 悖论 ” 的前提，而应当是其预设，这正是用反证法消解悖论的尝试迟迟未能奏效的根本原因所在。现在，我们也许可以把 “ 说谎者悖论 ” 修正为：如果 “ 本语句为假 ” 在一种意义上为真，则它在另一种意义上就为假；如果“ 本语句为假 ” 在一种意义上为假，则它在另一种意义上就为真。在我们看来，这倒不失为一种真理，无论是在形式逻辑的意义 上，还是在辩证逻辑的意义上。 “ 强化的说谎者悖论 ” ：无穷嵌套的自相似结构及其多义性 “ 强化的说谎者悖论 ” 系由 “ 说谎者悖论 ” 变化而来，我们自然有理由期待，沿着同一思路来消解它。果不其然，语义分析表明，导致这个 “ 悖论 ” 的语句 “ 本语句非真 ” 也同样是多义句。 不难看出， “ 本语句非真 ” 实际上与下面这个无穷嵌套的自相似结构形异而义同：（ .）非真）非真）非真）对这个无穷嵌套的语句同样可作无穷多种理解。一方面，我们可以把它理解成陷于 “ 恶的无限 ” 的、语义不完整的语句，另一方面，我们又可把它理解为是在断言上述 含义下的语句25 / 71 非真的语句，如此等等，以至无穷。显然，它在这一系列含义下的真值将依次为非真非假以及真与假（而不是假与真）的交替出现。由此不难看出， “ 本语句非真 ” 确为具有无穷多种含义的多义句，且在每种含义下均取唯一确定的真值。同样，我们也可严格证明，该语句确为多义句。 证明：不妨假设该语句为单义句。此时便有，该语句要么为真要么非真。如果该语句为真，则有该语句非真，矛盾。由反证法即有，该语句非真。如果该语句非真，则有该语句为真，矛盾。由反证法即有，该语句并非非真。综合以上两个子证明的结果便有，该语句既不是真的也不 是非真的，矛盾，证毕。由于 “ 本语句非真 ” 是多义句， “ 本语句非真 为真 ” 与“ 本语句非真 非真 ” 亦便成了多义句，与此同时，施推理于其上亦犯有施推理于多义句的错误，纯属逻辑之误用，根本不合逻辑。这样，我们看到， “ 强化的说谎者悖论 ” 与“ 说谎者悖论 ” 如出一辙，也并不是什么两个相互矛盾命题的合乎逻辑的相互推出，而是两个貌似相互矛盾命题的多义句的不合逻辑的相互推出，根本就不是真正的悖论。多少有些出人意料的是， “ 强化的说谎者悖论 ” 并不象人们以前普遍猜测的那样，比 “ 说谎者悖论 ” 更难消解。正如我们所看到的，两个 “ 说谎者 ” 可 以用同一方式予以消解，而所谓“ 强化的说谎者悖论 ” 之消解甚至来得更为简洁明快。 “ 强化的说谎者悖论 ” 之卢卡西维茨塔斯基推导不可靠关于26 / 71 “ 强化的说谎者悖论 ” ，卢卡西维茨给出过一个著名的推导。此一推导为塔斯基所沿用，并用来作为建立其形式语言真理论的依据。时至今日，该推导仍被视为无懈可击，以至于被称作是该 “ 悖论 ” 的 “ 精确塑述 ” 。本节之宗旨在于指出该推导实际上并不可靠。首先，让我们审视一下卢卡西维茨塔斯基推导。考虑如下句子：印在本节第行的句子不是真的。为简明计，我们将用指称这个句子。将 “ ” 和这个句子本身分别代入 公式（ T） 是真的，当且仅当。中的和，即得如下（）型等值式：是真的，当且仅当印在本节第行的句子不是真的。由于 “ ” 与 “ 印在本节第行的句子 ” 所指称的乃是同一个句子，依照莱布尼兹定理便有：是真的，当且仅当不是真的。这正是 “ 强化的说谎者悖论 ” 。上述推导看似天衣无缝，实则不然。我们很快就会看到，该推导从一开始就有毛病：公式（）实际上并不适用于语句，换言之，将 “ ” 及其所指称的句子代入公式（）乃是错误的。为说明这一点，先让我们论证公式（）对多义句并不适用。显然，卢卡西维茨 塔斯基推导建立 在下述信念的基础上：公式（）适用于所有语句。也就是说，对任一语句，若其名称为，恒有：是真的，当且仅当。这显然意味着，对任一语句，若是其名称， “ 是真的，当且仅当 ” 之所言便为一事实，亦即 “ 是真的，当且仅当 ” 为真，这可以更确切地表述为，27 / 71 “ 是真的，当且仅当 ” 之语义为真。依据弗雷格的预设理论，这便预设了 “ 是真的，当且仅当 ” 有且仅有一种语义。简言之，这一信念本质上可表述为：对任一语句，若是其名称， “ 是真的，当且仅当 ” 有且仅有一种语义就是不言而喻的，进一步，它的这个唯一的语义还是真的 。显然，对任一单义句而言，若是其名称， “ 是真的 ”亦为单义句，此时， “ 是真的，当且仅当 ” 有且仅有一种语义的确是不言而喻的，进一步，根据 “ 真 ” 的用法，其唯一的语义也的确是真的。例如： “ 雪是白的 ” 是真的，当且仅当雪是白的。这正是塔斯基举过的那个著名的例子。换言之，公式（）的确适用于任一单义句。然而，对任一多义句而言，若是其名称， “ 是真的 ” 便是多义句， “ 是真的，当且仅当 ” 亦为多义句。此时， “ 是真的，当且仅当 ” 有且仅有一种语义就非但不是不言而喻的，反倒是假的，当然也就更谈不上什么其唯一的语义 是真的了。换言之，公式（）对任一多义句均不适用。事实上，我们还可以换一个角度理解上述结论。对任一多义句而言，在不事先明确其语义的情况下，根本就无从直接施推理于其上，否则便是逻辑之误用。须知，逻辑本质上毕竟是基于语义的，也正因为如此，逻辑总是不遗余力地拒斥多义性，而将自己的考察范围仅仅局限于单义句。由此可见，就任一名为的多义句而言，直接施推理于 “ 是真的 ” 以及便不合逻28 / 71 辑，更确切地说，是误用了逻辑，当然就更谈不上什么两者可以相互推出了。这显然意味着， “ 是真的，当且仅当 ”肯定不能成立。接下来，再让我们 论证语句 S 恰为多义句。事实上，正如我们先前所见到的那样，用反证法极易证明，确为多义句。不妨假设并非多义句。此时便有，为单义句，且要么为真要么非真。若为真，便有，印在本节第行的句子不是真的，于是又有，非真。矛盾。由反证法即有，并非为真。若非真，便有，印在本节第行的句子不是真的，于是又有， “ 印在本节第行的句子不是真的 ” 为真，故而又有，为真。矛盾。由反证法即有，并非非真。于是就有，既不是真的，又不是非真的，矛盾。证毕。接下来让我们通过语义分析表明，具有无穷多种语义，这无疑将有助于理解上 述结论。由于 “ 印在本节第行的句子 ” 所指称的语句正是 “ 印在本节第行的句子不是真的 ” ，所以如下语句异形而同