线性代数王定江第4章答案.pdf

- 1- 习习 题题 四四 1设 TTT 123 (1,0, 1) ,(3,2, 1) ,(6,8,1)=, 求 123 32+. 解: 123 1363663 32302280484 . 1113216 +=+=+= 2设 TT (6,1, 1,0) ,(0,2, 1,3)=, 求向量, 使得23+= . 解: () 06124 2100 111 22=. 1111 3333 3031 = 3将向量表示成 1234 , 的线性组合. （1） 1234 01210 01111 , 00301 11101 = ; （2） 1234 11111 21111 , 11111 11111 = 解: （1）令 11223344 xxxx=+, 即 () 11 22 1234 33 44 12100 11110 , 03010 11011 xx xx xx xx = , 求解得()() 1234 ,1, 0,1, 0 TT xxxx=, 即 13 =. （2）令 11223344 xxxx=+, 即 () 11 22 1234 33 44 11111 11112 , 11111 11111 xx xx xx xx = , 求解得()() 1234 ,5 4, 1 4,1 4,1 4 TT xxxx=, 即 - 2- 1234 5111 4444 =+. 4判别下列向量组的线性相关性: （1） 123 101 1 ,2 ,3 156 = ; （2） 123 112 013 , 121 240 = ; （3） 123 , axayaz bxbybz cxcycz = , 其中zyxcba,全不为零; 解: （1）方法一: 对矩阵() 123 ,A=做初等行变换 32 21 31 5 2 101101101 123022022 156055000 rr rr rr A = , 因为( )23R A = , 所以 123 ,线性相关. 方法二: 因为 21 31 101101 1230220 156055 rr A rr = , 所以 123 ,线性相关. （2）对矩阵() 123 ,A=做初等行变换 43 3132 4142 5 3 22 112112112112 013013013013 121013006006 2400240010000 rr rrrr rrrr + + , 因为( )3R A =, 所以 123 ,线性无关. （3）方法一: 对矩阵() 123 ,A=做初等行变换 - 3- 211 31 1 000000 000000 b rrr aa c rr a axayazaxayazxyz Abxbybz cxcycz + = 因为( )13R A = , 所以 123 ,线性相关. 方法二: 因为 0 axayazxyz Abxbybzabc xyz cxcyczxyz =, 所以 123 ,线性相关. 5 设有向量组A: 123 21 2 ,1,1 1054 a = , 以及向量 1 1 b = , 问 , a b为何 值时, （1）向量不能由向量组A线性表示; （2）向量能由向量组A线性表示, 且表示式唯一; （3）向量能由向量组A线性表示, 且表示式不唯一, 并求其表示式. 解: 令 112233 xxx=+, 即 1 2 3 211 211 10541 ax xb x = . 因为系数行列式 () 2121 211211 105400 2 4 2 1 1 aa a Aa = = =+, 所以, 当40a+, 即4a 时, 0A , 即上述方程组有唯一解. 当4a = 时, 对增广矩阵做初等行变换 () 2 2 42114211 2114222 1054110541 r bbAAb = - 4- 3 21 32 31 12 2 3 5 2 421142022 0012100121 003 23 20002 r rr rr rr rr b bb b + + + + + + , 当20b, 即0b 时, ( )()23R AR A b=）令 112233 0 xxx+=, 那么 12312 ()()xxx+ 12323 ()()xxx+ + 12313 ()()0 xxx+=. - 5- 由 122332 ,+的线性无关性得 123 xxx+ 123 =xxx+ 123 =0 xxx+, 求解得唯一解 123=0 xxx=, 因此 123 , 线性无关. （充分性 =）令 112223331 ()()()0 xxx+=, 那么 311 ()xx + 122 ()xx + 233 ()0 xx +=. 由 123 , 的线性无关性知 311223 0 xxxxxx+=+=+=, 求解得唯一解 123 0 xxx=, 所以 122331 ,+线性无关. 方法二: 令 101 110 011 C = , 则 ()() 122331123 ,C +=. 因为20C =，即C为可逆矩阵，所以 ( )()( )R AR BCR B=, 因此 122331 ,+线性无关的充要条件是 123 , 线性无关. 方法三: 令 112223331 ,=+=+=+, 那么 () () () 1123 2123 3123 1 2 1 2 1 2 =+ =+ =+ , 即向量组 123 , 可由向量组 123 ,线性表示. 又因为向量组 123 ,可由向量组 123 , 线性表示，因此向量组 123 , - 6- 和向量组 123 ,可以相互表示，故二者等价，所以 ()()() 123123122331 ,RRR =+, 因此 122331 ,+线性无关的充要条件是 123 , 线性无关. 8设 12 , s L 为n维非零向量, A为n阶方阵, 若 12231 ,AAAA0 = sss L, 证明: 12 , s L 线性无关. 证明: 因为0 s , 所以 s 线性无关. 假设 11 ,(0) s kss ks + L线性无关. 令 11 0 s ks kssss xxx +=L, 则 11 ()0 s ks ks ks kss A xxx + + +=L, 即 11 00 s ks kss xx + +=L. 由 1, , s ks + L的线性无关性知 1 0 s ks xx =L, 因此0 ss x =.又因为0 s ，所以 0 s x =. 综上所证, 1 0 s kss xxx =L, 所以 11 , s ks kss + L线性无关. 由归纳假设知, 121 , ss L线性无关. 9 如果 1234 , 线性相关, 但其中任意 3 个向量都线性无关, 证明必存在一组 全不为零的数 1234 ,k k k k, 使得 11223344 0+=kkkk. 证明: 因为 1234 , 线性相关, 所以存在一组不全为零的数 1234 ,k k k k, 使得 11223344 0kkkk+=. - 7- 下面证 1234 ,k k k k全不为零. 假设 1 0k =, 那么 223344 0kkk+=. 由 234 ,的线性无关性知 234 0kkk=, 所以 1234 0kkkk=, 这与 1234 ,k k k k不全为零矛盾, 因此 1 0k . 同理可证, 234 0,0,0kkk. 所以必存在一组全不为零的数 1234 ,k k k k, 使得 1122 kk+ 3344 0kk+=. 10问a取什么值时下列向量组线性相关？ 123 11 1 ,1 11 a a a = . 解: 方法一: 若 123 , 线性相关, 则矩阵() 123 ,A =的秩( )3R A , 所以 () () 2 11 11120 11 a Aaaa a =+= , 求解得1a = 或2a =. 方法二: 若 123 , 线性相关, 则矩阵() 123 ,A =的秩( )3R A . 对矩阵 A做初等行变换 () 3121 31 2 111111 1111011 1111011 rrrr rar aaa Aaaaa aaaa = + + () ()() 32 11 011 0012 rr a aa aa + + . 因为( )3R A , 所以10a+ =或()()120aa+=, 求解得1a = 或2a =. - 8- 11设A是nm矩阵, B是mn矩阵, 其中nm）只需证明对任意的向量 , 方程组 1122nn xxx+=L都有解. 因为向量组 12 , n L线性无关, 所以 1212 (,)(,) nn nRRn =LL, 即 1212 (,)(,) nn RRn =LL. 因此方程组 1122nn xxx+=L 有（唯一）解, 即 可由 12 , n L线性表示（且表示式唯一） （=）令 i e为第i个n维单位向量. 因为任意的向量均可由 12 , n L线性 表示, 所以向量组 12 , n e eeL可以由向量组 12 , n L线性表示, 因此 ()() 1212 , nn R e eeR LL, 又因为 () 12 , n R e een=L, () 12 , n Rn L, 所以 () 12 , n Rn =L, - 9- 即向量组 12 , n L线性无关. 13 若向量组 123 , 可由向量组 123 , 线性表示为 1123 2123 3123 =+ =+ = + , 证明向 量组 123 , 和向量组 123 , 等价 证明: 依题意知 ()() 123123 111 ,111 111 = . 因为 1 1111 201 2 1111 21 20 11101 21 2 = , 所以 ()() 123123 1 201 2 ,1 21 20 01 21 2 = , 即向量组 123 , 可由向量组 123 ,线性表示. 又因为向量组 123 ,可由 向量组 123 , 线性表示, 所以向量组 123 ,和向量组 123 , 等价. 14求下列各向量组的秩及其一个极大无关组, 并把其余向量用该极大无关组线 性表示 （1） 1234 1111 1 ,1 ,0 ,2 1003 = ; （2） 123 141 213 , 154 367 = ; - 10- （3） 12345 11221 02151 , 20313 11041 = ; 解: （1）对矩阵() 1234 ,A =做初等行变换, 即 3221 32 111111111111 110200110114 100301140011 rrrr rr A = 212 323 11111003 01140105 00110011 rrr rrr + , 所以, () 1234 ,3R =, 123 , 是此向量组的一个极大无关组, 且 4123 =35+. （2）对矩阵() 123 ,A =做初等行变换 3221 3142 41 2 2 3 141141141 213095095 154095000 36701810000 rrrr rrrr rr A = 2 12 1 4 9 1411011 9 015 9015 9 000000 000000 r rr , 所以, () 123 ,2R =, 12 , 是此向量组的一个极大无关组, 且 312 115 99 = +. （3）对矩阵() 12345 ,A =做初等行变换 31 41 2 1122111221 0215102151 2031302151 1104100222 rr rr A = - 11- 3234 3 1 2 1122111221 0215102151 0000000111 0022200000 rrrr r + 2 13 2312 1 2 2 1104110010 0206201031 0011100111 0000000000 r rr rrrr , 所以, () 12345 ,3R =, 123 , 是此向量组的一个极大无关组, 且 4123 3=+, 523 = +. 15 设A: 12 , s L 和B: 12 , t L 为两个同维向量组, 秩分别为 1 r 和 2 r , 向 量组=CAB的秩为 3 r . 证明: 21321, maxrrrrr+. 证明: 因为CAB=, 所以 12 , s L可以由向量组C线性表示, 因此 ( )( ) 13 rR AR Cr=. 同理可得( )( ) 23 rR BR Cr=, 因此 312 max ,rr r. 设 1 01 :, r A L, 2 01 :, r BL分别为向量组 A和B 的极大无关组, 则向 量组 00 AB和向量组CAB=可相互表示, 即 ()() 12 3111112 , strr rRRrr=+LLLL, 所以, 12312 max ,r rrrr+. 16设向量组A线性无关, 向量组B: 12 , r L 能由向量组A: 12 , s L 线 性表示为 1212 (,)(,) rs =LL K, 其中K是sr矩阵. 证明向量组B线 性无关的充分必要条件是矩阵K的秩()Rr=K. 证明: （必要性）因为向量组B线性无关, 所以 ( )()()rR BR AKR Kr=, 因此()R Kr=. - 12- （充分性）因为向量组A线性无关, 所以( )R As=. 若()R Kr=, 则 ( )()( )()R BR AKR AR Ksr=+=, 又因为 ( )()()R BR AKR Kr=, 所以 ( )R Br=, 即向量组B线性无关. - 13- 复复 习习 题题 四四 1设向量组 123 , 线性相关, 而 234 , 线性无关, 则: （1） 1 能否由 234 , 线性表示？理由是什么？ （2） 4 能否由 123 , 线性表示？理由是什么？ 解: （1）能. 因为 234 ,线性无关, 所以 23 ,也线性无关, 又因为向量组 123 , 线 性相关, 所以 1 可由 23 ,线性表示, 即存在数 23 ,xx使得 12233 xx=+. 令数 4 0 x =, 则 1223344 xxx=+, 即 1 可以由 234 ,线性表示. （2）不能. 令 1234 1100 1010 0001 =,=,=,=, 很显然, 向量组 123 , 线性相关, 而 234 ,线性无关, 但是 4 不能由 123 , 线性表示. 2设向量组 12 , s L 线性无关, 1122231 , ss =+=+=+L , 请分 析向量组 12 , s L 的线性相关性. 解: 记矩阵 1001 1100 0110 0001 s D = L L L MMMOM L , 则 ()() 1212 , ss D =LL. 令 1122 0 ss xxx+=L, 则 - 14- ()() 11 22 1212 ,0 ss ss xx xx D xx = LL MM . 因为 12 , s L线性无关, 所以 1 2 0 s x x D x = M . 又因为 11 11 100110001100 110011000110 ( 1)1( 1)011001100010 000100010001 ss sss D + =+ = + LLL LLL LLL MMMOMMMMOMMMMOM LLL , 所以, 当s为奇数时, 1 1 ( 1)20 s D + = + =, 因此 12 0 s xxx=L,即向量组 12 , s L线性无关. 当s为偶数时, 1 1 ( 1)0 s D + = + =, 所以 12 ( ,) s x xxL有非零解, 即向量组 12 , s L线性相关. 3设A是n阶矩阵, 且存在正整数k, 使方程组A X0= k 有解向量, 且已知 1 A0 k , 试证明: 21 , k AAA L线性无关. 证明: 因为 1 0 k A , 所以0 (1, ) k i Aik =L, 且 1k A 线性无关. 下面用归纳假设证明. 假设 1 ,(1,1) ik AAik =LL线性无关, 令 121 121 0 iikk iikk xAx AxAxA +=L, 则 () 121 121 iikk iikk A xAx AxAxA +L 11 121 iikk iikk xAx AxAxA + =+L 11 12 0 iik iik xAx AxA + =+=L. - 15- 由 1 , ik AA L的线性无关性得 12 0 iik xx =x =L, 进而有 1 0 k x =, 所以 11 , iik AAA L线性无关. 综上所证, 21 , k AAA L线性无关. 4.设 123 213 121 n n nn =+ =+ =+ L L LLLL L , 证明向量组 12 , n L 与向量组 12 , n L 等 价. 证明: 因为 1212 011 101 (,)(,) 110 nn = L L LL MMMM L , 且 011111111 101101010 (1)(1)( 1) (1)0 110110001 n nnn = LLL LLL MMMMMMMMMMMM LLL , 所以 1 1212 011 101 (,)(,) 110 nn = L L LL MMMM L , 因此, 向量组 12 , n L与向量组 12 , n L可以相互表示, 故二者等价. 5设向量组 12 , s L 和 12 , t L 为两个n维向量组, 且 12 (,) s RL 等