考研数学二真题.pdf

2015 一、选择题 （1）D。 【解答】 因为1 1 lim 2 1 = + x x x 且1 2 1 时，)0( f 存在，且0)0(=f； 0x时， x x x xxf 1 sin 1 cos)( 11 += ， 若)(xf在0=x处连续，则01, 1，即1，应选)(A （4）C。 【解答】 0)(= xf左边的零点为ax =，右边的零点为bx =， 又0=x处)(x f 不存在。 因为ax =得左右两侧)(x f 都大于零，所以)(,(afa不是拐点； 因为0=x左右两侧)(x f 异号，所以)0(, 0(f为拐点； 因为bx =左右两侧)(x f 异号，所以)(,(bfb为拐点， 故)(xfy=有两个拐点，应选)(C。 考研数学二真题解析考研数学二真题解析 新浪微博：考研猎人 微信公众号：kylieren QQ212400799三方同步更新最新免费考研资料 2017考研猎人免费分享计划：课程全程免费更新。视频分享QQ群： 533901476 （5）D。 【解答】 令 = =+ v x y uyx ，解得 1 , 1+ = + = v uv y v u x，则 v vu v vu v u vuf + = + + = 1 )1 ( ) 1() 1( ),( 2 2 22 2 2 ， v vu u f + = 1 )1 (2 ， 2 2 )1 ( 2 v u v f + = ， 故0| 1 1= = = v u u f ， 2 1 | 1 1 = = = v u v f ，应选)(D。 （6）B。 【解答】 令 = = sin cos ry rx ， （ 34 ， 2sin 1 2sin2 1 r） ，则 = 2sin 1 2sin2 1 3 4 )sin,cos(),(rdrrrfddxdyyxf D ，应选)(B。 （7）D。 【解答】 因为bAX =有无数个解，所以3)()(=ArAr， 由0) 12)(2)(1(|=aaA得2, 1=aa， 当1=a时， + = 23000 1010 1111 1030 1010 1111 141 121 1111 222 dd d d d d dA， 因为方程组有无数个解，所以1=d或2=d； 当2=a时， + = 23000 1110 1111 1330 1110 1111 441 221 1111 222 dd d d d d dA， 因为方程组有无数个解，所以1=d或2=d， 应选)(D。 （8）A。 新浪微博：考研猎人 微信公众号：kylieren QQ212400799三方同步更新最新免费考研资料 2017考研猎人免费分享计划：课程全程免费更新。视频分享QQ群： 533901476 【解答】 因为),( 321 xxxf经过正交变换PYX =化为标准型 2 3 2 2 2 1 2yyy+， 所以A的特征值为1, 1, 2 321 =，其对应的特征向量为 321 ,eee， 因为 231 ,eee 为特征值1, 1, 2 321 =对应的特征向量， 所以QYX =下二次型的标准型为 2 3 2 2 2 1 2yyy+，应选)(A。 二、填空题 （9）48。 【解答】 22 2 2 )1 (3 1 1 33 / / t t t dtdx dtdy dx dy += + + =， 22 2 2 2 2 )1 (12 1 1 )1 (12 )( tt t tt dt dx dx dy dt d dx yd += + + =， 故48| 1 2 2 = =t dx yd 。 （10）) 1()2(ln 2 nn n 。 【解答】 221120)( )2(ln22)2(ln22)2(ln2)( += nx n nx n nx n n CxCxCxf， 则) 1()2(ln)2(ln2 2 ) 1( )0( 22)( = = nn nn f nnn 。 （11）2。 【解答】 由 = 2 0 )()( x dttfxx得 )(2)()( 22 0 2 xfxdttfx x += ， 再由5) 1 (, 1) 1 (=得1)( 1 0 = dttf， 于是) 1 (215f+=，解得2) 1 (=f。 （12） xx ee2 2 + 。 新浪微博：考研猎人 微信公众号：kylieren QQ212400799三方同步更新最新免费考研资料 2017考研猎人免费分享计划：课程全程免费更新。视频分享QQ群： 533901476 【解答】 特征方程为 02 2 =+， 特征值为1, 2 21 =， 原方程通解为 xx eCeCy 2 2 1 += ， 由0)0(, 3)0(=yy得 =+ =+ 02 3 21 21 CC CC ，解得2, 1 21 =CC， 故 xx eey2 2 += 。 （13）dydx 3 2 3 1 。 【解答】 0, 0=yx代入1 32 =+ + xyze zy 得0=z。 1 32 =+ + xyze zy 两边1 32 =+ + xyze zy 分别对yx,求偏导得 = + + = + + + + 0)32( 0)31 ( 32 32 x z yxz x z e x z xyyz x z e zyx zyx ， 将0, 0, 0=zyx代入上式得 3 1 | )0 , 0( = x z ， 3 2 | )0 , 0( = y z ，故dydxdz 3 2 3 1 | )0 , 0( =。 （14）24。 【解答】 B的特征值为：31222=+， 71)2()2( 2 =+， 11112=+， 故21|=B。 三、解答题 （15） 【解】 由)( 32 )1ln( 3 32 xo xx xx+=+， 新浪微博：考研猎人 微信公众号：kylieren QQ212400799三方同步更新最新免费考研资料 2017考研猎人免费分享计划：课程全程免费更新。视频分享QQ群： 533901476 )( 6 sin 3 3 xo x xx+=得 )( 3 ) 2 ()1 ()( 32 )( 33232 32 xox a x a bxaxobx axax axxxf+=+=， 因为)()(xgxf， 所以 = = =+ k a a b a 3 0 2 01 ，解得 3 1 , 2 1 , 1=kba。 （16） 【解】 由题意，D由曲线) 2 0(sin A，所以 = = 1 0 y x 为极小点， 极小值为1) 1, 0(=f。 （18） 【解】 由 = =+ 2 22 2 xy yx 得 = = = = 1 1 , 1 1 y x y x ， 令2, 10| ),( 22 1 xyxxyxD=， 因为区域D关于x对称，所以 =+ DD dxdyxdxdyyxx 2 )(， 故 =+= 1 2 2)( DD dxdyxdxdyyxxI = 1 0 4 1 0 22 21 0 2 2222 2 2 dxxdxxxdydxx x x 5 2 cos2cos2sin22 4 0 2 sin2 = = tdttt tx 5 2 2sin2 5 2 cossin8 4 0 2 4 0 22 = tdttdtt 5 2 sin 5 2 )2(2sin 2 0 2 4 0 2 = tdtttd 5 2 45 2 22 1 = 。 （19） 【解】 新浪微博：考研猎人 微信公众号：kylieren QQ212400799三方同步更新最新免费考研资料 2017考研猎人免费分享计划：课程全程免费更新。视频分享QQ群： 533901476 由01) 12(121)( 222 =+=+=xxxxxxf得 2 1 =x， 当 2 1 x f， 则1=x为最小点，最小值为0) 1 (= fm， 因为011) 2 1 ( 1 4 1 1 2 1 2 xf x ，所以)(xf有两个零点，一个在) 2 1 ,(之间，另一个为1=x。 （20） 【解】 设t时刻物体的温度为)(tT，由题意得 20)(=tTk dt dT （0k） ， 整理得 kkT dt dT 20=+， 解得 + = kdtkdt eCdtketT)20()( 20+= kt Ce。 由30)30(,120)0(=TT得 =+ =+ 3020 12020 30t Ce C ，解得 30 10ln ,100=kC， 即20100)( 30 10ln += t etT， 当21=t时，由2010021 30 10ln += t e得60=t， 故还需要冷却 30 分钟，物体的温度才可降到 0 21C。 （21） 【解】 切线方程为 )()(bfbxbfy+=， 切线与x轴的交点为)0 , )( )( ( bf bf b ，即 )( )( 0 bf bf bx =。 因为0)( x f，所以0)()(=afbf， 新浪微博：考研猎人 微信公众号：kylieren QQ212400799三方同步更新最新免费考研资料 2017考研猎人免费分享计划：课程全程免费更新。视频分享QQ群： 533901476 故b bf bf b )( )( ， a bf bf b )( )( 等价于)()()(bf abfbf b， 令)()()()()()()(xfxfaxxf axfxf xx=， 因为0)(=af， 所以)()()()()(afxfxfaxx= )()()()()()()(fxfaxfaxxfax=（xa，于是)(0)(bxax，即a bf bf b )( )( ， 故b bf bf ba )( )( 。 （22） 【解】 （I）由OA = 3 得0|=A， 由0| 3 = aA得0=a，故 = 010 101 010 A。 （II）由EAXAAXXAX=+ 22 得 EXAAEXAE= 2 )()(，进一步整理得 EAEXAE=)()( 2 ，则 121 )()( =AEAEX。 新浪微博：考研猎人 微信公众号：kylieren QQ212400799三方同步更新最新免费考研资料 2017考研猎人免费分享计划：课程全程免费更新。视频分享QQ群： 533901476 = 101 000 101 2 A， = 110 111 011 AE， = 201 010 100 2 AE， 由 = 100110 011100 001011 100110 010111 001011 )(EAE? 011100 111010 112001 011100 100110 001011 得 = 011 111 112 )( 1 AE； 再由 = 001100 010010 100201 100201 010010 001100 )( 2 EAE? 001100 010010 102001 得 = 001 010 102 )( 12 AE， 故 = = 112 111 213 001 010 102 011 111 112 X。 （23） 【解】 （I）因为BA，所以 = = | )()( BA BtrAtr ， 从而 = +=+ ba ba 32 23 ，解得5, 4=ba。 （II）因为BA，所以BA,的特征值相同， 由0)5() 1( 130 050 021 | 2 = = BE得 BA,的特征值为5, 1 321 =。 将1=代入OXAE=)(，即OXAE=)(， 新浪微博：考研猎人 微信公众号：kylieren QQ212400799三方同步更新最新免费考研资料 2017考研猎人免费分享计划：课程全程免费更新。视频分享QQ群： 533901476 由 = 000 000 321 321 321 321 AE得 A的属于特征值1=的线性无关的特征向量为 = = 1 0 3 , 0 1