故城高中2016届高三数学12月月考试卷（文带解析）

1 / 22 故城高中 2016 届高三数学 12 月月考试卷（文带解析） 本资料为 WoRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址文 章来源 m XX-2016 学年河北省衡水市故城高中高三（上） 12 月月考数学试卷（文科） 一、选择题（共 12题，每小题 5 分） 1若集合 P=x|2x 4， Q=x|x3 ，则 PQ 等于（ ） A x|3x 4B x|3 x 4c x|2x 3D x|2x3 2复数（ 3+2i） i 等于（ ） A 2 3iB 2+3ic 2 3iD 2+3i 3以边长为 1 的正方形的一边所在所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于（ ） A 2B c 2D 1 4设命题 p： xR ， x2+1 0，则 p 为（ ） A x0R ， x02+1 0B x0R ， x02+10 c x0R ， x02+1 0D x0R ， x02+10 5已知 m， n 表示两条不同直线， 表示平面，下列说法正确的是（ ） A若 m ， n ，则 mnB 若 m ， mn ，则 n 2 / 22 c若 m ， mn ，则 nD 若 m ， n ，则 mn 6将函数 y=sinx的图象向左平移个单位，得到函数 y=f（ x）的函数图象，则下列说法正确的是（ ） A y=f（ x）是奇函数 B y=f（ x）的周期为 c y=f（ x）的图象关于直线 x=对称 D y=f（ x）的图象关于点（， 0）对称 7已知函数 f（ x） = log2x，在下列区间中，包含 f（ x）零点的区间是（ ） A（ 0， 1） B（ 1， 2） c（ 2， 4） D（ 4， + ） 8已知等比数列 an满 足 a1=3， a1+a3+a5=21，则 a3+a5+a7=（ ） A 21B 42c 63D 84 9要制作一个容积为 4m3，高为 1m的无盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方米 20 元，侧面造价是每平方米 10元，则该容器的最低总造价是（ ） A 80元 B 120元 c 160元 D 240元 10设 m 为平行四边形 ABcD 对角线的交点， o 为平行四边形 ABcD所在平面内任意一点，则等于（ ） A B 2c 3D 4 11设 D 为 ABc 所在平面内一点，则（ ） 3 / 22 A B c D 12已知圆 c：（ x a） 2+（ y b） 2=1，设平面区域 = ，若圆心 c ，且圆 c与 x轴相切，则 a2+b2的最大值为（ ） A 49B 37c 29D 5 二填空题（共 4 题，每题 5 分） 13在 ABc 中， A=60 ， Ac=2， Bc=，则 AB等于 14函数 f（ x） =的零点个数是 15某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 16设正实数 x， y， z 满足 x2 3xy+4y2 z=0，则当取得最小值时， x+2y z 的最大值为 三解答题（共 6 题， 17题 10分，其它各题 12分） 17 ABc 中，角 A， B， c 所对的边分别为 a， b， c已知a=3， cosA=， B=A+ （ ）求 b 的值； （ ）求 ABc 的面积 18已知函数 f（ x） =cosxsin（ x+） cos2x+， xR （ ）求 f（ x）的最小正周期； 4 / 22 （ ）求 f（ x）在闭区间 ， 上的最大值和最小值 19在等比数列 an中， a2=3， a5=81 （ ）求 an； （ ）设 bn=log3an，求数列 bn的前 n 项和 Sn 20如图，在三棱柱 ABc A1B1c1 中，侧棱垂直于底面，ABBc ， AA1=Ac=2， Bc=1， E， F分别是 A1c1， Bc 的中点 （ ）求证：平面 ABEB1Bcc1 ； （ ）求证： c1F 平面 ABE； （ ）求三棱锥 E ABc的体积 21设函数 f（ x） =（ x+a） lnx， g（ x） =已知曲线 y=f（ x）在点（ 1， f（ 1）处的切线与直线 2x y=0平行 （ ）求 a 的值； （ ）是否存在自然数 k，使得方程 f（ x） =g（ x）在（ k，k+1）内存在唯一的根？如果存在，求出 k；如果不存在，请说明理由； （ ）设函数 m（ x） =minf（ x）， g（ x） （ minp， q表示 p， q 中的较小值），求 m（ x）的最大值 22已知函数 f（ x） =|2x+1|+|2x 3| （ ）求不等式 f（ x） 6 的解集； （ ）若关于 x 的不等式 f（ x） |a 1|的解集非空，求实数 a 的取值范围 5 / 22 XX-2016学年河北省衡水市故城高中高三（上） 12月月考数学试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题（共 12题，每小题 5 分） 1若集合 P=x|2x 4， Q=x|x3 ，则 PQ 等于（ ） A x|3x 4B x|3 x 4c x|2x 3D x|2x3 【考点】交集及其运算 【分析】由于两集合已是最简，直接求它们的交集即可选出正确答案 【解答】解： P=x|2x 4， Q=x|x3 ， PQ=x|3x 4 故选 A 2复数（ 3+2i） i 等于（ ） A 2 3iB 2+3ic 2 3iD 2+3i 【考点】复数代数形式的乘除运算 【分析】直接由复数代数形式的乘法运算化简 求值 【解答】解：（ 3+2i） i=3i+2i2= 2+3i 故选： B 6 / 22 3以边长为 1 的正方形的一边所在所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于（ ） A 2B c 2D 1 【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积 【分析】边长为 1 的正方形，绕其一边所在直线旋转一周，得到的几何体为圆柱，从而可求圆柱的侧面积 【解答】解：边长为 1 的正方形，绕其一边所在直线旋转一周，得到的几何体为圆柱， 则所得几何体的侧面积为： 121=2 ， 故选： A 4设命题 p： xR ， x2+1 0，则 p 为（ ） A x0R ， x02+1 0B x0R ， x02+10 c x0R ， x02+1 0D x0R ， x02+10 【考点】命题的否定 【分析】题设中的命题是一个特称命题，按命题否定的规则写出其否定即可找出正确选项 【解答】解 命题 p： xR ， x2+1 0，是一个特称命题 p： x0R ， x02+10 7 / 22 故选 B 5已知 m， n 表示两条不同直线， 表示平面，下列说法正确的是（ ） A若 m ， n ，则 mnB 若 m ， mn ，则 n c若 m ， mn ，则 nD 若 m ， n ，则 mn 【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；空间中直线与直线之间的位置关系 【分析】画一个正方体，利用正方体中的线线、线面关系说明 ABc都不对 【解答】解：在正方体 ABcD ABcD 中：令底面ABcD= A、令 m=AB， n=Bc，满足 m ， n ，但 mn 不成立， A错误； B、令 m=AA ， n=AB ，满足 m ， mn ，但 n 不成立， B 错误； c、令 m=AB， n=AD，满足 m ， mn ，但 n 不成立， c错误； 故选： D 8 / 22 6将函数 y=sinx的图象向左平移个单位，得到函数 y=f（ x）的函数图象，则下列说法正确的是（ ） A y=f（ x）是奇函数 B y=f（ x）的周期为 c y=f（ x）的图象关于直线 x=对称 D y=f（ x）的图象关于点（， 0）对称 【考点】函数 y=Asin（ x+ ）的图象变换 【分析】 利用函数图象的平移法则得到函数 y=f（ x）的图象对应的解析式为 f（ x） =cosx，则可排除选项 A， B，再由 cos=cos（） =0 即可得到正确选项 【解答】解：将函数 y=sinx的图象向左平移个单位，得 y=sin（ x+） =cosx 即 f（ x） =cosx f （ x）是周期为 2 的偶函数，选项 A， B 错误； cos=cos （） =0， y=f （ x）的图象关于点（， 0）、（， 0）成中心对称 故选： D 7已知函数 f（ x） = log2x，在下列区间中，包含 f（ x）零点的区间是（ ） A（ 0， 1） B（ 1， 2） c（ 2， 4） D（ 4， + ） 【考点】函数零点的判定定理 9 / 22 【分析】可得 f（ 2） =2 0， f（ 4） = 0，由零点的判定定理可得 【解答】解： f （ x） = log2x， f （ 2） =2 0， f（ 4） = 0， 满足 f（ 2） f（ 4） 0， f （ x）在区间（ 2， 4）内必有零点， 故选： c 8已知等比数列 an满足 a1=3， a1+a3+a5=21，则 a3+a5+a7=（ ） A 21B 42c 63D 84 【考点】等比数列的通项公式 【分析】由已知， a1=3， a1+a3+a5=21，利用等比数列的通项公式可求 q，然后在代入等比数列通项公式即可求 【解答】解： a1=3 ， a1+a3+a5=21， ， q4+q2+1=7 ， q4+q2 6=0， q2=2 ， a3+a5+a7=3 （ 2+4+8） =42 故选： B 10 / 22 9要制作一个容积为 4m3，高为 1m的无盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方米 20 元，侧面造价是每平方米 10元，则该容器的最低总造价是（ ） A 80元 B 120元 c 160元 D 240 元 【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积 【分析】设池底长和宽分别为 a， b，成本为 y，建立函数关系式，然后利用基本不等式求出最值即可求出所求 【解答】解：设池底长和宽分别为 a， b，成本为 y，则 长方形容器的容器为 4m3，高为 1m， 底面面积 S=ab=4， y=20S+102（ a+b） =20（ a+b） +80， a+b2=4 ， 当 a=b=2时， y 取最小值 160， 即该容器的最低总造价是 160元， 故选： c 10设 m 为平行四边形 ABcD 对角线的交点， o 为平行四边形 ABcD所在平面内任意一点，则等于（ ） A B 2c 3D 4 【考点】向量在几何中的应用 【分析】虑用特殊值法去做，因为 o 为任意一点，不妨把 o看成是特殊点，再代入计算，结果满足哪一个选项，就选哪一个 11 / 22 【解答】解： o 为任意一点，不妨把 A 点看成 o 点，则 =， m 是平行四边形 ABcD的对角线的交点， =2=4 故选： D 11设 D 为 ABc 所在平面内一点，则（ ） A B c D 【考点】平行向量与共线向量 【分析】将向量利用向量的三角形法则首先表示为，然 后结合已知表示为的形式 【解答】解：由已知得到如图 由 =； 故选： A 12已知圆 c：（ x a） 2+（ y b） 2=1，设平面区域 = ，若圆心 c ，且圆 c与 x轴相切，则 a2+b2的最大值为（ ） A 49B 37c 29D 5 【考点】简单线性规划 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用圆 c 与 x 轴相切，得到 b=1为定值，此时利用数形结合确定 a 的取值即可12 / 22 得到结论 【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图： 圆心为（ a， b），半径为 1 圆心 c ，且圆 c 与 x 轴相切， b=1 ， 则 a2+b2=a2+1， 要使 a2+b2的取得最大值，则只需 a 最大即可， 由图象可知当圆心 c 位于 B 点时， a 取值最大， 由，解得，即 B（ 6， 1）， 当 a=6， b=1时， a2+b2=36+1=37，即最大值为 37， 故选： c 二填空题（共 4 题，每题 5 分） 13在 ABc 中， A=60 ， Ac=2， Bc=，则 AB等于 1 【考点】余弦定理 【分析】利用余弦定理计算即可 【 解 答 】 解 ： 由 余 弦 定 理 可 得 ： Bc2=Ac2+AB2 2ABAccosA， 即 3=4+AB2 2AB，解得 AB=1， 故答案为： 1 13 / 22 14函数 f（ x） =的零点个数是 2 【考点】根的存在性及根的个数判断 【分析】根据函数零点的定义，直接解方程即可得到结论 【解答】解：当 x0 时，由 f（ x） =0得 x2 2=0，解得 x=或 x=（舍去）， 当 x 0 时，由 f（ x） =0得 2x 6+lnx=0，即 lnx=6 2x， 作出函数 y=lnx和 y=6 2x在同一坐标系图象，由图象可知此时两个函数只有 1 个交点，故 x 0 时，函数有 1 个零点 故函数 f（ x）的零 点个数为 2， 故答案为： 2 15某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 【考点】由三视图求面积、体积 【分析】由几何体的三视图得到该几何体是由底面直径为 2，高为 2 的圆柱和底面直径为 2 高为 1 的半圆锥两部分组成，由此能求出该几何体的体积 【解答】解：由几何体的三视图得到该几何体是由底面直径为 2，高为 2 的圆柱 和底面直径为 2 高为 1 的半圆锥两部分组成， 该几何体的体积为： 14 / 22 V= 故答案为： 16设正实数 x， y， z 满足 x2 3xy+4y2 z=0， 则当取得最小值时， x+2y z 的最大值为 2 【考点】基本不等式 【分析】将 z=x2 3xy+4y2 代入，利用基本不等式化简即可得到当取得最小值时的条件，用 x， z 表示 y 后利用配方法求得 x+2y z 的最大值 【解答】解： x2 3xy+4y2 z=0， z=x2 3xy+4y2，又 x， y， z 为正实数， =+ 32 3=1（当且仅当 x=2y时取 “=” ）， 即 x=2y（ y 0）， x+2y z=2y+2y（ x2 3xy+4y2） =4y 2y2 = 2（ y 1） 2+22 x+2y z 的最大值为 2 故答案为： 2 三解答题（共 6 题， 17题 10分，其它各题 12分） 17 ABc 中，角 A， B， c 所对的边分别为 a， b， c已知a=3， cosA=， B=A+ 15 / 22 （ ）求 b 的值； （ ）求 ABc 的面积 【考点】正弦定理 【分析】（ ）利用 cosA 求得 sinA，进而利用 A 和 B 的关系求得 sinB，最后利用正弦定理求得 b 的值 （ ）利用 sinB，求得 cosB的值，进而根两角和公式求得sinc的值，最后利用三角形面积公式求得答案 【解答】解：（ ） co sA=， sinA= ， B=A+ sinB=sin （ A+） =cosA=， 由正弦定理知 =， b=sinB=3 （ ） sinB= ， B=A+ cosB= =， sinc=sin（ A B） =sin（ A+B） =sinAcosB+cosAsinB=（） += ， S=absinc=33= 18已知函数 f（ x） =cosxsin（ x+） cos2x+， xR （ ）求 f（ x）的最小正周期； （ ）求 f（ x）在闭区间 ， 上的最大值和最小值 16 / 22 【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法 【分析】（ ）根据两角和差的正弦公式、倍角公式对解析式进行化简，再由复合三角函数的周期公式求出此函数的最小正周期； （ ）由（ ）化简的函数解析式和条件中 x 的范围，求出的范围，再利用正弦函数的性质求出再已知区间上的最大值和最小值 【解答】解：（ ）由题意得， f（ x） =cosx（ sinxcosx） = = = = 所以， f（ x）的最小正周期 = （ ）由（ ）得 f（ x） =， 由 x ， 得， 2x ， ，则 ， ， 当 =时，即 = 1 时，函数 f（ x）取到最小值是：， 当 =时，即 =时， f（ x）取到最大值是：， 所以，所求的最大值为，最小值为 19在等比数列 an中， a2=3， a5=81 （ ）求 an； 17 / 22 （ ）设 bn=log3an，求数列 bn的前 n 项和 Sn 【考点】等比数列的通项公式；等差数列的前 n 项和 【分析】（ ）设出等比数列的首项和公比，由已知列式求解首项和公比，则其通项公式可求； （ ）把（ ）中求得的 an代入 bn=log3an，得到数列 bn的通项公式，由此得到数列 bn是以 0 为首项，以 1 为公差的等差数列，由等差数列的前 n 项和公式得答案 【解答】解：（ ）设等比数列 an的公比为 q， 由 a2=3， a5=81，得 ，解得 ； （ ） ， bn=log3an， 则数列 bn的首项为 b1=0， 由 bn bn 1=n 1（ n 2） =1（ n2 ）， 可知数列 bn是以 1 为公差的等差数列 20如图，在三棱柱 ABc A1B1c1 中，侧棱垂直于底面，ABBc ， AA1=Ac=2， Bc=1， E， F分别是 A1c1， Bc 的中点 （ ）求证：平面 ABEB1Bcc1 ； （ ）求证： c1F 平面 ABE； 18 / 22 （ ）求三棱锥 E ABc的体积 【考点】平面与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定 【分析】（ ）证明 ABB1Bcc1 ，可得平面 ABEB1Bcc1 ； （ ）证明 c1F 平面 ABE，只需证明四边形 FGEc1 为平行四边形，可得 c1FEG ； （ ）利用 VE ABc=，可求三棱锥 E ABc的体积 【解答】（ ）证明： 三棱柱 ABc A1B1c1 中，侧棱垂直于底面， BB1AB ， ABBc ， BB1Bc=B ， AB 平面 B1Bcc1， AB 平面 ABE， 平面 ABEB1Bcc1 ； （ ）证明：取 AB中点 G，连接 EG， FG，则， F 是 Bc的中点， FGAc ， FG=Ac， E 是 A1c1的中点， FGEc1 ， FG=Ec1， 四边形 FGEc1为平行四边形， c1FEG ， 19 / 22 c1F 平面 ABE， EG平面 ABE， c1F 平面 ABE； （ ）解： AA1=Ac=2 ， Bc=1， ABBc ， AB= ， VE ABc= 21设函数 f（ x） =（ x+a） lnx， g（ x） =已知曲线 y=f（ x）在点（ 1， f（ 1）处的切线与直线 2x y=0平行 （ ）求 a 的值； （ ）是否存在自然数 k，使得方程 f（ x） =g（ x）在（ k，k+1）内存在唯一的根？如果存在，求出 k；如果不存在，请说明理由； （ ）设函数 m（ x） =minf（ x）， g（ x） （ minp， q表示 p， q 中的较小值），求 m（ x）的最大值 【 考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用 【分析】（ ）求出 f（ x）的导数，求得切线的斜率，由两直线平行的条件：斜率相等，解方程可得 a=1； （ ）求出 f（ x）、 g（ x）的导数和单调区间，最值，由零点存在定理，即可判断存在 k=1； （ ）由（ ）求得 m（ x）的解析式，通过 g（ x）的最大20 / 22 值，即可得到所求 【解答】解：（ ）函数 f（ x） =（ x+a） lnx 的导数为 f（ x） =lnx+1+， 曲线 y=f（ x）在点（ 1， f（ 1）处的切线斜率为 f （ 1）=1+a， 由切线 与直线 2x y=0平行， 则 a+1=2，解得 a=1； （ ）由（ ）可得 f（ x） =（ x+1） lnx， f （ x） =lnx+1+， 令 h（ x） =lnx+1+， h （ x） = =， 当 x （ 0， 1）， h （ x） 0， h（ x）在（ 0， 1）递减， 当 x 1 时， h （ x） 0， h（ x）在（ 1， + ）递增 当 x=1时， h（ x） min=h（ 1） =2 0，即 f （ x） 0， f（ x）在（ 0， + ）递增，即有