2014自主-静电场答案.pdf

第四讲第四讲 静电场静电场 一、库仑定律一、库仑定律 二、高斯定理二、高斯定理 三、静电场的电势三、静电场的电势 四、静电平衡的导体四、静电平衡的导体 五五、电容器电容器 静电场的能量静电场的能量 六、静电场中的电介质六、静电场中的电介质 1 2 【例例4.2】电偶极子的场强电偶极子的场强 （1 1）场点）场点P P在电荷连线的在电荷连线的延长线延长线上上E E1 1 22 ) 2 ( , ) 2 ( l r kq E l r kq E ) 2 ( 1 ) 2 ( 1 22 1 l r l r kqE 3 1 2 , r kql Erl 3 1 2 -, r Pk E qqll qP 则 到方向是从令 3 （2 2）场点）场点P P在电荷连线的在电荷连线的中垂线中垂线上上E E2 2 22 ) 2 ( l r kq EE 3 2 3 2 , r Pk E r kql Erl 电偶极子中垂线上电偶极子中垂线上 cos2 2 EE总场强总场强 2/322 2 ) 2 ( l r kql E 4 sincosPPPPPPP rr ，其中 【讨论讨论】： 总电偶极矩的场等于各分电矩场的矢量和总电偶极矩的场等于各分电矩场的矢量和 而而 延长线上的电场延长线上的电场 r P 33 cos22 r kP r kP E r r 中垂线上的电场中垂线上的电场 P 33 sin r kP r kP E -q +q r O 5 【例例4. 3】（1）电荷不能自由移动的半圆环，半径为）电荷不能自由移动的半圆环，半径为R， 均匀带电均匀带电Q，求圆心处的场强。，求圆心处的场强。 （2）电荷不能自由移动的半球面，半径为）电荷不能自由移动的半球面，半径为R，均匀带电，均匀带电 Q，求球心处的场强。，求球心处的场强。 Q O R q f F f 6 Q R 2 kq f R 22 2 22 kqkQ FfRRE RR 【例4. 3】 设圆心处有一个点电荷设圆心处有一个点电荷q，球面上单位面积带电荷量：，球面上单位面积带电荷量： 单位面积带电球面受力单位面积带电球面受力f： 2 2 Q R 2 kq f R 22 242 22 kkQkQ ERRk RRR 7 x y z o kEOyz 0 点的场强点的场强面在面在左半球的均匀带电半球左半球的均匀带电半球 k 4 3 E 4 1 3E3EEEE 0ox 2 oz 2 oy 2 oxo ozoyox0 0 EEEz ,y,xE ,EO 8 1 轴的夹角都相等，因此轴的夹角都相等，因此与与 根据对称性，根据对称性，点的场强为点的场强为球面在球面在设图示的设图示的 8 R O P x p E A , = 2 l Q l q R 在圆环上取一微元段圆弧 带电量 22 AP:=k + p q E Rx 如图， 处的 q电量在 点产生的场强 P,E p x 根据所给电荷电量分布的旋转对称性， 整个圆弧在 的场强只有x方向所以方向沿 轴。 2/3222/322 22 pxpp )xR( xkQ q )xR( xk cos xR q kEEE 圆环圆环圆环圆环圆环圆环 B Ep 【例4. 4】 9 S1 S2 如图，太阳光线，穿过如图，太阳光线，穿过S1和和S2的光的光 线数相等。单位线数相等。单位时间时间内通过某面的内通过某面的 光粒子数，叫光通量，用光粒子数，叫光通量，用表示表示。 显然，显然，S1和和S2面上单位面积通过的面上单位面积通过的 光线数不同。光线数不同。 二、二、 高斯定理高斯定理 设单位面积上通过的光线条数叫光强，用设单位面积上通过的光线条数叫光强，用I表示，则表示，则 2 22 12 1211222 21 44 Ir r Ir I Ir 10 【例例4. 5】如图所示如图所示，利用一直径为，利用一直径为d=0.1m，焦距为，焦距为f=0.5m 的凸透镜的凸透镜B在一粗糙的黑色薄圆盘在一粗糙的黑色薄圆盘A上形成一个太阳上形成一个太阳C的聚焦的聚焦 像，像的大小与薄圆盘正好一样大。假设太阳的黑体温度是像，像的大小与薄圆盘正好一样大。假设太阳的黑体温度是 Ts=6000K，黑体在单位时间内，在单位面积的表面上向外，黑体在单位时间内，在单位面积的表面上向外 发射的热辐射能发射的热辐射能M满足：满足： ，为常数；太阳中心与为常数；太阳中心与 地球中心间距为地球中心间距为 ，太阳半径为，太阳半径为 。试问盘可能达到的最高温度是多少？。试问盘可能达到的最高温度是多少？ 11 224 44 sssS PR MRT 解：解：太阳表面在单位时间内向外发射的总的热辐射能：太阳表面在单位时间内向外发射的总的热辐射能： 单位时间内到达透镜所在的同心球面上的光子与太阳表面发单位时间内到达透镜所在的同心球面上的光子与太阳表面发 射的光子数一样。（光通量相等），所以透镜接收的太阳能射的光子数一样。（光通量相等），所以透镜接收的太阳能 的热功率为：的热功率为： 2 2 44 S Pd P a (1) (2) 透镜接收的光完全照射到黑圆盘上被吸收，设其温度为透镜接收的光完全照射到黑圆盘上被吸收，设其温度为T， 圆盘也向外辐射能量，其辐射热功率为：圆盘也向外辐射能量，其辐射热功率为： (2)和（和（3）相等，并且，有）相等，并且，有 S Rr fa 2 4 2 1595 8 S d TTK f (3) 24 2 S PrT 【例4. 5】 12 流体的稳定流动时的速度场，流体的稳定流动时的速度场， 用水流线描述用水流线描述 水流量（通量）：水流量（通量）：单位时间内单位时间内通通 过过S面的面的流体体积流体体积。用。用表示。表示。 cosvS 通过通过S面的通量：面的通量： 13 穿进的水流线穿进的水流线=穿出的水流线穿出的水流线 =cos0vS 穿穿进进的的通通量量 S 穿过一个闭合的穿过一个闭合的S面的通量，规定面的通量，规定S外法线方向为正外法线方向为正 =cos0vS 穿穿出出的的通通量量 S cos0vS 闭闭合合 面面 S cos=- m vS t 闭闭合合 面面 S cos=- m vS t 闭闭合合 面面 m代表代表 源泉的源泉的 质量质量 14 类比光线，引入电场线类比光线，引入电场线（假想曲（假想曲 线）线）在电场中描绘一曲线，使在电场中描绘一曲线，使 曲线上每一点的切线方向与该点的曲线上每一点的切线方向与该点的 场强方向一致；某点的曲线疏密程场强方向一致；某点的曲线疏密程 度表示电场强度的大小。度表示电场强度的大小。 点电荷的电场点电荷的电场 S N E N S 小：小：，则该点的电场强度大，则该点的电场强度大目为目为穿过此面元的电场线数穿过此面元的电场线数 ，垂直的面元垂直的面元取与该点电场强度方向取与该点电场强度方向 电场强度的大小=电场线的密度 15 如图，穿过如图，穿过S面的电场线的条数：面的电场线的条数： cosNESES 穿过穿过S面的电场线的条数也叫面的电场线的条数也叫 穿过穿过S面的电通量，用面的电通量，用表示，表示， 即即 cosES 高斯定理：高斯定理： 内面闭合S 0 S 1 cos i qSE 静电场中穿过任一闭面的电静电场中穿过任一闭面的电 通量等于闭面内电荷的代数通量等于闭面内电荷的代数 和除以真空的介电常数和除以真空的介电常数0 16 【练习练习】点电荷在周围空间产生的电场强度点电荷在周围空间产生的电场强度 cos S S 面面 2 qkq r = = 4 4 S r q 17 【例例4.6 】 均匀均匀薄球壳面电荷的薄球壳面电荷的场强分布。场强分布。 【解解】 设设球面电荷半径为球面电荷半径为R ，电量，电量q沿球面均布。沿球面均布。 0 0 4cos 0 2 E rESE 球内场强： 2 0 2 0 2 4 4cos r kq r q E q rESE 球面外场强： 18 【练习练习 】均匀带电球体的均匀带电球体的场强分布。场强分布。 2 Q Ek r 【解解 】带电球体外带电球体外A的的场强场强 3 Q = 4 R 3 方向沿径向方向沿径向 带电球体内带电球体内B的的场强场强 定义电荷体密度定义电荷体密度 3 23 0 4 r 3 =k 3 rQ Ekr rR 方向沿径向方向沿径向 注意：注意：E和和r正比关系！正比关系！ 19 12 EE 【例4.7】 20 【例例4.8】求求无限大带电平面的场强（设电荷的面密度为无限大带电平面的场强（设电荷的面密度为） 00 2= 2 S ESE 0 1 =2 4 Ek kS 21 (2) q和和- -q分别均匀分布在正负极板的内表面，极板的外表分别均匀分布在正负极板的内表面，极板的外表 面无电荷分布面无电荷分布 解解（1）上）上极板极板电荷密度电荷密度为为=q/S，下下极板极板电荷密度为电荷密度为=-q/S， E E E E 00 , 22 EE 方向如图所示，极板间场强方向如图所示，极板间场强 0 4 q EEEk S 【例例4.9】 22 (3) 正极板在负极板处的电场强度为正极板在负极板处的电场强度为E+=q/20S，它对负极板它对负极板 的静电力的静电力F+=E+q=q2/20S。，方向由负极板垂直指向正极板方向由负极板垂直指向正极板。 (4) B点电场为中心电场的点电场为中心电场的A点电场的一半点电场的一半 负极板负极板对正极板的静电力大小也是该值对正极板的静电力大小也是该值，但方向相反但方向相反。 C点电场点电场看成是电偶极子中垂线上的电场看成是电偶极子中垂线上的电场， 3C kqd E r r C d +q -q EC 方向如图所示方向如图所示 23 三、静电场的电势三、静电场的电势 静电场力做功与路径无关静电场力做功与路径无关, 只由始末位置决定。只由始末位置决定。 ) 11 ( ) 11 ( 0 0 0 2 0 rrr qkq rr qkq rr rr qkq r r qq kNKF KNFlFA NKKN KN ) 11 () 11 ( 00 QP r rr QPQP rr qkq rrr qkqAA Q P 1.1.静电场力对静电场力对点电荷做点电荷做功功 24 2. 电势能电势能 设设q1,q2,qn从无穷远处搬过来，从无穷远处搬过来， 构成右图的分布。构成右图的分布。 q5 q1 q3 q4 qn q2 外界需要克服电场力做功，即外界与系统间有外界需要克服电场力做功，即外界与系统间有 能量交换。即功转换成带电体静止的能量。能量交换。即功转换成带电体静止的能量。 因为静电力做功与位置无关，而外力做功因为静电力做功与位置无关，而外力做功= -(静电力做功静电力做功) 所以，带电体静止的能量应该是一个静电势能所以，带电体静止的能量应该是一个静电势能 25 考虑考虑 一个试验电荷一个试验电荷q0 在电场力作用下，从在电场力作用下，从a点点运动至运动至b 点点， （看成（看成q0从从a到到，再从，再从到b）。q0 在在a点有一个静电势能，点有一个静电势能， 用用Wa表示，在表示，在b点点的静电势能的静电势能Wb, 则则 定义定义a点和点和b点之间的电势差点之间的电势差: b a 0 ba 0 ba ba lE q A q WW UU q0从从a点运动到点运动到b点，电场力做功点，电场力做功： 0 () b abab a WWAq El 0( ) abab Aq UU 若若b点为点为点，规定点，规定点的电势为点的电势为0，则，则，a点电势为，点电势为， a a UEl 26 3. 匀强电场中电势与匀强电场中电势与E的关系的关系 Q P ii QP QP lE q WW UU 0 由关系式： 对于匀强电场对于匀强电场 PQ UUEL 等势面与电场线关系：电场线的方向指向电势减小的方向，等势面与电场线关系：电场线的方向指向电势减小的方向， 通过等势面上任一点的电场线与过该点的等势面垂直。通过等势面上任一点的电场线与过该点的等势面垂直。 4. 电势叠加原理电势叠加原理 点电荷电场的电势点电荷电场的电势 Q Uk r 电势叠加原理：电势叠加原理： i UU E L 等等 势势 面面 等等 势势 面面 +q -q P Q 27 【例例4.10】计算计算均匀带电球面内外的电势。均匀带电球面内外的电势。 2 0 1 4 , r Q ERr 当 0, 2 ERr当 R Q U 0 2 4 解：解：球面外球面外的的电势：将电荷电量集中在球心处，用点电电势：将电荷电量集中在球心处，用点电 荷电势公式：荷电势公式： 球内场强为球内场强为0，球内为等势体，球内为等势体， 利用利用R处的电势，得处的电势，得 均匀带电半球面在均匀带电半球面在AOB底面上产生的电势是多少？底面上产生的电势是多少？ 28 2 11 111 1 2 2 k R Uk R R 【练习练习】如如图所示图所示，半径分别为，半径分别为R1和和R2的两个同心半球相的两个同心半球相 对放置，两个半球面均匀带电，电荷面密度分别为对放置，两个半球面均匀带电，电荷面密度分别为1和和2， 试求大的半球所对应地面圆直径试求大的半球所对应地面圆直径AOB上电势的分布。上电势的分布。 2 22 222 2 2 2 k R Uk R R 2 rR 当当时时(AOB)(AOB) 121122 2()UUUkRR 12 RrR当当时时 2 11 111 1 2 2 k R Uk R R 2 22 2 2k R U r 2 22 1211 2() R UUUkR r 29 【例例4.11】如如图所示，一半径为图所示，一半径为R的孤立的带电金属丝环，的孤立的带电金属丝环， 其中心电势为其中心电势为U0，将此环靠近半径为，将此环靠近半径为b的接地的球，只有环的接地的球，只有环 中心中心O位于球面上。试求球上感应电荷的电量。位于球面上。试求球上感应电荷的电量。 解：将带电金属丝环分成解：将带电金属丝环分成n个相同的个相同的 小弧长，每段弧长带电：小弧长，每段弧长带电： O R O1 b i q q n qi在在O点产生的电势：点产生的电势： i i kqkq U RnR 0 kqkqkq Un nRnRR 0 RU q k 30 设接地的球上感应电荷为设接地的球上感应电荷为Q，环上电荷和球上感应电荷在，环上电荷和球上感应电荷在 球心球心O1处产生的电势之和应为零，即处产生的电势之和应为零，即 0 2222 0 abUkqkQ Q b abk ab 31 【练习练习】如如图所示图所示，正四面体，正四面体ABCD各面为导体，但又彼此各面为导体，但又彼此 绝缘。已知带电后四个面的静电势分别为绝缘。已知带电后四个面的静电势分别为1，2，3，4， 求四面体中心求四面体中心O点的电势。点的电势。 A B C D O 32 四、静电场中的导体四、静电场中的导体 （1 1） 导体内部场强处处为零导体内部场强处处为零 （2 2） 净电荷仅分布在导体表面净电荷仅分布在导体表面 （孤立导体仅分布在其外表面上）（孤立导体仅分布在其外表面上） （3 3） 导体是等电势，导体表面是等势面导体是等电势，导体表面是等势面 （4 4） 导体表面处得场强方向与导体表面垂直，导体表面处得场强方向与导体表面垂直， 其大小为其大小为4 4 k k 1. 1. 静电平衡时导体的特点静电平衡时导体的特点 33 （1 1） 导体空腔内无电荷，空腔外有电荷导体空腔内无电荷，空腔外有电荷 2. 2. 静电平衡时导体空腔与静电屏蔽静电平衡时导体空腔与静电屏蔽 所有所有感应感应电荷电荷都分布在空腔的都分布在空腔的 外表面上外表面上；空；空腔腔内无感应电荷，内无感应电荷， 无无电场，空腔内是等势体。电场，空腔内是等势体。 空空腔不接地，腔外电荷不影响腔内电场，但影响电势的值。腔不接地，腔外电荷不影响腔内电场，但影响电势的值。 + Q 假设假设Q Q到到O O点距离为点距离为d d，求空腔电势值。，求空腔电势值。 kQ U d 34 空腔接地空腔接地，腔外电荷不，腔外电荷不 影响腔内电场影响腔内电场，也不影，也不影 响腔内电势响腔内电势的值。的值。 + Q （2 2） 导体空腔导体空腔内有电荷内有电荷，空腔，空腔外无电荷外无电荷 + q 空空腔内场强由腔内电荷和腔腔内场强由腔内电荷和腔 内表面感应电荷共同决定。内表面感应电荷共同决定。 空腔接地时，腔外场强为零。空腔接地时，腔外场强为零。 q q和腔内表面感应电荷在空腔外和腔内表面感应电荷在空腔外A A点产生的电点产生的电 势是多少？在导体里产生的电势是多少？势是多少？在导体里产生的电势是多少？ A 35 空空腔不接地腔不接地 q q在腔内移动到不同位置，在腔内移动到不同位置， 不影响腔外场强的分布不影响腔外场强的分布 设导体空腔的半径为设导体空腔的半径为R R（空腔厚度忽略不计），问球壳的（空腔厚度忽略不计），问球壳的 电势是多少？电势是多少？ q - q - q kq U R （3 3） 导体空腔导体空腔内有电荷，空腔外有电荷内有电荷，空腔外有电荷 + + 腔腔内腔外互不影响内腔外互不影响 静电屏蔽静电屏蔽 36 空空腔不接地腔不接地 + Q + q 腔内腔内q q从中心从中心O O处移到处移到A A点时，腔内场强分布改变，但腔点时，腔内场强分布改变，但腔 外场强分布不变。外场强分布不变。 q q和腔内感应电荷在空腔导体中和空腔外产生的电势为和腔内感应电荷在空腔导体中和空腔外产生的电势为0 0 + Q + q 在右图中，若球壳半径为在右图中，若球壳半径为R R，Q Q到球心的距离是到球心的距离是d d，则，则 球壳的电势是多少？球壳的电势是多少？ 37 -q A d -P 2 1 =-=- kq EE r q感 P P E感 - E q 1 r b 2 2 = kq EE r 感b 2 r E感b b b -q E感 -q E 【例4.12】 38 -q A d 2 2 =q= 4 kq F E d 感 E感 - E q 2d 求求- -q q所受的库仑力所受的库仑力 若切断接地线后，将若切断接地线后，将+Q+Q放在导体上放在导体上，+ +Q Q将如何分布？将如何分布？ 39 【例例4.134.13】如图所示，两个以如图所示，两个以O O为球心的同心金属球壳都接为球心的同心金属球壳都接 地，半径分别是地，半径分别是r r、R R，现在离，现在离O O为为l（rlR )的地方放一个的地方放一个 点电荷点电荷q q，问两个球壳上的感应电荷的电量各是多少？，问两个球壳上的感应电荷的电量各是多少？ O r R q l Qr QR 0 Rr kQkQkq Rrl 0 Rr qQQ ()() , ()() Rr lr RlR r QqQq rR lRr l 40 )1 (, 0 - b a d kq a kq b kq UU a kq b kq UU UUq aa ba aa ab aba 因此， 也无贡献。，其对均匀分布在球壳内表面由于 q d a q d kq a kq a a -0 0) 1 ( ，列方程：由内球电势为 【例例4.144.14】 41 R kqQ mgR R kqQ R kqQ R kqQ R kqQ mgRE 3030 7 7 ) ) 2 2/ /5 52 2/ /3 3 ( () ) 2 2 ( ( 0 0 分析与解：分析与解：(1) AB过程，过程， 设质点在设质点在A点的最小动能为点的最小动能为E0，则，则 (2) BO过程，过程， R30 kqQ7 mgR ) 2/R5 kqQ 2/R3 kqQ () R2 kqQ R kqQ (mgRE0 2 4 ( ) 9 kqQ amg R 【例例4.15】 42 kgmqQ2 R10 kqQ9 mgR5 . 2 2 4 ( ) 9 kqQ bmg R 0 (2 )()() 20.52.5 kqQkqQkqQkqQ EmgR RRRR 11 2 10 kqQ mgR R 22 44 ( ) 9 kqQkqQ cmg RR 2 4 (0.5) kqQ mg Rx 0 (2)()() 20.52.5 kqQkqQkqQkqQ EmgRx RRRxR 43 )1(v2E3 . 0E4 . 0mv2EEyqExqE 1 2 yx 2 kOkppypx 场力做功引起的。场力做功引起的。，动能的改变都是由电，动能的改变都是由电）由于洛伦兹力不做功）由于洛伦兹力不做功（ )2(v8 . 0E2 . 0E4 . 0 E6 . 1EE52. 0EE)yy(qExqE MP 2 yx kPkPkOkPkMPMypx 点只受电场力作用，则点只受电场力作用，则点到点到粒子从粒子从 2 x 2 x v4 . 2E,v2 . 3E mV60E,mV80E s/m5v,EEE yx 22 y 2 x m8 . 1sinOQy,m4 . 2cosOQx ,m3sinOMOQ OPE, 4 3 E E tanEE QQ x x 方向一致。方向一致。恰好和恰好和，夹角夹角与与 s1tt m qE 2 1 xMP2 2x p 点，由点，由点到点到）从）从（ 【考题考题】 44 2 1(2 ) (2 ) 2() Qq hR mmg hRk hR R v max (2 ) (2 )0 () Qq hR mg hRk hR R max ()mg hR R Q kq max max Q Vk R max ()mg hR V q 2 1 2 2 QqQq mghkmmgRk hRR v 45 五、电容器五、电容器 静电场的能量静电场的能量 45 孤立导体另外一个重要的性质：它的电势和它所带的电孤立导体另外一个重要的性质：它的电势和它所带的电 量成正比。量成正比。 【定义定义】 孤立导体的电容孤立导体的电容 电容器的电容电容器的电容 BA UU Q U Q C kd S C 4 平板电容器的储能平板电容器的储能 QUCUE 2 1 2 1 2 0 Q C U 2 0 11 22 U u Q Wq qCU CC 0 U u Wu q 46 【解解】设两极板的各面上电荷面密度分别是设两极板的各面上电荷面密度分别是 1212 外外外外内内内内 ， 222 ()S=Q 外外内内 111 ()S=Q 外外内内 12 0 = 2 IIII QQ EE S 12 12 2 QQ S 外外外外 【例4.16】 47 荷量。连通是导线中流过的电理解为用导线将两极板 中荷量结论：对两个极板的电Q, 21 U Q CQQ 12 12 - - 2 Q Q S 内内内内 1212 0 - 22 Q QQ Q Ud SC 0S C d 内内内内21 - 外外外外21 利用导体内场强为利用导体内场强为0，或高斯定理，或高斯定理 都可以得出都可以得出 48 【解解】(1)(1)从从1 1右到右到5 5左各板，每相邻的左右两板所带电量等量左各板，每相邻的左右两板所带电量等量 异号，异号，1 1左和左和5 5右面上的电荷等量同号，这时才能保证静电平右面上的电荷等量同号，这时才能保证静电平 衡时，导体内场强为零。因此衡时，导体内场强为零。因此 QQQ R5L1 q5 . 7Qq15Q 1 2 3 4 5 Q Qq qQ Qq3 q3Q Qq6 q6Q Qq10 q10Q Qq15 q5 . 7Q ,q5 . 2Q,q5 . 2Q ,q5 . 1Q,q5 . 1Q ,q5 . 4Q,q5 . 4Q ,q5 . 6Q,q5 . 6Q ,q5 . 7Q R5 L5R4 L4R3 L3R2 L2R1 L1 第第4 4块板两侧分别的都是正电荷，块板两侧分别的都是正电荷， 电场线分布如图所示，因此，第电场线分