高中数学余弦定理课件新人教B版必修.ppt

1.1.2余弦定理,一、余弦定理【问题思考】1.填空:,2.在ABC中,如果三边a,b,c满足a2+b2=c2-ab,你能确定该三角形的哪些元素?提示:由余弦定理可知,得C=120,因此可确定角C,且C=120.,3.做一做:在ABC中,若a=2,b+c=7,cosB=-,则b=.答案:4,一,二,三,一,二,三,二、余弦定理的应用【问题思考】1.填空:(1)利用余弦定理判断三角形的形状由余弦定理,知当边c为最大边时,如果c2=a2+b2,那么ABC为直角三角形;如果c2a2+b2,那么ABC为钝角三角形.(2)利用余弦定理可以解决有关斜三角形的问题已知三边,求三个角;已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角;已知三角形的两边和其中一边的对角解斜三角形时,也可用余弦定理,如已知a,b,A,可先用余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,求出c,此时c的个数即为三角形解的个数.,一,二,三,2.在ABC中,若三边满足a2+b2-c20,你能得出什么结论?提示:由a2+b2-c20可知cosC0,得C为锐角.但此时我们并不能说该三角形为锐角三角形,还要结合其他角来综合判断.3.做一做:在ABC中,a,b,c分别为角A,B,C所对的边,若a=2bcosC,则此三角形一定是()A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰或直角三角形解析:a=2bcosC,由余弦定理得a=2b,整理得b2=c2,b=c.此三角形一定是等腰三角形.答案:C,一,二,三,三、三角形的面积公式【问题思考】1.填空:,一,二,三,2.已知三角形的周长为12,面积为6,你能得出该三角形的内切圆半径吗?,一,二,三,思考辨析,答案:(1)(2)(3)(4)(5)(6),探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,当堂检测,余弦定理的简单应用【例1】在ABC中:,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,当堂检测,解:(1)由余弦定理,得AB2=BC2+AC2-2ACBCcosC,可得13=9+AC2+3AC,解得AC=1或AC=-4(舍去).,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,当堂检测,反思感悟1.余弦定理主要解决两类三角形问题:一类是已知三角形的三条边,求任意角;二是已知两边及其夹角,求第三边.有时在使用公式中也要结合三角形内角和为180和正弦定理综合考虑.2.对于本例中第(3)小题,根据已知条件,设出三边长,由余弦定理求出A,进而求出其余两角.另外也可先由边长关系,判断出C为直角,再求角.,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,当堂检测,若例1(2)中条件不变,如何求最小角的余弦值?,解:显然角A最小.由余弦定理得,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,当堂检测,判断三角形形状【例2】已知ABC中,(a+b+c)(a+b-c)=3ab,且2cosAsinB=sinC,试判断ABC的形状.思路分析:本题考查正、余弦定理的应用,可以利用正、余弦定理化边为角或化角为边来判断.解:解法一:(利用边的关系判断),c2=b2+c2-a2,a2=b2,a=b.(a+b+c)(a+b-c)=3ab,(a+b)2-c2=3ab.a=b,4b2-c2=3b2,b2=c2,b=c,ABC为等边三角形.,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,当堂检测,解法二:(利用角的关系判断)A+B+C=180,sinC=sin(A+B).2cosAsinB=sinC,2cosAsinB=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,sinAcosB-cosAsinB=0,sin(A-B)=0.0A180,0B180,-180A-Ba这一信息而造成的.,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,当堂检测,解析:由三角形的性质,知c-b1.,答案:C,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,当堂检测,1.在ABC中,已知三边a,b,c满足(a+b+c)(a+b-c)=3ab,则C等于()A.15B.30C.45D.60答案:D2.在ABC中,bcosA=acosB,则三角形的形状为()A.直角三角形B.锐角三角形C.等腰三角形D.等边三角形解析:已知等式中有边也有角,故可用下列两种方法来解:将边化为角,即先将a=2RsinA,b=2RsinB代入,再进行三角恒等变换即可.将角化为边,即由余弦定理将cosA,cosB的式子代入化简即可.答案:C,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,当堂检测,3.在ABC中,内角A,B,C的对边长分别为a,b,c,已知a2-c2=2b,且sinAcosC=3cosAsinC,则b=.,答案:4,探究一