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哈密顿原理作业1.如图示，质量为的复摆绕通过某点O的水平轴作微小振动，复摆对转轴的转动惯量为，质心C到悬点O的距离为，试用哈密顿原理求该复摆的运动方程及振动周期。1.解:取为广义坐标，则拉格朗日函数为： 其中取悬点为零势能点。于是哈密顿原理可得：即：而则：即：而，取任意值所以：即： 而，则:，此即为所求的运动方程。其中角频率所以振动周期。 2.试用哈密顿原理求质量为的质点在重力场中用直角坐标系表示的运动微分方程。2.解:取x,y,z为广义坐标，则：体系的动能 势能（以地面为零势能点） 拉氏函数于是哈密顿原理可得：即：而 则：而，相互独立且取任意值所以所求的运动微分方程为： 3.试用哈密顿原理求单摆的微振动方程和周期。3.解:设单摆的摆长为，摆锤质量为m，取为广义坐标，则拉格朗日函数为：其中取悬点o为零势能点。于是哈密顿原理可得： 即：而则：而，取任意值则：而，则，此即为单摆的微振动方程于是角频率所以周期。4.试用哈密顿原理求一维谐振子的微振动方程和周期。4.解:设一维谐振子的屈强系数为，质量为m，取为广义坐标，则拉格朗日函数为：其中以平衡位置为零势能点。于是哈密顿原理可得： 即：而则：而，取任意值则：
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