2017-2018学年江苏省扬州市高三(上)期中数学试卷-教师用卷.doc

2017-2018学年江苏省扬州市高三（上）期中数学试卷副标题题号一二总分得分一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1. 若集合A=2,3，B=3,4，则AB=_【答案】2,3，4【解析】解：集合A=2,3，B=3,4，则AB=2,3，4，故答案为：2,3，4由条件和并集的运算直接求出，重复的元素写一次本题考查了集合的并集运算，注意要满足元素的互异性2. 命题“xR，x2+2x+50”的否定是_【答案】x0R，x02+2x0+50【解析】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题p：“xR，x2+2x+50”的否定是：x0R，x02+2x0+50故答案为：x0R，x02+2x0+50利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题3. 已知复数z=1ii(其中i为虚数单位)，则|z|=_【答案】2【解析】解：z=1ii=i(1i)i2=1i，则|z|=2故答案为：2直接由复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的公式计算得答案本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题4. 函数y=3x1的定义域是_【答案】0,+)【解析】解：函数y=3x1的定义域满足不等式3x10，解出即可得到：x0，故答案为：0,+)列出不等式3x10，解出解集，即可得出答案本题综合考查了不等式，指数函数的性质的运用，容易题，难度不大5. 若双曲线x2a2y2b2=1(a0,b0)的虚轴长为2，一条渐近线方程为y=12x，则双曲线的方程为_【答案】x24y21=1【解析】解：根据题意，双曲线的标准方程为x2a2y2b2=1(a0,b0)，其焦点在x轴上，渐近线方程为y=bax，双曲线的虚轴长为2，则2b=2，即b=1，又由该双曲线的一条渐近线方程为y=12x，则有ba=12，解可得a=2，则双曲线的方程为：x24y21=1；故答案为：x24y21=1根据题意，由双曲线的方程分析可得其焦点位置以及渐近线方程，结合题意分析可得a、b的值，将其值代入双曲线的方程即可得答案本题考查双曲线的几何性质，注意双曲线的焦点位置以及虚轴长为2b6. 若实数x，y满足x2y+20x+y20x3，则z=4xy的最大值为_【答案】13【解析】解：实数x，y满足x2y+20x+y20x3，表示的平面区域如图所示，当直线z=4xy过点A时，目标函数取得最大值，由x+y2=0x=3解得A(3,1)，在y轴上截距最小，此时z取得最大值：13故答案为：13先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=4xy表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最小值即可本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于中档题7. 若一个扇形的圆心角为34，面积为32，则此扇形的半径为_【答案】2【解析】解：扇形的圆心角为34，面积为32，32=12r234，解得：r=2故答案为：2根据扇形的面积公式S=12r2即可求得半径本题考查了扇形面积的计算，正确理解公式是关键，属于基础题8. 若sin=35，且(0,2)，则tan2的值是_【答案】247【解析】解：sin=35，且(0,2)，则cos=1(35)2=45，tan=sincos=34，即有tan2=2tan1tan2=2341916=247故答案为：247运用同角的平方关系，求得cos，再由商数关系，求得tan，再由二倍角的正切公式，即可得到所求值本题考查二倍角的正切公式，考查同角基本关系式：平方关系和商数关系，考查运算能力，属于基础题9. 已知函数f(x)是R上的周期为4的偶函数，当x2,0时，f(x)=(12)x，则f(2017)=_【答案】2【解析】解：f(x)是定义在R上周期为4的偶函数，f(2017)=f(1)=f(1)，由当x2,0)时，f(x)=(12)x，f(1)=2，故f(2017)=2，故答案为：2由已知中f(x)是定义在R上周期为4的偶函数，可得f(2017)=f(1)=f(1)，进而得到答案本题考查的知识点是函数的周期性，函数的奇偶性，函数求值，难度不大，属于基础题10. 在ABC中，AB=3，AC=2，BAC=60，点D，E分别在边BC和AC上，且BD=23BC，AE=12AC，则ADBE=_【答案】196【解析】解：AD=AB+BD=AB+23(ACAB)=13AB+23AC，BE=BA+AE=AB+12AC，ADBE=(13AB+23AC)(AB+12AC)=13AB2+13AC212ABAC又AB2=9，AC2=4，ABAC=32cos60=3，ADBE=3+4332=196故答案为：196用AB,AC表示出AD,BE，再计算ADBE本题考查了平面向量的数量积运算，属于中档题11. 若函数f(x)=|3x1|+ax+2(xR)有最小值，则实数a的取值范围是_【答案】3,3【解析】解：f(x)=|3x1|+ax+2=(3+a)x+1,x13(a3)x+3,x13，函数f(x)有最小值的充要条件为a303+a0，即3a3，故实数a的取值范围是3,3故答案为：3,3化简函数f(x)的解析式f(x)=|3x1|+ax+3，得到f(x)有最小值的充要条件，由此求得实数a的取值范围本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，是一道中档题12. 已知A(1,4)，B(2,1)，圆C：(xa)2+(y2)2=16，若圆C上存在唯一的点P，使得PA2+2PB2=24成立，则实数a的取值集合为_【答案】1,3【解析】解：设P(x,y)，则PA2=(x+1)2+(y4)2=x2+y2+2x8y+17，PB2=(x2)2+(y1)2=x2+y24x2y+5，PA2+2PB2=24，x2+y22x4y+1=0，即(x1)2+(y2)2=4P点轨迹方程为(x1)2+(y2)2=4圆C上存在唯一的点P符合题意，两圆相切，|a1|=2，解得a=1或a=3故答案为：1,3求出P点的轨迹方程，令P的轨迹与圆C只有一个公共点列出方程得出a的值本题考查了圆与圆的位置关系，属于中档题13. 已知四边形MNPQ的四个顶点都在函数f(x)=log12ax+1x+b的图象上，且满足MN=QP，其中M(3,1)，N(53,2)，则四边形MNPQ的面积为_【答案】263【解析】解：M(3,1)，N(53,2)都在函数f(x)=log12ax+1x+b的图象上，log123a+13+b=1log1253a+153+b=2，解得a=1，b=1，f(x)=log12x+1x1=log2x1x+1=log2(12x+1)，f(x)的定义域为(,1)(1,+)，f(x)=log2x1x+1=log2x+1x1=f(x)，f(x)是奇函数，且在(1,+)上单调递增，MN=QP，四边形MNPQ是平行四边形，原点O为平行四边形MNPQ的对角线交点OM=(3,1)，ON=(53,2)，cos=OMON|OM|ON|=21610，SOMN=12OMONsin=121061313610=136四边形MNPQ的面积为4SOMN=263故答案为：263求出f(x)的解析式，根据f(x)的奇偶性与单调性可得O为平行四边形MNPQ的对角线交点，求出三角形OMN的面积即可得出平行四边形的面积本题考查了函数奇偶性与单调性的判断，平面向量的应用，属于中档题14. 若实数x，y，z满足x2+y2+z2=10xy+2z=1，则xyz的最小值为_【答案】28【解析】解：由xy+2z=1，可得xy=12z10=x2+y2+z22xy+z2=z24z+2，化为：z24z80，解得223z2+23xyz=z(12z)z=2z2+z=2(z14)2+184(124)=28，故答案为：28由xy+2z=1，可得xy=12z.由5=x2+y2+z22xy+z2=z24z+2，解得z的范围，再利用二次函数的单调性即可得出本题考查了方程与不等式的性质、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题二、解答题（本大题共6小题，共90.0分）15. 记函数f(x)=x2+2x+3的定义域为集合A，函数g(x)=x2x+1，xR的值域为集合B(1)求AB；(2)若对任意x(0,+)，不等式g(x)kx恒成立，求实数k的取值范围【答案】解：(1)f(x)=x2+2x+3的定义域为集合A，由x2+2x+30得：1x3，即A=x|1x3；又函数g(x)=x2x+1=(x12)2+34(xR)的值域为集合B，则B=x|x34.所以AB=x|34x3；(2)若对任意x(0,+)，不等式g(x)kx恒成立，即x(0,+)，x2x+1kx恒成立，等价于kx+1x1(x0)恒成立，因为当x0时，x+1x12x1x1=1(当且仅当x=1x，即x=1时取“=“)，所以实数k的取值范围为：k1【解析】(1)由x2+2x+30可得：1x3，即A=x|1x3；由g(x)=x2x+1=(x12)2+3434可得B=x|x34，从而可得AB=x|34x3；(2)x(0,+)，不等式g(x)kx恒成立x(0,+)，x2x+1kx恒成立，等价于kx+1x1(x0)恒成立，利用基本不等式可得：当x0时，x+1x12x1x1=1(当且仅当x=1x，即x=1时取“=“)，于是可得实数k的取值范围为k1本题考查函数恒成立问题，考查等价转化思想与利用基本不等式求函数的最值，属于中档题16. 已知向量a=(3,1)，b=(sinx,cosx)(xR)(1)若a/b，且x0,，求x的值；(2)记函数f(x)=ab，将函数f(x)图象上的所有点向左平移3个单位后得到函数g(x)的图象，当x0,时，求函数g(x)的值域【答案】解：向量a=(3,1)，b=(sinx,cosx)(xR)(1)a/b，3cosx=sinx，即tanx=3，x0,，x=23(2)由函数f(x)=ab，即f(x)=3sinxcosx=2sin(x6)，将f(x)图象上的所有点向左平移3个单位，可得y=2sin(x36)=2cosx函数g(x)=2cosx，x0,时，1cosx1，故函数g(x)的值域为2,2【解析】(1)根据向量平行，坐标的运算关系即可求解x的值；(2)函数f(x)=ab，求解f(x)的解析式，化简，根据三角函数的平移变换规律，求解g(x)即可求解x0,时，求函数g(x)的值域本题主要考查向量的运算和三角函数的图象和性质，平移，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键17. 已知抛物线y=14x2+32x+4与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，ABC的外接圆为M(1)求M的方程；(2)若直线l与M相交于P，Q两点，PQ=45，且直线l在x轴、y轴上的截距相等，求直线l的方程【答案】解：(1)令y=14x2+32x+4=0，解得x=2，或x=8，即A(2,0)，B(8,0)，令x=0，则y=4，即C(0,4)设ABC的外接圆M的方程为：(xa)2+(yb)2=r2，则(2a)2+(b)2=r2(8a)2+(b)2=r2(a)2+(4b)2=r2，解得：a=3b=0r=5故M的方程为(x3)2+y2=25(2)直线l与M相交于P，Q两点，PQ=45，则圆心(3,0)到直线l的距离d=25(452)2=5直线l在x轴、y轴上的截距相等，则直线l斜率为1，或经过原点；当直线l斜率为1时，设直线的方程为：x+y+M=0，由d=|3+M|2=5，解得：M=3+10，或M=310，当直线l经过原点时，设直线的方程为：Ax+y=0，由d=|3A|A2+1=5，解得：A=52，故直线l的方程为：x+y3+10=0，或x+y310=0，或5x+2y=0，或5x2y=0【解析】(1)求出A，B，C三点坐标，设ABC的外接圆M的方程为：(xa)2+(yb)2=r2，将三点代入可得M的方程；(2)由已知可得圆心(3,0)到直线l的距离d=5，若直线l在x轴、y轴上的截距相等，则直线l斜率为1，或经过原点；进而得到答案本题考查的知识点是圆方程的求法，直线与圆的位置关系，分类讨论思想，难度中档18. 如图所示，湖面上甲、乙、丙三艘船沿着同一条直线航行，某一时刻，甲船在最前面的A点处，乙船在中间B点处，丙船在最后面C点处，且BC：AB=5：1，此时一架无人机在空气的P点处对它们进行数据测量，测得APB=30，BPC=90.(船只大小、无人机大小忽略不计)(1)求此时无人机到甲、丙两船的距离之比；(2)若无人机到乙船的距离为10(单位：百米)，求此时甲、乙两船的距离【答案】解：(1)在BPC中，由正弦定理得PCsinPBC=BCsinBPC=BC，在PAB中，由正弦定理得PAsinPBA=ABsinAPB=2AB，又PBC+PBA=180，sinPBC=sinPBA，PAPC=2ABBC=25(2)PAPC=sinCsinA=25，2sin(60C)=5sinC，即3cosCsinC=5sinC，又sin2C+cos2C=1，0Cb0)的右焦点为F，直线l经过F且与椭圆交于A，B两点(1)给定椭圆的离心率为22若椭圆的右准线方程为x=2，求椭圆方程；若A点为椭圆的下顶点，求AFBF；(2)若椭圆上存在点P，使得ABP的重心是坐标原点O，求椭圆离心率e的取值范围【答案】解：(1)由题意可得ca=22a2c=2a2=b2+c2，解得a=2，b=1，椭圆方程为x22+y2=1F(c,0)，A(0,b)，直线AB的方程为y=bcxb，e=ca=22，b=c，a=2b，即直线AB方程为y=xb，联立方程组x2a2+y2b2=1y=xb，消元得x22bx=0，x=0或x=2b，B点横坐标为2b，AFBF=c2bc=1(2)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，P(x0,y0).，依题意直线l的斜率不能为0，故设直线l的方程为：x=my+c，由b2x2+a2y2=a2b2x=my+c，得(b2m2+a2)y2+2mcb2yb4=0y1+y2=2mcb2b2m2+a2，x1+x2=my1+c+my2+c=2a2cb2m2+a2要使ABP的重心是坐标原点O，则有x1+x2+x03=0y1+y2+y03=0x0=2a2cb2m2+a2y0=2mcb2b2m2+a2P(x0,y0)在b2x2+a2y2=a2b2上，得b24a4c2(b2m2+a2)2+a24m2c2b4(b2m2+a2)2=a2b2，b4m4+(2b2a24c2b2)m2+a44a2c2=0，(b2m2+a2)(b2m2+a24c2)=0，b2m2+a20，椭圆上存在点P，使得ABP的重心是坐标原点O，则方程b2m2+a24c2=0必成立a24c20，c2a214e=ca12，椭圆离心率e的取值范围为12,1)【解析】(1)由题意可得ca=22a2c=2a2=b2+c2，解得a，b即可，直线AB的方程为y=bcxb，联立方程组x2a2+y2b2=1y=xb，消元得x22bx=0，可得B点横坐标为2b，即可得AFBF=c2bc=1(2)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，P(x0,y0).，依题意直线l的斜率不能为0，故设直线l的方程为：x=my+c，由b2x2+a2y2=a2b2x=my+c，得(b2m2+a2)y2+2mcb2yb4=0y1+y2=2mcb2b2m2+a2，x1+x2=my1+c+my2+c=2a2cb2m2+a2要使ABP的重心是坐标原点O，则有x1+x2+x03=0y1+y2+y03=0得b24a4c2(b2m2+a2)2+a24m2c2b4(b2m2+a2)2=a2b2，(b2m2+a2)(b2m2+a24c2)=0，则方程b2m2+a24c2=0必成立，c2a214e=ca12即可得椭圆离心率e的取值范围本题考查了椭圆的方程、离心率的范围，考查了直线与椭圆的位置关系，考查了转化思想、计算能力，属于难题20. 已知函数f(x)=2x+lnxa(x2+x)(1)若函数f(x)在x=1处的切线与直线y=3x平行，求实数a的值；(2)若存在x(0,+)，使得不等式f(x)0成立，求实数a的取值范围；(3)当a=0时，设函数p(x)=2x+1f(x)，q(x)=x3mx+e(其中e为自然对数底数，m为参数).记函数h(x)=p(x)+q(x)+|p(x)q(x)|2，试确定函数h(x)的零点个数【答案】解：(1)函数f(x)=2x+lnxa(x2+x)的导数为f(x)=2+1xa(2x+1)，可得函数f(x)在x=1处的切线斜率为33a，由切线与直线y=3x平行，可得33a=3，解得a=2；(2)存在x(0,+)，使得不等式f(x)0成立，即为a2x+lnxx2+x的最大值，令m(x)=2x+lnxx2+x，(x0)，m(x)=(2x+1)(1xlnx)(x2+x)2，由1xlnx=0，即x+lnx=1，由于x+lnx1的导数为1+1x0，即x+ln1在x0递增，且x=1时，x+lnx1=0，则x