上海交通大学2014秋季数分I期中考试.pdf

数分 C1 共 3 张 6 页 第 1 页 题题 号号 一一 二二 三三 四四 五五 六六 七七 总总 分分 满满 分分 20 12 24 24 8 6 6 100 得得 分分 一、填空题 (每小题 4 分，共 20 分) 1. 函数f在I上不一致连续的肯定叙述是： 0,0,:( )().x xIxxf xf x . 解：原式 0 0 0 ( ) ln() () lim xx f x f x x x e = -(2) 00 0 000 ( )()() lim ()()()xx f xf xfx f xx xf x ee = -(8) 11. 2 0 tansin lim ln(1) x xx xxx + . 解：原式 2 2 00 sin (1 cos )1 limlim ln(1)2ln(1) xx xxx xxxxx = + -(4) 0 12 lim1 1 2 1 1 x x x = + -(8) 数分 C1 共 3 张 6 页 第 3 页 12. 2 3 0 1 cos( e ) 1 2 lim x x xx x + . 解：原式 22 3 3 0 () 1() ) 1 22 lim x x x xex o xe x + + = -（3） 22 3 33 33 00 (1 2( )() ) () 22 limlim1 x xx xx xo xo xe xo x xx + + = -（8） 四、计算题 (每小题 8 分，共 24 分) 13. 已知 ln sin x x y x = ，求dy. 解： sin ln ln() x x x ye= -（2） sin ln ln 2 1sincossin ( lnln) sin x x x xxxxx dyexdx xxxx =+ ln sin1sinlncossin ()( ln) sin x xxxxxx dx xxxxx =+ -（8） 14. 设(yy x=）是由方程ln( )xf yy+=确定的隐函数， 其中f二阶可导， 且1f ， 求 d d y x ， 2 2 d d y x . 解：方程两边对x求导，得 1 ( )fy yy x += 所以 1 (1( ) y xfy = -（4） 22 1( )( ) (1( ) fyxfy y y xfy = 2 23 (1( )( ) (1( ) fyfy xfy + = -（8） 15. 设 ( )ln (3 2 )(1 3 )f xxx=+ ，求 ( )(1)n f. 解：( )ln(32 )ln(1 3 )f xxx=+ -（2） 所以 ( )11 ( 2) (1)!3 (1)! ( )( 1)( 1) (32 )(1 3 ) nn nnn nn nn fx xx = + + -（6） 故 ( )1 3 (1)(1)! 2( 1)( ) 4 nnnn fn =+ -（8） 数分 C1 共 3 张 6 页 第 4 页 五、证明题(本题共 8 分) 16. 设0,1(0,1)fCDI，且(1)0f=. 证明：存在(0,1)，使得 ( )2 ( )0ff+=. 证：构造函数 2 ( )( )F xx f x= -（2） 则( )0,1,( )(0,1),(0)(1)F xCF xDFF=，所以由 Rolle 定理， (0,1) ，使( )0F=即 ( )2 ( )0ff+= -（8） 六、 判断题(本题共 6 分) 17. 判断( )lnf xxx=在(0,)+内的一致连续性，并说明理由. 结论正确 -（2） 理由：在(0,1上，由于(0,1fC且 0 limln0 x xx =存在， 故由书上习题结论知. (0,1fU C. -（5） 在1,)+上，由于 ln2 ( ) 2 x fx x + =1,)C+，且 ln2 lim0 2 x x x + + =极限存在，故 ( )fx在在1,)+上有界，所以. 1,)fU C+. 综上有. (0,)fU C+. -（8） 七、证明题(本题共 6 分) 18. 设函数 , fD a b，且 ( )( )0, , x f xfxxa b=，证明：( )f x在 , a b 中至多只有有限个零点. 证一：假设( )f x在 , a b中有无穷个零点，设其中某无穷个为 n x（其中 nm xx， 当nm） ，则由致密性定理，存在收敛子列 k n x，且设 0 lim , k n k xxa b =， 由 , fD a b知 , fC a b，所以 0 ()lim ()0 k n k f xf x =.由于 k n x中各项互不相 同，故最多只有一项等于 0 x，故当k充分大时，总有 0 k n xx，所以有 0 0 0 ()() ()lim0 k k n k n f xf x fx xx = ，故 0 , xa b使 00 ()()0f xfx=，这与 ( )( )0, , x f xfxxa b=矛盾. 证二： 由条件， 对 , xa b ， 若( )0f x =， 则( )0fx， 由导数定义知， 存在0， 数分 C1 共 3 张 6 页 第 5 页 ( , ) , o tU xa b ， 均 有( )0f t ； 若( )0f x ， 则 由 保 号 性 ，0， ( , ) , :( )0tU xa bf t .所以， , xa b ，0 x ，在( ,) x U x中，至多只 有( )f x的一个零点。由于开区间族 ( ,)