同济高等数学第六版上册第四章ppt.pdf

第四章 微分法:)?()( x F 积分法:)()?(xf 互逆运算 不定积分 目录上页下页返回结束 二、 基本积分表 三、不定积分的性质 一、 原函数与不定积分的概念 二、 基本积分表 三、不定积分的性质 一、 原函数与不定积分的概念 第一节 不定积分的概念与性质 第四四章 目录上页下页返回结束 问题问题: 1. 在什么条件下, 一个函数的原函数存在 ? 2. 若原函数存在, 它如何表示 ? 定理定理1.,)(上连续在区间若函数Ixf上在则Ixf)( 存在原函数 . (下章证明下章证明) 初等函数在定义区间上连续 初等函数在定义区间上有原函数初等函数在定义区间上有原函数 目录上页下页返回结束 ,)()(的一个原函数是若xfxF定理定理 2. 的所有则)(xf 原函数都在函数族 CxF)( C 为任意常数 ) 内 . 证证: 1) 的原函数是)()(xfCxF )(CxF)(xF)(xf ，的任一原函数是设)()()2xfx )()(xfx 又知 )()(xfxF )()(xFx)()(xFx0)()(xfxf 故 0 )()(CxFx)( 0 为某个常数C 它属于函数族.)(CxF 即 目录上页下页返回结束 定义定义 2. )(xf在区间 I 上的原函数全体称为Ixf在)( 上的不定积分,d)(xxf 其中 积分号积分号;)(xf 被积函数被积函数; xxfd )( 被积表达式被积表达式. x 积分变量积分变量; (P185) 若, )()(xfxF则 CxFxxf )(d )( C 为任意常数 ) C 称为积分常数积分常数, 不可丢不可丢 ! 例如, x x deC x e xx d 2 Cx 3 3 1 xxdsinCxcos 记作 目录上页下页返回结束 不定积分的几何意义不定积分的几何意义: )(xf的原函数的图形称为)(xf xxfd)( 的图形的所有积分曲线组成)(xf 的平行曲线族. y xO 0 x 的积分曲线积分曲线 . 目录上页下页返回结束 例例1. 设曲线通过点(1, 2), 且其上任一点处的切线 斜率等于该点横坐标的两倍, 求此曲线的方程. 解解: xy2 xxyd2 Cx 2 所求曲线过点 (1, 2) , 故有 C 2 12 1 C 因此所求曲线为1 2 xy y x )2 , 1 ( O 目录上页下页返回结束 xd d ) 1 ( xxfd )()(xf 二、 基本积分表二、 基本积分表(P188) 从不定积分定义可知: d xxfd )(xxfd)(或 Cx d)2()(xF)(xF或C d)(xF)(xF 利用逆向思维利用逆向思维 xkd) 1 ( k 为常数)Cxk xx d)2( Cx 1 1 1 x xd )3(Cx ln 时0x ) 1( )ln()ln(xx x 1 目录上页下页返回结束 2 1 d )4( x x Cxarctan xxdcos)6(Cxsin x x 2 cos d )8( xxdsec2Cxtan 或Cxcotarc 2 1 d )5( x x Cxarcsin或Cxcosarc xxdsin)7(Cxcos x x 2 sin d )9( xxdcsc2Cxcot 目录上页下页返回结束 xxxdtansec)10(Cxsec xxxdcotcsc)11(Cx csc x xd e)12(C x e xa x d)13(C a a x ln 目录上页下页返回结束 例例2. 求求 . d 3 xx x 解解: 原式 =xxd 3 4 1 3 4 Cx 3 1 3 例例3. 求.dcossin 22 x xx 解解: 原式= xxdsin 2 1 Cxcos 2 1 1 3 4 x C 目录上页下页返回结束 三、不定积分的性质三、不定积分的性质 xxfkd)(. 1 xxgxfd)()(. 2 推论推论: 若 , )()( 1 xfkxf i n i i 则 xxfkxxf i n i i d )(d )( 1 xxfkd )( xxgxxfd)(d)( )0(k 目录上页下页返回结束 例例4. 求.d)5(e2x xx 解解: 原式x xx d 25e)2( e)2ln( e)2( x 2ln 2 5 x C x x 2ln 5 12ln e 2 C 目录上页下页返回结束 例例5. 求求.dtan 2 xx 解解: 原式 = xxd) 1(sec2 xxxddsec 2 Cxx tan 例例6. 求.d )1 ( 1 2 2 x xx xx 解解: 原式 = x xx xx d )1 ( )1 ( 2 2 x x d 1 1 2 x x d 1 xarctanCx ln 目录上页下页返回结束 例例7. 求求.d 1 2 4 x x x 解解: 原式 =x x x d 1 1) 1( 2 4 x x xx d 1 1) 1)(1( 2 22 2 2 1 d d) 1( x x xx Cxxxarctan 3 1 3 目录上页下页返回结束 内容小结内容小结 1. 不定积分的概念 原函数与不定积分的定义 不定积分的性质 基本积分表(见P188) 2. 直接积分法: 利用恒等变形恒等变形, 及 基本积分公式基本积分公式进行积分 . 常用恒等变形方法 分项积分 加项减项 利用三角公式 , 代数公式 , 积分性质积分性质 目录上页下页返回结束 思考与练习思考与练习 1. 证明 x x xx 1 arctan2)21arccos(),12arcsin(和 . 1 2 的原函数都是 xx 2. 若则的原函数是,)(exf x d)(ln 2 xxfx (P193题7) 提示提示: x e)(e)( x xf xln e )(lnxf x 1 Cx 2 2 1 目录上页下页返回结束 3. 若)(xf是 x e的原函数 , 则 x x xf d )(ln 提示提示: 已知 x xf e)( 0 e)(Cxf x 0 1 )(lnC x xf x C x x xf 0 2 1)(ln CxC x ln 1 0 目录上页下页返回结束 4. 若)(xf ;sin1)(xA;sin1)(xB 的导函数为,sin x则)(xf的一个原函数 是 ( ) . ;cos1)(xC.cos1)(xD 提示提示: 已知xxfsin)( 求 即 B )()(xf xsin)( ? ? 或由题意,cos)( 1 Cxxf其原函数为 xxfd)( 21 sinCxCx 目录上页下页返回结束 5. 求下列积分: . cossin d )2(; )1 ( d ) 1 ( 2222 xx x xx x 提示提示: )1 ( 1 )1 ( 1 ) 1 ( 2222 xxxx xxxx 2222 cossincossin 1 )2( xx 22 cscsec xx 22 cossin 22 1 11 xx )( 2 x 2 x 目录上页下页返回结束 6. 求不定积分 解：解： .d 1e 1e3 x x x x x x d 1e 1e3 x x x d 1e ) 1(e) 1e(e 2 xx x xx d) 1ee( 2 Cx xx ee 2 1 2 目录上页下页返回结束 7. 已知已知 2 2 2 2 1 d 1d 1x x BxxAx x x 求 A , B . 解解: 等式两边对 x 求导, 得 2 2 1x x 2 2 2 1 1 x xA xA 2 1x B 2 2 1 2)( x xABA 12 0 A BA 2 1 2 1 B A 目录上页下页返回结束 二、第二类换元法二、第二类换元法 第二节 一、第一类换元法一、第一类换元法 换元积分法 第四四章 目录上页下页返回结束 第二类换元法 第一类换元法 第二类换元法 第一类换元法 xxxfd)()( uufd)( 基本思路基本思路 设, )()(ufuF)(xu 可导, xxxfd)()(CxF)( )( d)( xu uuf )( )( xu CuF )(dxFxxxfd )()( 则有 目录上页下页返回结束 一、第一类换元法一、第一类换元法 定理定理1.,)(有原函数设uf,)(可导xu则有换元 公式 xxxfd)()( uufd)( )(xu )(d)(xxf (也称配元法配元法 即 xxxfd)()( , 凑微分法凑微分法) 目录上页下页返回结束 例例1. 求).1(d)( mxbxa m 解解: 令,bxau则,ddxau 故 原式原式 = m uu a d 1 a 1 Cu m m 1 1 1 1 )( ) 1( 1 m bxa ma C 注注: 当1m时 bxa xd Cbxa a ln 1 注意换回原变量 目录上页下页返回结束 22 1d 1( ) x a x a 例例2. 求 . d 22 xa x 解解: 22 d xa x , a x u 令则 x a ud 1 d 2 1u ud a 1 Cu a arctan 1 C a x a )arctan( 1 想到公式 2 1 d u u Cuarctan ( ) x a 目录上页下页返回结束 例例3. 求 ).0( d 22 a xa x 2 1 d u u 想到 Cuarcsin 解解: 2 d 1 ( ) x a x a )(d)(xxf(直接配元) xxxfd)()( 2 d( ) 1 ( ) x a x a C a x arcsin 22 d xa x 目录上页下页返回结束 例例4. 求.dtan xx 解解: x x x d cos sin x x cos cosd Cxcosln ?dcot xx x xx sin dcos Cxsinln x x sin sind xxdtan 类似 目录上页下页返回结束 C ax ax a ln 2 1 例例5. 求. d 22 ax x 解解: 22 1 ax )(axax )()(axax a2 1 ) 11 ( 2 1 axaxa 原式 原式 = a2 1 ax x ax xdd a2 1 ax ax)(d a2 1 axlnaxlnC ax ax)( d 目录上页下页返回结束 常用的几种配元形式常用的几种配元形式: 1)()df axbx ()f axb )(dbxa a 1 1 2)()d nn f xxx )( n xf n xd n 1 1 3)()d n f xx x )( n xf n xd n 1 n x 1 万 能 凑 幂 法 4)(sin )cos dfxx x )(sinxfxsind 5)(cos )sin dfxx x )(cosxfxcosd 目录上页下页返回结束 xxxfdsec)(tan)6 2 )(tanxfxtand xf xx de )(e)7 )(e x f x ed x x xfd 1 )(ln)8 )(lnxfxlnd 例例6. 求 . )ln21 ( d xx x xln21 xlnd 解解: 原式 = xln212 1 )ln21 (dx Cxln21ln 2 1 目录上页下页返回结束 例例7. 求.d e3 x x x 解解: 原式 =x x de2 3 )3d(e 3 2 3 x x C x 3 e 3 2 例例8. 求.dsec6xx 解解: 原式 =xdxx 222 sec) 1(tan xtand xxxtand) 1tan2(tan 24 x 5 tan 5 1 x 3 tan 3 2 xtanC 目录上页下页返回结束 例例9. 求. e1 d x x 解法解法1 x x e1 d x x xx d e1 e)e1 ( xd x x e1 )e1 (d xC x )e1ln( 解法解法2 x x e1 d x x x d e1 e x x e1 )e1 (d C x )e1ln( )1(elne)e1ln( xxx 两法结果一样两法结果一样 目录上页下页返回结束 x xx sind sin1 1 sin1 1 2 1 例例10. 求.dsec xx 解法解法1 xxdsec x x x d cos cos 2 x x 2 sin1 sind xsin1ln 2 1 Cxsin1ln C x x sin1 sin1 ln 2 1 目录上页下页返回结束 xxtansec 解法解法 2 xxdsec x x d sec xxtansec )tan(secxx x xx xxx d tansec tansecsec2 )tan(secdxx Cxxtansecln 同样可证 xxdcscCxxcotcscln 或 xxdcscC x 2 tanln(P199 例18 ) 目录上页下页返回结束 2 22 d )( 2 1 2 3 x ax 例例11. 求 .d )( 2 3 22 3 x ax x 解解: 原式 = 2 3 )( 22 ax 22 dxx 2 1 222 )(aax 2 1 )( 2 1 22 ax)(d 22 ax 2 3 )( 2 22 2 ax a )(d 22 ax 22 ax 22 2 ax a C 目录上页下页返回结束 )2cos2cos21 ( 2 4 1 xx 例例12 . 求.dcos 4 xx 解解: 224 )(coscosxx 2 ) 2 2cos1 ( x )2cos21 ( 2 4cos1 4 1x x )4cos2cos2( 2 1 2 3 4 1 xx xxdcos 4 xxxd)4cos2cos2( 2 1 2 3 4 1 4 1 xd 2 3 )2d(2cosxx )4(d4cos 8 1 xx x 8 3 x2sin 4 1 x4sin 32 1 C 目录上页下页返回结束 例例13. 求.d3cossin 22 xxx 解解:xx3cossin 22 2 2 1 )2sin4(sinxx xxxx2sin2sin4sin24sin 2 4 1 4 1 2 4 1 )8cos1 ( 8 1 x xx2cos2sin 2 )4cos1 ( 8 1 x 原式 = xd 4 1 )8d(8cos 64 1 xx )2(sind2sin 2 2 1 xx )4d(4cos 32 1 xx x 4 1 x8sin 64 1 x2sin 3 6 1 x4sin 32 1 C 目录上页下页返回结束 xx xxe1 1 e 1 xxx xx dedexx xd e) 1( 例例14. 求.d )e1 ( 1 x xx x x 解解: 原式 = x xx x x d )e1 ( ) 1( x e x e )e1 (e 1 xx xx )e(d) e1 1 e 1 ( x xx x xx )e1 (e ee1 xx xx xx xx )e(d x x x xeln x xe1lnC Cxxx x e1lnln 分析分析: 目录上页下页返回结束 例例15. 求.d )( )()( )( )( 3 2 x xf xfxf xf xf 解解: 原式原式 )( )( xf xf x xf xfxf xf xf d )( )()( 1 )( )( 2 x xf xfxfxf d )( )()()( 2 2 C xf xf 2 )( )( 2 1 ) )( )( d( xf xf )( )( xf xf 目录上页下页返回结束 小结小结常用简化技巧: (1) 分项积分: (2) 降低幂次: (3) 统一函数: 利用三角公式 ; 配元方法 (4) 巧妙换元或配元 等xx 22 cossin1 ; )2cos1 (sin 2 1 2 xx; )2cos1 (cos 2 1 2 xx 万能凑幂法 xxxf nn d)( 1nn n xxfd)( 1 x x xf n d 1 )( n x n n xxf n d)( 11 利用积化和差; 分式分项; 利用倍角公式 , 如 目录上页下页返回结束 思考与练习思考与练习1. 下列各题求积方法有何不同? x x 4 d ) 1 ( 2 4 d )2( x x x x x d 4 )3( 2 x x x d 4 )4( 2 2 2 4 d )5( x x 2 4 d )6( xx x x x 4 )4(d 2 2 2 2 1 )(1 )d( x x 2 2 2 1 4 )4(d x x x x d 4 4 1 2 4 1 xx 2 1 2 1 xd 2 )2(4x )2(dx 目录上页下页返回结束 x xx d ) 1( 1 10 2. 求 . ) 1( d 10 xx x 提示提示: 法法1 法法2 法法3 ) 1( d 10 xx x 10 )x ) 1( d 10 xx x ) 1( 1010 xx ) 1( d 10 xx x )1 ( d 1011 xx x 10 1x 10 d x 10 1 10 (x 10 d x 10 1 作业 目录上页下页返回结束 二、第二类换元法二、第二类换元法 第一类换元法解决的问题 难求 易求 xxxfd )()( uufd )( )(xu 若所求积分 xxxfd )()( 易求, 则得第二类换元积分法 . 难求， uufd )( 目录上页下页返回结束 CxF)( )()()(ttft 定理定理2 . 设)(tx是单调可导函数 , 且,0)( t )()(ttf具有原函数 , )( 1 d)()(d)( xt tttfxxf .)()( 1 的反函数是其中txxt 证证:的原函数为设)()(ttf, )(t令 )()( 1 xxF 则)(xF td d x t d d )()(ttf )( 1 t )(xf xxfd)( Cx )( 1 Ct )( 1 xt )( 1 d)()( xt tttf 则有换元公式 目录上页下页返回结束 例例16. 求. )0(d 22 axxa 解解: 令, ),(,sin 2 2 ttax 则 taaxa 22222 sintacos ttaxdcosd 原式 tacos ttadcosttadcos 22 Ca 2 4 2sin 2 tt a x 22 xa t a x arcsinCxax 22 2 1 2 2 a tttcossin22sin2 a x 22 ax a 2 1cos2 d 2 t at 目录上页下页返回结束 例例17. 求. )0( d 22 a ax x 解解: 令, ),(,tan 2 2 ttax 则 22222 tanataax tasec ttaxdsecd 2 原式 ta 2 sec tasec tdttdsec 1 tanseclnCtt a x 22 ax t ln 22 ax a )ln( 1 aCCCaxx 22 ln x a 1 C 目录上页下页返回结束 例例18. 求 . )0( d 22 a ax x 解解:,时当ax 令, ),0(,sec 2 ttax则 22222 secataaxtatan xdtttadtansec 原式t d ttatansec tatan ttdsec 1 tanseclnCtt a x22 ax t 1 lnC Caxx 22 ln)ln( 1 aCC 22 ax a x a 目录上页下页返回结束 ,时当ax令,ux,au则于是 22 d ax x 22 d au u Caxx 22 ln 22 d ax x ，时ax 1 22 lnCauu 1 22 lnCaxx 1 22 2 lnC axx a )ln2( 1 aCCCaxx 22 ln 目录上页下页返回结束 说明说明: 1. 被积函数含有时，或 2222 axax 除采用三角 1shch 22 tt采用双曲代换 taxsh 消去根式 , 所得结果一致 . ( 参考 P204 P205 ) taxch 或 代换外, 还可利用公式 2 ee sh xx x Cxch xxdch)15(Cxsh xxdsh)14( 2 ee ch xx x 2. 再补充两个常用双曲函数积分公式 目录上页下页返回结束 原式 2 1 ) 1( 22t a 2 2 1 a 例例19. 求.d 4 22 x x xa 解解: 令, 1 t x 则tx t dd 2 1 原式 t t d 1 2 tttad) 1( 2 1 22 ,0时当x 4 2 1 1 2 t t a C a ta 2 22 3 ) 1( 2 3 当 x 0 时, 类似可得同样结果 . C xa xa 32 22 3 )( 2 3 ) 1(d 22 ta 目录上页下页返回结束 小结小结: 1. 第二类换元法常见类型第二类换元法常见类型: ,d),() 1 xbaxxf n 令 n bxat ,d),()2 xxf n dxc bxa 令 n dxc bxa t ,d),()3 22 xxaxf令 taxsin或taxcos ,d),()4 22 xxaxf令taxtan或taxsh ,d),()5 22 xaxxf令taxsec 或taxch 第四节讲 目录上页下页返回结束 xxdtan)16( xxdcot)17( xxdsec)18( xxdcsc)19( Cx cosln Cx sinln Cxx tansecln Cxxcotcscln 2. 常用基本积分公式的补充(P205 P206) 7) 分母中因子次数较高时, 可试用倒代换倒代换 ,d)()6 xaf x 令 x at 目录上页下页返回结束 x xa d 1 )20( 22 x xa d 1 )22( 22 x ax d 1 )23( 22 x ax d 1 )21( 22 C a x a arctan 1 C ax ax a ln 2 1 C a x arcsin Caxx)ln( 22 x ax d 1 )24( 22 Caxx 22 ln 目录上页下页返回结束 . 32 d 2 xx x 解解: 原式x x d 2) 1( 1 2 2 )2( ) 1( dx 2 1 arctan 2 1x C(P206 公式 (20) ) 例例20. 求 例例21. 求. 94 d 2 x x I 解解: 22 3)2( )2(d 2 1 x x ICxx942ln 2 1 2 (P206 公式 (23) ) 目录上页下页返回结束 例例22. 求 . 1 d 2 xx x 解解: 原式 = 22 )()( )(d 2 1 x (P206 公式 (22) ) 2 5 2 1 x C x 5 12 arcsin 例例23. 求 . 1e d 2 x x 解解: 原式 x x 2 e1 ed C x arcsine (P206 公式 (22) ) 目录上页下页返回结束 例例24. 求. d 222 axx x 解解: 令 1 , t x 得 原式t ta t d 1 22 1 ) 1(d 2 1 22 22 2 ta ta a Cta a 1 1 22 2 C xa ax 2 22 目录上页下页返回结束 t t t t d) 1 ( 1 2 1 3 2 例例25. 求 . 2) 1( d 23 xxx x 解解: 原式 1) 1() 1( d 23 xx x 令 t x 1 1 t t t d 1 2 2 t t t d 1 1)1 ( 2 2 tt d1 2 t t d 1 1 2 例例16 tttarcsin1 2 1 2 2 1 Ctarcsin C x x xx 1 1 2 1 ) 1( 2 2 1 arcsin 2 2 例16 目录上页下页返回结束 思考与练习思考与练习 1. 下列积分应如何换元才使积分简便 ? x x x d 1 ) 1 ( 2 5 x x e1 d )2( )2( d )3( 7 xx x 令 2 1xt令 x te1 令 x t 1 目录上页下页返回结束 2. 已知,1d)( 25 Cxxxfx 求 .d)(xxf 解解: 两边求导, 得)( 5 xfx, 1 2 x x 则 1 d d)( 24 xx x xxf) 1 ( x t 令 2 3 1 d t tt 2 2 2 d 1 2 1 t t t 1(1) )1 (d)1 ( 2 1 22 2 1 tt )1 (d)1 ( 2 1 22 2 1 tt 2 3 )1 ( 3 1 2 t Ct 2 1 )1 ( 2 (代回原变量代回原变量) 目录上页下页返回结束 x x xd 1 1 ) 1 3 2 备用题备用题 1. 求下列积分: ) 1(d 1 1 3 1 3 3 x x Cx1 3 2 3 x xx x d 21 32 )2 2 x xx d 21 2 5)22(x 2 2 21 )21d( xx xx 5 2 ) 1(2 x ) 1d( x 2 212xxC x 2 1 arcsin5 目录上页下页返回结束 2. 求不定积分 解：解： .d sin2 sin1cossin2 2 2 x x xxx 利用凑微分法 , x x 2 2 sin2 sin1 原式 =)sin1 (d 2 x 令xt 2 sin1 t t t d 1 2 2 2 t t d) 1 1 1 (2 2 t 2Ct arctan2 Cxx 22 sin1arctansin12 得 目录上页下页返回结束 分子分母同除以 3. 求不定积分 解解: .d 1)1 ( 1 22 x xx 令,sintx ,sin11 22 txttxdcosd 原式 t tt t d cos)sin1 ( cos 2 t t d sin1 1 2 t 2 cos t t tand tan21 1 2 t t tand )tan2(1 1 2 2 2 1 Ct )tan2arctan( 2 1 C x x 2 1 2 arctan 2 1 t tt t d tansec sec 22 2 目录上页下页返回结束 第三节 由导数公式vuvuuv ) ( 积分得:xvuxvuuvdd 分部积分公式分部积分公式 xvuuvxvudd 或uvvuvudd 1) v 容易求得 ; xvuxvudd)2 比容易计算 . :)d(的原则或及选取vvu 分部积分法 第四四章 目录上页下页返回结束 例例1. 求 .dcosxxx 解解: 令 ,xu ,cosxv 则, 1 u xvsin 原式 xxsin xxdsin Cxxxcossin 思考思考: 如何求 ?dsin 2 xxx 提示提示: 令, 2 xu ,sin xv 则 原式xx cos 2 xxxdcos2 目录上页下页返回结束 例例2. 求 .dlnxxx 解解: 令 ,lnxu xv 则 , 1 x u 2 2 1 xv 原式 =xx ln 2 1 2 xxd 2 1 Cxxx 22 4 1 ln 2 1 目录上页下页返回结束 例例3. 求 .darctanxxx 解解: 令,arctanxuxv 则, 1 1 2 x u 2 2 1 xv 原式xx arctan 2 1 2 x x x d 1 2 1 2 2 xx arctan 2 1 2 x x d) 1 1 1 ( 2 1 2 xx arctan 2 1 2 Cxx)arctan( 2 1 目录上页下页返回结束 例例4. 求.dsinexx x 解解: 令,sin xu x ve, 则 ,cosxu x ve 原式 x x sine xx x dcose 再令,cosxu x ve, 则 ,sin xu x ve x x sine xxx xx dsinecose 故原式 = Cxx x )cos(sine 2 1 说明说明: 也可设vu x ,e为三角函数 , 但两次所设类型 必须一致 . 目录上页下页返回结束 解题技巧解题技巧:的一般方法及选取vu 把被积函数视为两个函数之积 , 按 “ 反对幂指三反对幂指三” 的 顺序, 前者为后者为u.v 例例5. 求.darccosxx 解解: 令 ,arccosxu 1 v , 则 , 2 1 1 x u xv 原式 = xxarccos x x x d 2 1 xxarccos)1d()1 ( 22 2 1 2 1 xx xxarccosCx 2 1 反: 反三角函数 对: 对数函数 幂: 幂函数 指: 指数函数 三: 三角函数 目录上页下页返回结束 例例6. 求.d cos cosln 2 x x x 解解: 令 ,coslnxu x v 2 cos 1 , 则 ,tanxuxvtan 原式 = xxcoslntan xxdtan 2 xxcoslntan xxd) 1(sec2 xxcoslntanCxx tan 目录上页下页返回结束 例例7. 求 .dex x 解解: 令, tx则, 2 tx ttxd2d 原式tt t de2 t te2 Cx x )1(e2 , tu t ve )e t C 令 t te(2 t t de 目录上页下页返回结束 例例8. 求 . )0(d 22 axax 解解: 令, 22 axu, 1 v 则 , 22 ax x u xv 22 axx x ax x d 22 2 22 axx x ax aax d 22 222 )( 22 axx xaxd 22 22 d2 ax x a 原式 = 22 2 1 axxCaxx a )(ln 2 22 2 xaxd 22 目录上页下页返回结束 例例9. 求. )( d 22 n n ax x I 解解: 令, )( 1 22n ax u , 1 v 则, )( 2 122 n ax xn uxv n Ix ax x n n d )( 2 122 2 n ax x )( 22 x ax n n d )( 2 122 n ax x )( 22 n In2 1 2 2 n Ian 得递推公式 n n n I an n ax x an I 2222 1 2 12 )(2 1 222 )(aax n ax x )( 22 目录上页下页返回结束 说明说明: 递推公式 n n ax x I )( d 22 已知C a x a Iarctan 1 1 利用递推公式可求得. n I 例如, 3 I 2222 )(4 1 ax x a 2 2 4 3 I a 2222 )(4 1 ax x a 2 4 3 a 222 2 1 ax x a 1 2 2 1 I a 2222 )(4 1 ax x a 224 8 3 ax x a C a x a arctan 8 3 5 n n n I an n ax x an I 2222 1 2 12 )(2 1 目录上页下页返回结束 例例10. 设 ,dsecxxI n n 证证: 证明递推公式: )2( 1 2 tansec 1 1 2 2 nI n n xx n I n n n xI n n 2 sec x n2 sec xxxn n tansecsec)2( 3 xxdtan xx n tansec 2 xxxn n d) 1(secsec)2( 22 xx n tansec 2 n In)2( 2 )2( n In xxdsec2 xtan )2( 1 2 tansec 1 1 2 2 nI n n xx n I n n n 目录上页下页返回结束 说明说明: 分部积分题目的类型: 1) 直接分部化简积分 ; 2) 分部产生循环式 , 由此解出积分式 ; (注意: 两次分部选择的 u , v 函数类型不变 , 解出积分后加 C )例例4 3) 对含自然数 n 的积分, 通过分部积分建立递 推公式 . 例4 目录上页下页返回结束 例例11. 已知)(xf的一个原函数是 , cos x x 求.d)(xxf x 解解:xxfxd)( )(dxfx )(xfxxxfd)( x x xcos C x x cos xsinC x x cos 2 说明说明: 此题若先求出 )(x f 再求积分反而复杂. xxfxd)(x x x x x xd cos2sin2 cos 2 2 x xxsinxcos 目录上页下页返回结束 例例12. 求.d xI 2 3 )1 ( 2 x 解法解法1 先换元后分部 令,arctanxt 即,tantx 则 t I t 3 sec e ttdsec2tt t dcose t t sinett t dsine t t sinett t dcose t t cose 故CttI t e)cos(sin 2 1 2 1 xarctan e t x 1 2 1x 2 1x x 2 1 1 x C x arctan e 目录上页下页返回结束 xI x d earctan 2 3 )1 ( 2 x x x I arctan 2 ed 1 1 xx x x x arctan 2 arctan 2 ed 1 e 1 1 )1 (e 1 1 arctan 2 x x x I C x x I x arctan 2 e 12 1 解法解法2 直接用分部积分法 x x arctan 2 e 1 1 xd 2 3 )1 ( 2 x x x arctan e 目录上页下页返回结束 v u 内容小结内容小结 分部积分公式xvuvuxvudd 1. 使用原则:xvuvd 易求出,易积分 2. 使用经验: “反对幂指三反对幂指三” , 前u后 v 3. 题目类型: 分部化简; 循环解出;递推公式 4. 计算格式: v u 目录上页下页返回结束 例例13. 求 xxId)ln(sin 解解: 令,lnxt 则txx tt ded,e ttI t dsine t t e sin t t e cos ttt tt dcosesine tsin t e Itt t )cos(sine CttI t )cos(sine 2 1 Cxxx)cos(ln)sin(ln 2 1 可用表格法求 多次分部积分 目录上页下页返回结束 uxx uu ded,e 例例14. 求 .d)(ln 43 xxx 解解: 令 则 原式原式 ,lnxu u3 e 4 uu u deuu u de 44 4 u u4 e 3 4u 2 12uu24 240 u4 4 1 e u4 4 1 e 2 u4 4 1 e 3 u4 4 1 e 4 u4 4 1 e 5 原式原式= u4 e 4 1 4 u 3 u 2 4 3 uu 8 3 32 3 C Cxxxxx 32 3 ln 8 3 ln 4 3 lnln 4 1 2344 目录上页下页返回结束 思考与练习思考与练习 1.下述运算错在哪里? 应如何改正? x x x d sin cos xx xx x dsin) sin 1 ( sin sin xx x x dsin sin cos 1 2 x x x d sin cos 1 , 1d sin cos d sin cos x x x x x x 得0 = 1 答答: 不定积分是原函数族, 相减不应为0 . 求此积分的正确作法是用换元法. x x sin sind Cx sinl