数列的函数特性教学案

1 / 19 数列的函数特性教学案 本资料为 WoRD 文档，请点击下载地址下载全文下载地址 第 2 课时 数列的函数特性 知能目标解读 1.熟练掌握数列与函数之间的关系，了解数列是一种特殊的函数的含义 . 2.能够用函数的观点、方法研究数列的增减性、最值、图像等问题 . 3.能够通过探求数列的增减性或画出数列的图像来求数列中的最大项或最小项 . 重点难点点拨 重点： 1.了解数列是一种特殊的函数的含义 . 2.能够用函数的观点、方法研究数列的增减性、最值、图像等问题 . 难点：用函数的观点、方法研究数列的增减性、 最值、图像等问题 . 学习方法指导 1.数列的概念与函数概念的联系 (1)数列是一种特殊的函数，特殊在定义域是正整数集或是它的有限子集 1,2,3,n ，它是一种自变量 “ 等距离 ” 地离散取值的函数 . (2)数列与函数不能画等号，数列是相应函数的一系列函数2 / 19 值 . (3)利用函数与数列的关系，可以从函数的观点研究数列的表示方法及有关性质 . 2.数列的表示方法 (1)数列的图像是无限个或有限个离散的孤立的点 . (2)若数列是以解析式的形式给出的，则数列的图像是相应函数图像上的一系列孤立的点 . (3)数列是一类离散函数，它是刻画离散过程的重要数学模型，有很广泛的应用 . (4)列表法不必通过计算就能知道两个变量间的对应关系，比较直观，但是它只能表示有限个元素间的对应关系 . 3.数列的单调性 （ 1）递增数列：一般地，一个数列 an，如果从第 2 项起，每一项都大于它前面的一项，即 an+1an(nN+) ，那么这个数列叫做递增数列 . （ 2）递减数列：一般地，一个数列 an，如果从第 2 项起，每一项都小于它前面的项，即 an+10还是 anan 递增 (3)an+10)上的无穷多个孤立的点 . 变式应用 1 已知数列 an的通项公式为 an=2n-1,作出该数列的图像 . 解析 分别取 n=1,2,3, 得到点（ 1,1） ,(2,3),(3,5),描点作出图像 .如图，它的图像是直线 y=2x-1 上的一些等间隔的点 . 命题方向 数列单调性的判断 例 2 已知函数 f(x)=2x-2-x，数列 an满足f(log2an)=-2n. (1)求数列 an的通项公式； （ 2）求证数列 an是递减数列 . 分析 （ 1）已知函数关系式，由条件可得出2log2an-2-log2an=-2n,解这个关于 an的方程即可；（ 2）只需证明 an+1-an1(an0)即可 . 解析 （ 1） f(x)=2x -2-x,f(log2an)=-2n, 2log2an -2-log2an=-2n,an-=-2n, 7 / 19 an2+2nan -1=0,解得 an=-n. an0,an= -n. （ 2） = =0,则数列 an是递增数列；若an+1-an1,则数列 an是递增数列；若 0, an+1an, 该数列为递减数列 . 命题方向 数列中最大项与最小项的求法 例 3 求数列 -2n2+9n+3中的最大项 . 分析 由通项公式可以看出 an与 n 构成二次函数关系，求二次函数的最值可采用配方法 .此时应注意自变量 n 为正整数 . 8 / 19 解析 由已知 an=-2n2+9n+3=-2(n-)2+. 由于 n 为正整数 ,故当 n=2时 ,an取得最大值为 13. 所以数列 -2n2+9n+3的最大值为 a2=13. 说明 数列的项与项数之间构成特殊的函数关系 ,因此有关数列的最大项与最小项问题可用函数最值的求法去解决 ,但要注意函数的定义域为正整数集这一约束条件 . 变式应用 3 已知数列 an的通项公式为 an=n2-5n+4. (1)数列中有多少项是负数？ （ 2） n 为何值时， an有最小值？并求出最小值 . 解析 （ 1）由 n2-5n+40,解得 1n0,即 230-1000 时， ，得 n 因此，当 2n19 时， cn-1cn, 于是当 n20 时， cncn-1. 所以 c19=a19-b19827( 元 ). 即在 A 公司工作比在 B 公司工作的月工资收入最多可以多827元 . 说明 数列是一种特殊的函数，定义域为正整数集 N+（或它的有限子集 1,2,3,n ）的函数，数列的通项公式就是相 应的函数解析式，因此，用函数的观点去考察数列问题也是一种有效的途径 . 变式应用 4 某企业由于受 XX年国家财政紧缩政策的影响，预测 XX年的月产值（万元）组成数列 an，满足 an=2n2-15n+3,10 / 19 问第几个月的产值最少，最少是多少万元？ 解析 由题意知，实质是求数列 an的最小项 . 由于 an=2n2-15n+3=2（ n-） 2-， 图像如图所示，由图像知 n=4时， a4最小， a4=-25，即第 4个月产值最少，最少为 -25万元 . 名师辨误做答 例 5 已知 an=a（） n(a 0 且 a 为常数 )，试判断数列 an的单调性 . 误解 an -an-1=a（） n-a（） n-1=-a（） n0,其实对非零实数 a 应分 a0和 a0时， an-an-10,anan -1, 数列 an是递减数列 . 当 a0,anan -1, 数列 an是递增数列 . 课堂巩固训练 一、选择题 1.已知数列 an ,a1=1,an-an-1 n-1(n2) ，则 a6=（ ） 11 / 19 答案 c 解析 a1=1,an -an-1=n-1(n2) ， a2 -a1=1,a2=a1+1=2, a3 -a2=2,a3=a2+2=4, a4-a3=3, a4=a3+3=7, a5-a4=4, a5=a4+4=11, a6-a5=5, a6=a5+5=16. 2.(XX济南高二检测 )数列 an中， an=-n2+11n,则此数列最大项的值是（ ） A. 答案 B 解析 an=-n2+11n=-（ n-） 2+, n N+, 当 n=5或 6 时， an取最大值 30，故选 B. 3.一给定函数 y=f(x)的图像在下列图中，并且对任意a1(0,1), 由 关 系 式 an+1=f(an) 得 到 数 列 an 满足an+1an(nN+) ，则该函数的图像是（ ） 答案 A 解析 由关系式 an+1=f(an)得到数列 an满足an+1an,可得 f(an)an,即 f(x)x.故要使该函数y=f(x)图像上任一点（ x,y）都满足 yx,图像必在直线y=x的上方，所以 A 正确 . 12 / 19 说明：借用函数的图像与性质来研究数列时，要注意函数的一般性及数列的特殊性之间的关系，不可不加区分，混为一谈，表达时要清楚明白，数列问题有时用图像来处理，往往可以使问题巧妙、简捷地获得解决 . 二、填空题 4.已知 f(1)=2,f(n+1)=(nN+), 则 f(4)= . 答案 解析 f(1)=2,f(n+1)=(nN ), f(2)=, f(3)=, f(4)=. 5. 已知数列 an 中， an=an+m(a0,nN ) 满足a1=2,a2=4,则 a3= . 答案 2 2=a+ma=2a=-1 解析 a1=2,a2=4, , （舍去）或 , 4=a2+mm=0m=3 a3=( -1)3+3=2. 三、解答题 6.证明数列是递减数列 . 证明 令 an=， an+1 -an=- 13 / 19 =- =-0, an+10 可知 an+1an， 所以数列 an是递增数列 . 2.设 an=-n2+10n+11，则数列 an的最大项为（ ） 或 11 答 案 D 解析 an= -n2+10n+11=-(n-5)2+36, 当 n=5时， an 取最大值 36. 3. 数列 an 中， a1=0 ， 以 后 各 项 由 公 式a1a2a3an n2 给出，则a3+a5等于（ ） A. B. c. D. 答案 c 解析 a1a2a3an=n2,14 / 19 a1a2a3=9,a1a2=4, a3 . 同理 a5=,a3+a5=+=. 4.已知数列 an的通项公式 an=lg1536-(n-1)lg2，则使得an0 成立的最小正整数 n 的值为（ ） 答案 D 解析 lg1536-lg2n-10,lg15361536,代入验证得答案为 D. 5.已知数列 an中， a1=1,a2=3， an=an-1+(n3) ，则 a5=（ ） A. B. 答案 A 解析 a3=a2+=3+1=4. a4=a3+=4+=. a5=a4+=+=. 6.在数列 an中， a1=1,anan-1=an-1+(-1)n(n2) ，则的值是（ ） A. B. c. D. 答案 c 解 析 a1=1,a2=1+1=2,a3a2=a2+( -1)3=2+(-1)=1,a3=, 15 / 19 又 a3a4=a3+(-1)4,a4=3, a4a5=a4+(-1)5=2, a5=, =. 7.已知 Sk表示数列的前 k 项和，且 Sk+Sk+1=ak+1(kN+) ，那么此数列是（ ） A.递增数列 B.递减数列 c.常数列 D.摆动数列 答案 c 解析 ak+1=Sk+1 -Sk=Sk+Sk+1， Sk=0(kN+). 可知此数列每一项均为 0， 即 an=0是常数列 . 8.已知数列 an的通项公式为 an=（） n-1（） n-1-1，则关于 an的最大项，最小项叙述正确的是（ ） A.最 大项为 a1,最小项为 a3 B.最大项为 a1,最小项不存在 c.最大项不存在，最小项为 a3 D.最大项为 a1，最小项为 a4 答案 A 解析 令 t=（） n-1，则它在 N+上递减且 0t1 ，而 an=t2-t，在 0a3，16 / 19 故选 A. 二、填空题 9.已知数列 an的通项公式 an=n2-4n-12（ nN+ ），则 （ 1）这个数列的第四项是 ； （ 2） 65是这个数 列的第 项； （ 3）这个数列从第 项起以后各项为正数 . 答案 12 11 7 解析 (1)a4=42-44 -12 -12. (2)令 65 n2-4n-12,n2 -4n-77=0, n=11或 n=-7(舍去 ). 故 65是这个数列的第 11项 . （ 3）令 n2-4n-120,得 n6 或 nan 解析 a,b,c 均为实数， f(x)=在 (0,+) 上是增函数，故数列 an=在 nN+ 时为递增数列， an -3 解析 由 an 为 递 增 数 列 ， 得17 / 19 an+1-an=(n+1)2+(n+1) -n2-n=2n+1+0 恒成立， 即 -2n-1在 n1 时恒成立， 令 f(n)=-2n-1,f(n)max=-3. 只需 f(n)max= -3 即可 . 12.若数列 an的通项公式为 an=-2n2+13n，关于该数列，有以下四种说法： (1)该数列有无限多个正数项； (2)该数列有无限多个负数项； (3)该数列的最大项就是函数 f(x)=-2x2+13x的最大值；(4)-70是该数列中的一项 . 其中正确的说法有 .（把所有正确的序号都填上） 答案 (2)(4) 解析 令 -2n2+13n0，得 0n0, an+1an.故数列 an为递增数列 . 14.根据数列的通项公式，写出数列的前 5 项，并用图像表示出来 . (1)an=(-1)n+2; (2)an=. 解析 (1)a1=1,a2=3,a3=1,a4=3,a5=1.图像如图 1. (2)a1=2,a2=,a3=,a4=,a5=.图像如图 2. 15.已知数列 an ,a1=2,an+1=2an，写出数列的前 4 项，猜想 an,并加以证明 . 证明 由 a1=2,an+1=2an,得