数学竞赛平面几何讲座：三角形的五心

1 / 13 数学竞赛平面几何讲座：三角形的五心 本资料为 WoRD 文档，请点击下载地址下载全文下载地址 第五讲三角形的五心 三角形的外心、重心、垂心、内心及旁心，统称为三角形的五心 . 一、外心 . 三角形外接圆的圆心，简称外心 .与外心关系密切的有圆心角定理和圆周角定理 . 例 1过等腰 ABc 底边 Bc上一点 P 引 PmcA 交 AB于 m；引 PNBA 交 Ac于 N.作点 P 关于 mN的对称点 P. 试证： P点在 ABc 外接圆上 . 分析：由已知可得 mP=mP=mB ， NP=NP =Nc，故点 m 是 PBP 的外 心，点 N 是 PPc 的外心 .有 BPP=BmP=BAc ， PPc=PNc=BAc. BPc=BPP+PPc=BAc. 从而， P 点与 A， B， c 共圆、即 P 在 ABc 外接圆上 . 由于 PP 平分 BPc ，显然还有 PB:Pc=BP:Pc. 例 2在 ABc 的边 AB， Bc， cA 上分别取点 P， Q， S.证明以 APS ， BQP ， cSQ 的外心为顶点的三角形与 ABc 相2 / 13 似 . 分析：设 o1， o2， o3是 APS ， BQP ， cSQ 的外心，作出六边形 o1Po2Qo3S 后再由外 心性质可知 Po1S=2A ， Qo2P=2B ， So3Q=2c. Po1S+Qo2P+So3Q=360. 从而又知 o1Po2+ o2Qo3+o3So1=360 将 o2Qo3 绕着 o3 点 旋 转 到 kSo3 ， 易 判 断kSo1o2Po1 ，同时可得 o1o2o3o1ko3. o2o1o3=ko1o3=o2o1k =(o2o1S+So1k) =(o2o1S+Po1o2) =Po1S=A ； 同理有 o1o2o3=B. 故 o1o2o3ABc. 二、重心 三角形三条中线的交点，叫做三角形的重心 .掌握重心将每 条中线都分成定比 2:1及中线长度公式，便于解题 . 例 3 AD， BE， cF是 ABc 的三条中线， P 是任意一点 .证明：在 PAD ， PBE ， PcF 中，其中一个面积等于另外两个面3 / 13 积的和 . 分析：设 G 为 ABc 重心，直线 PG与 AB ， Bc相交 .从 A， c， D， E， F 分别 作该直线的垂线，垂足为 A ， c ， D ， E ， F. 易证 AA=2DD ， cc=2FF ， 2EE=AA+cc ， EE= DD+FF. 有 SPGE=SPGD+SPGF. 两边各扩大 3 倍，有 SPBE=SPAD+SPcF. 例 4如果三角形三边的平方成等差数列，那么该三角形和由它的三条中线围成的新三角形相似 .其逆亦真 . 分析：将 ABc 简记为 ，由三中线 AD， BE， cF 围成的三角形简记为 .G 为重心，连 DE 到 H，使 EH=DE，连 Hc，HF，则 就是 HcF. (1)a2， b2， c2成等差数列 . 若 ABc 为正三角形，易证 . 不妨设 abc ，有 cF=， BE=， AD=. 将 a2+c2=2b2，分别代入以上三式，得 4 / 13 cF=， BE=， AD=. cF:BE:AD=: =a:b:c. 故有 . (2)a2 ， b2， c2成等差数列 . 当 中 abc 时， 中 cFBEAD. ， ()2. 据 “ 三角形的三条中线围成的新三角形面积等于原三角形面积的 ” ，有 =. =3a2=4cF2=2a2+b2 -c2 a2+c2=2b2. 三、垂心 三角形三条高的交战，称为三角形的垂心 .由三角形的垂心造成的四个等 (外接 )圆三角形 ，给我们解题提供了极大的便利 . 例 5设 A1A2A3A4 为 o 内接四边形， H1， H2， H3， H4 依次为 A2A3A4 ， A3A4A1 ， A4A1A2 ， A1A2A3 的垂心 .求证：H1， H2， H3， H4四点共圆，并确定出该圆的圆心位置 . 分析：连接 A2H1， A1H2， H1H2，记圆半径 5 / 13 为 R.由 A2A3A4 知 =2RA2H1=2RcosA3A2A4 ； 由 A1A3A4 得 A1H2=2RcosA3A1A4. 但 A3A2A4=A3A1A4 ，故 A2H1=A1H2. 易证 A2H1A1A 2，于是， A2H1A1H2， 故得 H1H2A2A1.设 H1A1 与 H2A2的交点为 m，故 H1H2与 A1A2关于 m 点成中心对称 . 同理， H2H3 与 A2A3， H3H4 与 A3A4， H4H1 与 A4A1 都关于 m点成中心对称 .故四边形 H1H2H3H4与四边形 A1A2A3A4关于 m点成中心对称，两者是全等四边形， H1， H2， H3， H4在同一个圆上 .后者的圆心设为 Q， Q与 o也关于 m成中心对称 .由 o，m 两点， Q 点就不难确定了 . 例 6 H 为 ABc 的垂心， D， E， F 分别是 Bc， cA， AB 的中心 .一个以 H 为圆心的 H 交直线 EF， FD， DE于 A1， A2， B1，B2， c1， c2. 求证： AA1=AA2=BB1=BB2=cc1=cc2. 分析：只须证明 AA1=BB1=cc1 即可 .设 Bc=a， cA=b， AB=c， ABc 外 接圆半径为 R， H 的半径为 r. 连 HA1， AH交 EF于 m. A=Am2+A1m2=Am2+r2-mH2 6 / 13 =r2+(Am2-mH2)， 又 Am2-Hm2=(AH1)2-(AH-AH1)2 =AHAH1-AH2=AH2AB-AH2 =cosAbc-AH2， 而 =2RAH2=4R2cos2A, =2Ra2=4R2sin2A. AH2+a2=4R2 ， AH2=4R2-a2. 由 、 、 有 A=r2+bc-(4R2-a2) =(a2+b2+c2)-4R2+r2. 同理， =(a2+b2+c2)-4R2+r2， =(a2+b2+c2)-4R2+r2. 故有 AA1=BB1=cc1. 四、内心 三角形内切圆的圆心，简称为内心 .对于内心，要掌握张角公式，还要记住下面一个极为有用的等量关系： 设 I 为 ABc 的内心，射线 AI交 AB c 外接圆于 A ，则有AI=AB=Ac. 换言之，点 A 必是 IBc 之外心 (内心的等量关系之逆同样有用 ). 例 7 ABcD为圆内接凸四边形，取 DAB ， ABc ， BcD ， cDA 的内心 o1， o2， o3， 7 / 13 o4.求证： o1o2o3o4 为矩形 . (1986，中国数学奥林匹克集训题 ) 证明见中等数学 1992； 4 例 8已知 o 内接 ABc ， Q 切 AB， Ac 于 E， F 且与 o内切 .试证： EF 中点 P 是 ABc 之内心 . 分析：在第 20 届 Imo 中，美国提供的一道题实际上是例 8的一种特例，但它增加 了条件 AB=Ac.当 ABAc ，怎样证明呢？ 如图，显然 EF中点 P、圆心 Q， Bc中点 k 都在 BAc 平分线上 .易知 AQ=. QkAQ=mQQN ， Qk= =. 由 RtEPQ 知 PQ=. Pk=PQ+Qk=+=. Pk=Bk. 利用内心等量关系之逆定理，即知 P 是 ABc 这内心 . 五、旁心 三角形的一条内角平分线与另两个内角的外角平分线相交于 一点，是旁切圆的圆心，称为旁心 .旁心常常与内心联系在一起， 8 / 13 旁心还与三角形的半周长关系密切 . 例 9在直角三角形中，求证： r+ra+rb+rc=2p. 式中 r， ra， rb， rc分别表示内切圆半径及与 a， b， c 相切的旁切圆半径， p 表示半周 . 分析：设 RtABc 中， c 为斜边，先来证明一个特性： p(p-c)=(p-a)(p-b). p(p -c)=(a+b+c)(a+b-c) =(a+b)2-c2 =ab； (p-a)(p-b)=(-a+b+c)(a-b+c) =c2-(a-b)2=ab. p(p -c)=(p-a)(p-b). 观察图形，可得 ra=AF-Ac=p-b， rb=BG-Bc=p-a， rc=ck=p. 而 r=(a+b-c) =p-c. r+ra+rb+rc =(p-c)+(p-b)+(p-a)+p =4p-(a+b+c)=2p. 由 及图形易证 . 9 / 13 例 10 m是 ABc 边 AB上的任意一点 .r1， r2， r分别是 Amc ，Bmc ， ABc 内切圆的半径， q1， q2， q 分别是上述三角形在 AcB 内部的旁切圆半径 .证明： =. (Imo-12) 分析：对任意 ABc ，由正弦定理可知 oD=oA&# 8226; =AB =AB ， oE=AB. . 亦即有 = =. 六、众心共圆 这有两种情况： (1)同一点却是不同三角形的不同的心； (2)同一图形出现了同一三角形的几个心 . 例 11设在圆内接凸六边形 ABcDFE中， AB=Bc， cD=DE， EF=FA.试证： (1)AD， BE， cF三条对角线交于一点； (2)AB+Bc+cD+DE+EF+FAAk+BE+cF. 分析：连接 Ac， cE， EA，由已知可 证 AD， cF， EB 是 AcE的三条内角平分线， I 为 AcE 的内心 .从而有 ID=cD=DE， IF=EF=FA， 10 / 13 IB=AB=Bc. 再由 BDF ，易证 BP， DQ， FS是它的三条高， I 是它的垂心，利用不等式有： BI+DI+FI2(IP+IQ+IS). 不难证明 IE=2IP， IA=2IQ， Ic=2IS. BI+DI+FIIA+IE+Ic. AB+Bc+cD+DE+EF+FA =2(BI+DI+FI) (IA+IE+Ic)+(BI+DI+FI) =AD+BE+cF. I 就是一点两心 . 例 12 ABc 的外心为 o， AB=Ac， D 是 AB中点， E 是 AcD的重心 .证明 oE丄 cD. 分析：设 Am为高亦为中线，取 Ac中点 F， E 必在 DF上且 DE:EF=2:1.设 cD交 Am于 G， G 必为 ABc 重心 . 连 GE， mF， mF交 Dc于 k.易证： DG:Gk=Dc:()Dc=2:1. DG:Gk=DE:EFGEmF. oD 丄 AB， mFAB ， oD 丄 mFoD丄 GE.但 oG丄 DEG又是 oDE 之垂心 . 易证 oE丄 cD. 11 / 13 例 13 ABc 中 c=30 ， o 是外心 ， I 是内心，边 Ac上的D 点与边 Bc上的 E 点使得 AD=BE=AB.求证： oI丄 DE， oI=DE. 分析：辅助线如图所示，作 DAo 平分线交 Bc于 k. 易证 AIDAIBEIB ， AID=AIB=EIB. 利用内心张角公式，有 AIB=90+c=105 ， DIE=360 -1053=45. AkB=30+DAo =30+(BAc -BAo) =30+(BAc -60) =BAc=BAI=BEI. AkIE. 由等腰 AoD 可知 Do丄 Ak， Do 丄 IE，即 DF是 DIE 的一条高 . 同理 Eo是 DIE 之垂心， oI 丄 DE. 由 DIE=IDo ，易知 oI=DE. 例 14锐角 ABc 中， o， G， H 分别是外心、重心、垂心 .设外心到三边距离和为 d 外，重心到三边距 离和为 d 重，垂心到三边距离和为 d 垂 . 求证： 1d 垂 +2d 外 =3d 重 . 12 / 13 分析：这里用三角法 .设 ABc 外接圆 半径为 1，三个内角记为 A， B， c.易知 d 外 =oo1+oo2+oo3 =cosA+cosB+cosc， 2d外 =2(cosA+cosB+cosc). AH1=sinBAB=sinB(2sinc)=2sinBsinc， 同样可得 BH2cH3. 3d 重 =ABc 三条高的和 =2(sinBsinc+sincsinA+sinAsinB) =2 ， HH1=coscBH=2cosBcosc. 同样可得 HH2， HH3. d 垂 =HH1+HH2+HH3 =2(cosBcosc+cosccosA+cosAcosB) 欲证结论，观察 、 、 ， 须证(cosBcosc+cosccosA+cosAcosB)+(cosA+cosB+cosc)=sinBsinc+sincsinA+sinAsinB.即可 . 13 / 13 练习题 为 ABc 之内心，射线 AI， BI， cI交 ABc 外接圆于 A ， B ， c. 则 AA+BB+cc ABc 周长 . 2.T 的三边分别等于 T 的三条中线，且两个三角形有一组角相等 .求证这两个三角形相似 . 为 ABc 的内心 .取 IBc ， IcA ， IAB 的外心 o1， o2，o3.求证： o1o2o3 与 ABc 有公共的外心 .( 为 ABc 内角平分线 .取 ABc ， ABD ， ADc 的外心 o， o1，o2.则 oo1o2 是等腰三角形 . 5.ABc 中 c 90 ，从 AB 上 m 点作 cA， cB 的垂线 mP，是 cPQ 的垂心 .当 m 是 AB