《误差理论与数据处理(第6版)》费业泰_习题及答案_[打印].pdf

1 第一章第一章 绪论绪论 15 测得某三角块的三个角度之和为 180 o0002”,试求测量的绝对误差和相对误差 解： 绝对误差等于： 相对误差等于： 1-8 在测量某一长度时，读数值为 2.31m，其最大绝对误差为 20 m ，试求其最大相对误差。 %108.66 %100 2.31 1020 100% max max 4- 6- 测得值 绝对误差 相对误差 1-10 检定 2.5 级（即引用误差为 2.5%）的全量程为 100V 的电压表，发现 50V 刻度点的示值误差 2V 为最大误差， 问该电压表是否合格？ %5 . 22%100% 100 2 100% 测量范围上限 某量程最大示值误差 最大引用误差 该电压表合格 1-12 用两种方法分别测量 L1=50mm，L2=80mm。测得值各为 50.004mm，80.006mm。试评定两种方法测量精度的高 低。 相对误差 L1:50mm 0.008%100% 50 50004.50 1 I L2:80mm 0.0075%100% 80 80006.80 2 I 21 II 所以 L2=80mm 方法测量精度高。 113 多级弹导火箭的射程为 10000km 时，其射击偏离预定点不超过 0.lkm，优秀射手能在距离 50m 远处准确地 射中直径为 2cm 的靶心，试评述哪一个射击精度高? 解： 多级火箭的相对误差为： 射手的相对误差为： 多级火箭的射击精度高。 1-14 若用两种测量方法测量某零件的长度 L1=110mm，其测量误差分别为 m11 和 m9 ；而用第三种测量方 法测量另一零件的长度 L2=150mm。其测量误差为 m12 ，试比较三种测量方法精度的高低。 相对误差 0.01% 110 11 1 mm m I 0 . 0 0 8 2 % 110 9 2 mm m I %008. 0 150 12 3 mm m I 123 III第三种方法的测量精度最高 21802000180 oo %000031. 010000030864. 0 064800 2 0660180 2 180 2 o %001. 000001. 0 10000 1 . 0 %002. 00002. 0 50 01. 0 50 1 m m m cm 2 第二章第二章 误差的基本性质与处理误差的基本性质与处理 2-6 测量某电路电流共 5 次，测得数据（单位为 mA）为 168.41，168.54，168.59，168.40，168.50。试求算术平 均值及其标准差、或然误差和平均误差。 168.41 168.54 168.59 168.40 168.50 5 x 168.488()mA )(082. 0 15 5 1 2 mA v i i 0.082 0.037() 5 x mA n 或然误差：0.67450.6745 0.0370.025() x RmA 平均误差：0.79790.7979 0.0370.030() x TmA 2-7 在立式测长仪上测量某校对量具，重量测量 5 次，测得数据（单位为 mm）为 20.0015，20.0016，20.0018， 20.0015 ， 20.0011 。 若 测 量 值 服 从 正 态 分 布 ， 试 以99% 的 置 信 概 率 确 定 测 量 结 果 。 2 0 . 0 0 1 52 0 . 0 0 1 62 0 . 0 0 1 82 0 . 0 0 1 52 0 . 0 0 1 1 5 x 20.0015()mm 5 2 1 0.00025 5 1 i i v 正态分布 p=99%时，t2.58 limxx t 0.00025 2.58 5 0.0003()mm 测量结果： lim (20.00150.0003) x Xxmm 2-9 用某仪器测量工件尺寸，在排除系统误差的条件下，其标准差 mm004. 0 ，若要求测量结果的置信限为 mm005. 0 ，当置信概率为 99%时，试求必要的测量次数。 正态分布 p=99%时，t2.58 limx t n 2.58 0.004 2.064 0.005 4.26 5 n n n 取 29 用某仪器测量工件尺寸，已知该仪器的标准差0.001mm，若要求测量的允许极限误差为0.0015mm，而 置信概率 P 为 0.95 时，应测量多少次？ 解：根据极限误差的意义，有 0015. 0 n tt x 根据题目给定得已知条件，有 5 . 1 001. 0 0015. 0 n t 查教材附录表 3 有 若 n5，v4，0.05，有 t2.78， 24. 1 236. 2 78. 2 5 78. 2 n t 若 n4，v3，0.05，有 t3.18， 59. 1 2 18. 3 4 18. 3 n t 即要达题意要求，必须至少测量 5 次。 2-12 某时某地由气压表得到的读数（单位为 Pa）为 102523.85，102391.30，102257.97，102124.65，101991.33， 101858.01，101724.69，101591.36，其权各为 1，3，5，7，8，6，4，2，试求加权算术平均值及其标准差。 )(34.102028 8 1 8 1 Pa p xp x i i i ii 3 )(95.86 ) 18( 8 1 8 1 2 Pa p vp i i i xii x 2-13 测量某角度共两次，测得值为 633124 1 ， 241324 2 ，其标准差分别为 8 .13,1 . 3 21 ， 试求加权算术平均值及其标准差。 961:19044 1 : 1 : 2 2 2 1 21 pp 351324 96119044 4961 1619044 201324 x 0 . 3 96119044 19044 1 . 3 2 1 i i i xx p p i 2-14 甲、乙两测量者用正弦尺对一锥体的锥角各重复测量 5 次，测得值如下： ;5127 ,0227 ,5327 ,037 ,0227: 甲 ;5427 ,0527 ,0227 ,5227 ,5227: 乙 试求其测量结果。 甲： 20 60 35 20 15 7 27 230 5 x 甲 5 2 1 5 1 i i v 22222 甲 （-10）（30） 5 （-10）（-15） 4 18.4 x 18.4 8.23 55 甲 甲 乙： 25 25 20 50 45 7 27 233 5 x 乙 5 2 1 13 5 1 i i v 22222 乙 （-8）（-8）（）（17）（12） 4 13.5 x 13.5 6.04 55 乙 乙 2222 xx 1111 :3648:6773 8.236.04 pp 乙 乙甲 甲 3648 30 6773 33 7 2 36486773 p xp x x pp 甲乙 乙甲 乙甲 7 232 78 . 4 67733648 3648 32 . 8 乙甲 甲 甲 pp p xx 15 32 273 x xX 2-16 重力加速度的 20 次测量具有平均值为 2 /811. 9sm 、标准差为 2 /014. 0sm 。另外 30 次测量具有平均值为 2 /802. 9sm ，标准差为 2 /022. 0sm 。假设这两组测量属于同一正态总体。试求此 50 次测量的平均值和标准差。 147:242 30 022. 0 1 : 20 014. 0 11 : 1 : 2222 21 2 2 2 1 xx pp )/(9.808 147242 9.8021479.811224 2 smx ）（ 2 m/s0.0025 147242 242 20 014. 0 x 2-19 对某量进行 10 次测量，测得数据为 14.7，15.0，15.2，14.8，15.5，14.6，14.9，14.8，15.1，15.0，试 判断该测量列中是否存在系统误差。 96.14x 按贝塞尔公式 2633. 0 1 按别捷尔斯法0.2642 ) 110(10 253. 1 10 1i 2 i v 由 u1 1 2 得 0034. 01 1 2 u 4 67. 0 1 2 n u 所以测量列中无系差存在。 2-18 对一线圈电感测量 10 次，前 4 次是和一个标准线圈比较得到的，后 6 次是和另一个标准线圈比较得到的， 测得结果如下（单位为 mH） ： 50.82，50.83，50.87，50.89； 50.78，50.78，50.75，50.85，50.82，50.81。 试判断前 4 次与后 6 次测量中是否存在系统误差。 使用秩和检验法： 排序： 序号 1 2 3 4 5 第一组 第二组 50.75 50.78 50.78 50.81 50.82 序号 6 7 8 9 10 第一组 50.82 50.83 50.87 50.89 第二组 50.85 T=5.5+7+9+10=31.5 查表 14 T 30 T TT 所以两组间存在系差 221 对某量进行两组测量，测得数据如下： xi 0.62 0.86 1.13 1.13 1.16 1.18 1.20 1.21 1.22 1.30 1.34 1.39 1.41 1.57 yi 0.99 1.12 1.21 1.25 1.31 1.31 1.38 1.41 1.48 1.59 1.60 1.60 1.84 1.95 试用秩和检验法判断两组测量值之间是否有系统误差。 解： 按照秩和检验法要求，将两组数据混合排列成下表： T T 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 1010 xi 0.62 0.86 1.13 1.13 1.16 1.18 1.20 yi 0.99 1.12 1.21 T T 1111 1212 1313 1414 1515 1616 1717 1818 1919 2020 xi 1.21 1.22 1.30 1.34 1.39 1.41 yi 1.25 1.31 1.31 1.38 T T 2121 2222 2323 2424 2525 2626 2727 2828 xi 1.57 yi 1.41 1.48 1.59 1.60 1.60 1.84 1.95 现 nx14，ny14，取 xi的数据计算 T，得 T154。由 203) 2 ) 1( ( 211 nnn a；474) 12 ) 1( ( 2121 nnnn 求出： 1 . 0 aT t 现取概率 295. 0)(t，即475. 0)(t，查教材附表 1 有96. 1 t。由于 tt ，因此，可以认为两组数据间 没有系统误差。 5 第三章第三章 误差的合成与分配误差的合成与分配 3-1 相对测量时需用54.255mm的量块组做标准件， 量块组由四块量块研合而成， 它们的基本尺寸为 mml40 1 ， mml12 2 ， mml25. 1 3 ， mml005. 1 4 。 经 测 量 ， 它 们 的 尺 寸 偏 差 及 其 测 量 极 限 误 差 分 别 为 ml7 . 0 1 , ml5 . 0 2 , ml3 . 0 3 , ,20. 0,25. 0,35. 0,1 . 0 3lim2lim1lim4 mlmlmlmlml20. 0 4lim 。 试求量块组按基本尺 寸使用时的修正值及给相对测量带来的测量误差。 修正值=)( 4321 llll =) 1 . 03 . 05 . 07 . 0( =0.4)( m 测量误差: l = 4321 lim 2 lim 2 lim 2 lim 2 llll = 2222 )20. 0()20. 0()25. 0()35. 0( =)(51. 0m 3-2 为求长方体体积V，直接测量其各边长为 mma6 .161 ， mm44.5b , mmc2 .11 ,已知测量的系统误差 为 mma2 . 1 ， mmb8 . 0 ， mmc5 . 0 ，测量的极限误差为 mm a 8 . 0 ， mm b 5 . 0 ， mm c 5 . 0 ， 试求立方体的体积及其体积的极限误差。 abcV ),(cbafV 2 .115 .446 .161 0 abcV )(44.80541 3 mm 体积 V 系统误差V为： cabbacabcV )(74.2745)(744.2745 33 mmmm 立方体体积实际大小为：)(70.77795 3 0 mmVVV 2 2 2 2 2 2 lim )()()( cbaV c f b f a f 2 2 2 2 2 2 )()()( cba abacbc )(11.3729 3 mm 测量体积最后结果表示为: V VVV lim0 3 )11.372970.77795(mm 3-4 测量某电路的电流 mAI5 .22 ，电压 VU6 .12 ，测量的标准差分别为 mA I 5 . 0 ， V U 1 . 0 ，求所 耗功率 UIP 及其标准差 P 。 UIP 5 .226 .12 )(5 .283mw ),(IUfP IU、成线性关系 1 UI IuIUP I f U f I f U f )(2)()( 2 2 2 2 IUIU UI I f U f 5 . 06 .121 . 05 .22 )(55. 8mw 312 按公式 V=r2h 求圆柱体体积，若已知 r 约为 2cm，h 约为 20cm，要使体积的相对误差等于 1，试问 r 和 h 测量时误差应为多少? 解： 若不考虑测量误差，圆柱体积为 322 2 .25120214. 3cmhrV 根据题意，体积测量的相对误差为 1，即测定体积的相对误差为： %1 V 即51. 2%12 .251%1V 现按等作用原则分配误差，可以求出 测定 r 的误差应为： 6 cm hrrV r 007. 0 2 1 41. 1 51. 2 / 1 2 测定 h 的误差应为： cm rhV h 142. 0 1 41. 1 51. 2 / 1 2 2 3-14 对某一质量进行 4 次重复测量，测得数据(单位 g)为 428.6，429.2，426.5，430.8。已知测量的已定系统误 差 ,6 . 2 g 测量的各极限误差分量及其相应的传递系数如下表所示。 若各误差均服从正态分布， 试求该质量的 最可信赖值及其极限误差。 4 8 .4305 .4262 .4296 .428 x )(8 .428)(775.428gg 最可信赖值 )(4 .4316 . 28 .428gxx 3 1 2 2 2 2 5 1 )( 4 1 )( i i i i i i x x f e x f )(9 . 4g 测量结果表示为: x xxg)9 . 44 .431( 序号 极限误差g 误差传递系数 随机误差 未定系统误差 1 2 3 4 5 6 7 8 2.1 4.5 1.0 1.5 1.0 0.5 2.2 1.8 1 1 1 1 1 1.4 2.2 1 7 第四章第四章 测量不确定度测量不确定度 41 某圆球的半径为 r，若重复 10 次测量得 rr =(3.1320.005)cm，试求该圆球最大截面的圆周和面积 及圆球体积的测量不确定度，置信概率 P=99。 解：求圆球的最大截面的圆周的测量不确定度 已知圆球的最大截面的圆周为：rD2 其标准不确定度应为： 222 2 2 2 005. 014159. 342 rr r D u 0.0314cm 确定包含因子。查 t 分布表 t0.01（9）3.25，及 K3.25 故圆球的最大截面的圆周的测量不确定度为： UKu3.250.03140.102 求圆球的体积的测量不确定度 圆球体积为： 3 3 4 rV 其标准不确定度应为：616. 0005. 0132. 314159. 3164 2422 2 22 2 rr r r V u 确定包含因子。查 t 分布表 t0.01（9）3.25，及 K3.25 最后确定的圆球的体积的测量不确定度为 UKu3.250.6162.002 4-4 某校准证书说明，标称值 10的标准电阻器的电阻 R 在 20C 时为129000742.10（P=99%） ，求该 电阻器的标准不确定度，并说明属于哪一类评定的不确定度。 由校准证书说明给定 属于 B 类评定的不确定度 R 在10.000742-129，10.000742+129范围内概率为 99%，不为 100% 不属于均匀分布，属于正态分布 129a 当 p=99%时，2.58 p K 129 50() 2.58 R p a U K 4-5 在光学计上用 52.5mm 的量块组作为标准件测量圆柱体直径，量块组由三块量块研合而成，其尺寸分别是： 1 40lmm ， 2 10lmm ， 3 2.5lmm ，量块按“级”使用，经查手册得其研合误差分别不超过 0.45 m 、 0.30 m 、 0.25 m （取置信概率 P=99.73%的正态分布） ，求该量块组引起的测量不确定度。 52.5Lmm 1 40lmm 2 10lmm 3 2. 5lmm 123 Llll 99.73%p 3 p K 1 0.45 0.15() 3 l p a Um k 2 0.30 0.10() 3 l p a Um k 3 0.25 0.08() 3 l p a Um k 321 lllL UUUU 222 0.150.100.08 0.20()m 8 第五章第五章 线性参数的最小二乘法处理线性参数的最小二乘法处理 5-1 测量方程为 32.9 20.9 231.9 xy xy xy 试求 x、y 的最小二乘法处理及其相应精度。误差方程为 1 2 3 2.9(3) 0.9(2 ) 1.9(23 ) vxy vxy vxy 列正规方程 11121 111 21222 111 nnn iiiiii iii nnn iiiiii iii a a xa a ya l a a xa a ya l 代入数据得 14513.4 5144.6 xy xy 解得 015. 0 962. 0 y x 将 x、y 代入误差方程式 1 2 3 2.9(3 0.9620.015)0.001 0.9(0.9622 0.015)0.032 1.9(2 0.9623 0.015)0.021 v v v 测量数据的标准差为 3 22 11 0.038 32 n ii ii vv nt 求解不定乘数 1112 2122 dd dd 1112 1112 2122 2122 1451 5140 1450 5141 dd dd dd dd 解得 082. 0 2211 dd x、y 的精度分别为01. 0 11 d x 01. 0 22 d y 5-7 不等精度测量的方程组如下： 1 2 3 35.6,1 48.1,2 20.5,3 xyp xyp xyp 试求 x、y 的最小二乘法处理及其相应精度。 列误差方程 11 22 33 5.6(3 ),1 8.1 (4),2 0.5(2),3 vxyp vxyp vxyp 正规方程为 333 11121 111 333 21222 111 iiiiiiiii iii iiiiiiiii iii p a a xp a a yp a l p a a xp a a yp a l 代入数据得 4562.2 1431.5 xy xy 解得 352. 2 434. 1 y x 将 x、y 代入误差方程可得 016. 0 012. 0 022. 0 3 2 1 v