方程的根与函数的零点 公开课教案

1 / 7 方程的根与函数的零点 公开课教案 教学目标： 1、能够结合二次函数的图像判断一元二次方程根的存在性及根的个数。 2、理解函数的零点与方程的联系。 3、渗透由特殊到一般的认识规律，提升学生的抽象和概括能力。 教学重点、难点： 1、重点：理解函数的零点与方程根的联系，使学生遇到一元二次方程根的问题时能顺利联想函数的思想和方法。 2、难点：函数零点存在的条件。 教学过程： 1、问题引入 探究一元二次方程与相应 二次函数的关系。 出示表格，引导学生填写表格，并分析填出的表格，从二次方程的根和二次函数的图像与 x 轴的交点的坐标，探究一元二次方程与相应二次函数的关系。 一元二次方程 方程的根 二次函数 图像与 X 轴的交点 2 / 7 x2-2x-3=0 x1=-1， x2=3 y=x2-2x-3 （ -1， 0），（ 3， 0） x2-2x+1=0 x1=x2=1 y=x2-2x+1 （ 1， 0） x2-2x+3=0 无实数根 y=x2-2x+3 无交点 （图 1-1） 函数 y=x2-2x-3 的图像 （图 1-2）函数 y=x2-2x+1 的图像 3 / 7 （图 1-3）函数 y=x2-2x+3 的图像 归纳： （ 1）如果一元二次方程没有实数根，相应的二次函数图像与 x 轴没有交点； （ 2）如果一元二次方程有实数根，相应的二次函数图像与 x 轴有交点。 反之，二次函数图像与 x 轴没有交点，相应的一元二次方程没有实数根； 二次函数图像与 x 轴有交点，则交点的横坐标就是相应一元二次方程的实数根。 2、函数的零点 （ 1）概念 对于函数 y=f(x)(xD), 把使 f(x)=0 成立的实数 x 叫做函数 y=f(x)(xD) 的零点。 （ 2）意义 方程 f(x)=0 有实数根 函数 y=f(x)的图像与 x 轴有交点 函数 y=f(x)有零点 （ 3）求函数的零点 代数法：求方程 f(x)=0的实数根 几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函4 / 7 数 y=f(x)的图像联系起来，并利用函数的性质找出零点。 3、函数零点的存在性 （ 1） 二次函数的零点 =b2 -4ac ax2+bx+c=0 的实数根 y=ax2+bx+c 的零点数 0 有两个不等的实数根 x1、 x2 两个零点 x1、 x2 =0 有两个相等的实数根 x1=x2 一个零点 x1（或 x2） 0 没有实数根 没有零点 （图 2-1）方程 ax2+bx+c=0 的判别式 0 时，函数y=ax2+bx+c(a0) 的图像 5 / 7 （图 2-2）方程 ax2+bx+c=0 的判别式 =0 时，函数y=ax2+bx+c(a0) 的图像 （图 2-3）方程 ax2+bx+c=0 的判别式 0 时，函数y=ax2+bx+c(a0) 的图像 （ 2）探究发现 问题 1：二次函数 y=x2-2x-3 在区间 -2， 1上有零点。试计算 f(-2)与 f(1)的乘积有什么特点？ 解： f(-2)=(-2)2-2*(-2)-3=4+4-3=5 f(1)=12-2*1-3=1-2-3=-4 f(2)*f(1)=-4*5=-20 0 问题 2：在区间 2,4呢？ 解： f(2)=(2)2-2*2-3=-3 f(4)=42-2*4-3=5 f(4)*f(2)=(-3)*5=-15 0 6 / 7 归纳： f(2)*f(1) 0，函数 y=x2-2x-3 在 -2， 1内有零点x=-1； f(2)*f(4) 0，函数 y=x2-2x-3 在 2， 4内有零点 x=3，它们分别是方程 y=x2-2x-3 的两个根。 结论： 如果函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线并且有，那么，函数在区间 内有零点，即存在，使得，这个也就是方程的根。 图像在上的图像是连续不断的 函数在区间内至少有一个零点 4、习题演练 利用函数图像判断下列二次函数有几个零点 y= x2 3x 5， y=2x(x 2)+3 解： 令 f(x)= x2 3x 5, 做出函数 f(x)的图像，如下 （图 4-1） 它与 x 轴有两个交点，所以方程 x2 3x 5 0 有两个不相等的实数根，则函数 y= x2 3x 5 有两个零点。 y=2