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RC电路零状态响应,在开关K来闭合之前，电容器未充电。假定在t0时开关K闭合，电压源vS接到串联线性定常RC电路上，对电容器充电。现在来研究该电路的零状态响应vC。,在右图所示的RC电路中，电压源的电压vS是恒定的，并且等于E。,RC电路零状态响应,根据基尔霍夫电压定律，可列出下列方程：Ri+vC=vSt0,这是一个具有常系数的一阶线性非齐次微分方程，这个微分方程的解（即vC的表达式）代表了电容器电压的变化过程。,将和vS=E代入上式，可得：,t0,RC电路零状态响应,上述方程所描述的是相当于电路中独立电源不存在的状态，称为自由状态；在R0的情况下，它又称为瞬态或暂态。,数学上用来求解这类微分方程的方法有多种，现在介绍一种被称为经典法的基本方法。该方法的特点是将微分方程的解看成是两个分量vCh和vCp的合成，即vC=vCh+vCpt0（1）式中vCh也是齐次微分方程：,的通解，称为齐次解、补函数（或余函数）。,（2）,RC电路零状态响应,齐次微分方程的通解是：,(3),式中，；k是任意常数。,将式(3)代入式(2)中，得到：,(4),式(1)中vCp是非齐次微分方程,(6),的任意一个特解。,RC电路零状态响应,方程(6)等式右边的函数称为强制函数。该方程所描述的电路状态称为强制状态，而特解vCp称为vC的强制分量，它与强制函数或输入波形有关。若电路中的独立电源是周期函数或常量，则此时的强制状态称为稳定状态，或简称稳态；相应地称强制分量为稳态分量或稳态响应。,在前面所示的RC电路中开关K闭合一段时间以后，电容器充电完毕，此时电容器电压已经是恒定的，即，于是电容器的电压等于外加的独立电压源的电压，即vC()=vCp=E(7)表明电路已达到直流稳态。,RC电路零状态响应,至此，已有vC(0)=0和vCp=E两个条件，可以用来求出积分常数k。将vCp=E代入式(5)，得：,(8),以t=0和vC(0)=0代入，有：0=E+k可得：k=-E,于是，RC电路的零状态响应为：,(9a),或者：,(9b),式中=RC。,RC电路零状态响应,由式(9)可见，开关K闭合之后，电路响应中的齐次解是指数函数，其指数为负数，因而随着时间t的推移，齐次解
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