棱柱与棱锥

1 / 12 棱柱与棱锥 本资料为 WoRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址 【鼎尖教案】人教版高中数学必修系列：棱柱与棱锥 (备课资料 ) 一、对几种棱柱的理解 1.斜棱柱的底面可以是正多边形 ,此时侧棱不垂直于底面 ,所以它不是直棱柱 . 2.直棱柱的底面可以是正多边形 ,所以正棱柱是直棱柱的特例 . 3.在斜棱柱的侧面中 ,有的可以是矩形 ,如果棱柱有两个相邻的侧面都是矩形 ,那么它们的公共侧棱垂直于底面 .此棱柱一定为直棱柱 . 二、对于四棱柱中关系的理解 三、参考例题 例 1 在 直 平 行 六 面 体 ABcD A1B1c1D1中 ,AD=3,A1A=4,AB=5,DAB=60, 那么这个直平行六面体的对角线 Ac1与 BD1的长分别是 A.和 B.和 c.和 D.和 分析：将 “ 空间问题平面化 ” 的思想应用到解题中 ,再结合平面几何中的勾股定理、余弦定理使问题获解 . 2 / 12 解析： AD=3,AB=5,DAB=60 ， 由余弦定理得 BD2=AB2+AD2-2ABADcos60. BD=. 而 BD12=AA12+BD2, BD1=. 同理可求得 Ac1=. 答案： A 例 2用一个过四棱柱底面一边的平面 截正四棱柱 ,截面是 A.正方形 B.矩形 c.菱形 D.一般平行四边形 分析：充分利用已知正四棱柱的性质以及线线、线面、面面之间的平行、垂直关系的性质、判定定理 . 解析：正四棱柱 ABcD A1B1c1D1,过棱 AB的平面 ABEF 交对面 cDD1c1于点 E、 F. 平面 ABB1A1 平面 cDD1c1, ABEF. AB 平面 Bcc1B1,且 BE平面 Bc1, ABBE. ABEF 是矩形 . 答案： B 3 / 12 评述：灵活地将正四棱柱性质应用于解题中 ,可使问题变得简单易求 . 例 3四棱柱 ABcD ABcD 的底面 ABcD 是菱形 ,且 AB=AD, 求证： （ 1）对角面 AAcc 截面 ABD ； （ 2）对角面 DDBB 是矩形 . 分析：（ 1）中通过寻求线面垂直去实现面面垂直 . （ 2）中依据矩形的判定方法证得 . 证明：（ 1）连结 Ac与 BD交于点 o,连结 Ao. AB=AD,AoBD. 底面 ABcD是菱形 , AcBD.BD 平面 AAcc. 又 BD平面 ADB, 对角面 AAcc 截面 ABD. （ 2）由（ 1）知 BDAA 且 AABB , BDBB. 对角面 DDBB 是矩形 . 评述：此题是以正棱柱为载体考查了空间线线、面面、线面等问题 ,需对四棱柱的有关性质熟练掌握 ,否则思维受阻 ,无法继续做下去 . 四、参考练习题 4 / 12 在长方体 Ac1 中 ,cc1=15,cD=20,求线段 B1D 和 Bc 之间的距离 . 解：连结 AB1、 Dc1, Bc 平面 AB1c1D. Bc 与 B1D 之间的距离转化成了 Bc 与平面 AB1c1D 之间的距离 . 又 平面 BB1A 平面 AB1c1D, 过点 B 作 BHAB1 于点 H, BH 平面 AB1c1D. B H 的长为所求距离 . 在 RtAB1B 中 ,有 BH=12, B1D 和 Bc间的距离为 12. 注意：在多面体中 ,利用线线关系、线面关系 ,把空间问题转化为平面问题 ,最终化为解三角形问题 ,是立体几何中的常用技巧 . 备课资料 一、教学中应重视平面图形立体化思想 平面图形立体化与立体图形平面化是两个相反的过程 ,也是互逆的思想 .在平面图形立体化过程中 ,应要求学生认清平面图形中各已知条件的相互关系及其本质 ,并且在将一个平面图形折叠或剪拼成立体图形后 ,能分清已知条件中哪些变5 / 12 化了 ,哪些未发生变化 ,而这些未发 生变化的已知条件都是分析和解决问题的重要依据 ,试举两例 . 例 1下图是正方体的一个展开图 ,当用它合成原来的正方体时 ,与边 P 重合的边是哪一条？ 分析：此题可先将正方体合成 ,问题很快得到解决 ,若只考虑边的重合 ,会更快地得出结论 . 解：首先有 L 和 k 重合 ,其次有 I 和 j 重合 ,则 P 与 H 重合 . 例 2如图 ,在正方形 SG1G2G3中 ,E、 F 分别是 G1G2 及 G2G3的中点 ,D是 EF 的中点 ,现在沿 SE、 SF及 EF把这个正方形折成一个由四个三角形围成的几何体（以后要学习的四面体） ,使 G1、 G2、 G3三点重合 ,重合 后的点记为 G,那么在这个几何体中必有 EFG 所在平面 EFG 所在平面 SEF 所在平面 SEF 所在平面 分析：题目中的 SG1G1E,EG2G2F,FG3G3S, 这些条件在折叠后仍然不变 ,应从这一点入手解决此问题 . 解析： SG1G2G3 是一个正方形 , SG1G1E,EG2G2F,FG3G3S. 6 / 12 折叠后的几何体中一定有 SGGE, 且 SGGF, 即 SGEFG 所在平面 . 答案： A 评述：这道题貌似涉及几何体（四面体）的概念 ,实则主要用来巩固直线和平面垂 直的判定定理 ,培养学生的空间想象力 . 二、平行六面体性质的应用举例 例 3已知直平行六面体的侧棱长为 100cm,底面两邻边的长分别是 23cm和 11cm,底面的两条对角线的比是 23, 求它的两个对角面的面积分别是多少？ 分析：直平行六面体的对角面是矩形 ,本题关键是求出底面两条对角线的长 ,可应用方程思想解之 . 解：已知 Ac1是直平行六面体 ,故它的两个对角面都是矩形 ,其侧棱 AA1就是矩形的高 . 由题意 ,得 AB=23cm,AD=11cm,AA1=100cm. BDAc=23, 设 BD=2x,Ac=3x, 在平行四边形 ABcD 中 , BD2+Ac2=2（ AB2+AD2） , 即（ 2x） 2+(3x)2=(232+112)2. x=10. 7 / 12 BD=2x=20,Ac=3x=30. SBDD1B1=BDBB1=20100=2000(cm2), SAcc1A1=AcAA1=30100=3000(cm2). 它的两个对角面的面积分别是 2000cm2、 3000cm2. 评述：在立体几何的运算中 ,要注意方程思想的应用 ,适当地选取未知数 ,找出等量关系 . 对于平行四边形对角线的性质 ,不仅其本身作用较大 ,而且可以推广到空间 ,即平行六面体各棱的平方和等于对角线的平方和 . 备课资料 一、教学中 “ 整体思想 ” 解题的应用 例 1长方体的全面积为 11，十二条棱长度之和是 24，求这个长方体的一条对角线长 . 分析：要求长方体对角线的长，只要求长方体的一个顶点上的三条棱的长即可 . 解：设此长方体的长、宽、高分别是 x、 y、 z,对角线长为l,依题意 ,得 由 , 得 x+y+z=6,从而由长方体对角线性质 ,得 l= = =5. 8 / 12 长方体一条对角线的长为 5. 评述：本题考查长方体的有关概念和计算，以及代数式的恒等变形能力 .在求解过程中，并不需要把 x、 y、 z 单个都求出来，而要由方程组的 从整体上导出 x2+y2+z2.这就是数学中常用的一种技巧，给我们比较灵活的感觉 . 例 2直平行六面体的底面是菱形，过不相邻两对侧棱的截面的面积是 Q1 和 Q2，求它的侧面积 . 分析：由直棱柱的对角面面积求出底面边长或周长以及侧棱长，从而达到求出侧面积的目的 . 解：设直平行六面体 Ac1的底面边长为 a,侧棱长为 l. Ac1 是直平行六面体 , 对角面 Acc1A1 和 BB1D1D是矩形 . Q1=lAc,Q2=lBD. Ac=,BD=. 底面 ABcD是菱形 , Ac2+BD2=4a2, 即（） 2+()2=4a2. l2a2=(Q12+Q22), al=. S 侧 =4al=2. 评述：以上例题同样采用了整体求法的手段，即没有单独去9 / 12 求 a 和 l 的值，而是求出 a 和 l 之积，从而简化了解题过程 . 二、求棱柱侧面积的方法的应用 例 3斜三棱柱 ABc A1B1c1中，底面是边长为 a 的正三角形，侧棱长为 b,AA1 与底面相邻两边 AB、 Ac都成 45 角，求棱柱的侧面积 . 解法一：如图作 A1o 面 ABc于点 o， AA1 与 AB、 Ac都成 45 角， Ao 是 BAc 的平分线 . 又 ABc 为正三角形 , AoBc. 由三垂线定理可知 AA1Bc ， 又 AA1BB1cc1 ， 四边形 BB1c1c 为矩形 , S 侧 =2absin45+ab=(+1)ab. 解法二：作 BmAA1 于点 m，连结 cm，可证得 BmAcmA ， cmAA1. 又 Bmc 是棱柱的直截面 , mAB=mAc=45 ,cm=Bm=a. c 直截面 =a+a+a=(+1)a. S 侧 =（ +1） ab. 评述：解法一是采用求各侧面面积之和来求侧面积的 ;解法10 / 12 二是先作棱柱的直截面，利用直截面周长与侧棱长之积求得侧面积 . 例 4斜三棱柱 ABc A1B1c1 的底面 ABc 中，AB=Ac=10cm,Bc=12cm,A1 到 A、 B、 c 三点距离相等， AA1=13cm,求这个斜三棱柱的全面积 . 解：如图，在侧面 A1ABB1中作 A1DAB 于点 D，由 A1A=A1B, D 是 AB的中点，那么 A1D2=A1A2-AD2=132-52. A1D=12cm. SA1ABB1=SA1Acc1=A1DAB=120cm2. 取 Bc的中点 E，连结 A1E、 AE. 由已知 A1B=A1c， AB=Ac,得 A1EBc ， AEBc. Bc 平面 A1AE.BcA1A. 又 A1AB1B ， BcB1B. 侧面 BB1c1c是矩形 . SBB1c1c=BB1Bc=1312=156(cm2). S 侧 =2SA1ABB1+SBB1c1c=2120+156=396(cm2). 而 AE=8(cm), S 底 =BcAE=128=48(cm), S 全 =S侧 +2S底 =396+248=492(cm2). 例 5斜三棱柱 ABc A1B1c1中，侧棱 AA1=20cm,平面 B1A1AB11 / 12 与平面 A1c1cA 所成的二面角为 120 ， AA1 与 BB1、 cc1 的距离分别为 16cm、 24cm,求此三棱柱的侧面积 . 分析：求斜棱柱的侧面积可求各侧面面积之和，也可以求它的截面周长 c 与侧棱长 l 的乘积 . 解法一：在 AA1上取一点 E，过 E在平面 AA1B1B作中 GEAA1,交 BB1 于点 G，过 E 点在平面 AA1c1c 中作 EFAA1 ，交 c1c于点 F，则 GEF 为已知二面角的平面角，所以 GEF=120.又 AA1 平面 GEF，由棱柱的性质 ,可得 AA1B1Bc1c ， BB1 平面 GEF.又 GF平面 GEF， BB1GF. 由题意 ,知 GE=16cm,EF=24cm. GEF=120, 在 GEF 中， GF= = =8cm, 又 SA1ABB1=AA1GE=2016=320(cm2), SA1Acc1=AA1EF=2024=480(cm2), SB1Bcc1=BB1GF=208=160(cm2), S 斜棱柱侧 =SA1ABB1+SA1Acc1+SB1Bcc1 =320+480+